專題四,第二講點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1、登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 1 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)專題四：立體幾何專題四：立體幾何第二講第二講 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【考綱解讀考綱解讀】21 世紀(jì)教育網(wǎng)1理解空間直線與平面位置關(guān)系的定義。2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。3認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。4能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。高頻考點(diǎn)一：線線、線面的位置關(guān)系高頻考點(diǎn)一：線線、線面的位置關(guān)系方法指導(dǎo)：方法指導(dǎo)：1解決此類問題時(shí)要特別注意線線平行與垂直

2、、線面平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉(zhuǎn)化。2證明線線平行的常用方法：（1）利用定義，證兩線共面且無公共點(diǎn)；（2）利用公理 4，證兩線同時(shí)平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行。3證明線面平行常用方法：（1）利用線面平行的判定定理把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；（2）利用性質(zhì)4證明線面垂直的方法有：（1）定義；（2）判定定理；例 1.（2012 年高考（湖南理） ） 如圖 5,在四棱錐 P-ABCD 中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB=ABC=90,E 是 CD 的中點(diǎn).()證明:CD平面 PAE;()若直線 PB 與平面 PAE 所

3、成的角和 PB 與平面 ABCD 所成的角相等,求四棱錐 P-ABCD 的體積.登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 2 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)【解析】 解法 1(如圖(1),連接 AC,由 AB=4, 3BC 905.ABCAC, 得E 是 CD 的中點(diǎn),所以 5,AD 又.CDAE所以 ,PAABCD CDABCD平面平面.PACD而內(nèi)的兩條相交直線,所以 CD平面 PAE. ,PA AE是平面PAE()過點(diǎn) B 作 ,.BGCDAE ADF GPF 分別與相交于連接由()CD平面 PAE 知,BG平面 PAE.

4、于是為直線 PB 與平面 PAE BPF所成的角,且. BGAE由知,為直線與平面所成的角. PAABCD 平面PBAPBABCD由題意,知 4,2,ABAGBGAF,PBABPF 因?yàn)樗?sin,sin,PABFPBABPFPBPB.PABF由所以四邊形是平行四邊90/ /,/ /,DABABCADBCBGCD 知，又BCDG形,故于是 3.GDBC2.AG 在中,所以 RtBAG4,2,ABAGBGAF 222168 52 5,.52 5ABBGABAGBFBG于是 8 5.5PABF又梯形的面積為所以四棱錐的體積為 ABCD1(53) 416,2S PABCD 118 5128 516

5、.33515VSPA解法 2:如圖(2),以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別,AB AD AP為建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)則相關(guān)的xyz軸，軸，軸,PAh各點(diǎn)坐標(biāo)為: (4,0,0), (4,0,0),(4,3,0),(0,5,0),(2,4,0), (0,0, ).ABCDEPhABCDPE圖圖 xyz345h登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 3 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng) ()易知因?yàn)?( 4,2,0),(2,4,0),(0,0, ).CDAEAPh 所以而是平面8800,0,CD AECD AP ,.CDAE CDA

6、P,AP AE內(nèi)的兩條相交直線,所以 PAE.CDPAE 平面()由題設(shè)和()知,分別是,的法向量,而 PB 與 ,CD AP PAE平面ABCD平面所成的角和 PB 與所成的角相等,所以 PAE平面ABCD平面 cos,cos,.CD PBPA PBCD PBPA PBCDPBPAPB , 即由()知,由故 ( 4,2,0),(0,0,),CDAPh (4,0,),PBh 222160000.162 516hhhh解得. 8 55h 又梯形 ABCD 的面積為,所以四棱錐的體積為 1(53) 4162S PABCD. 118 5128 51633515VSPA【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間線面垂直關(guān)系

7、的證明,考查空間角的應(yīng)用,及幾何體體積計(jì)算.第一問只要證明即可,第二問算出梯形的面積和棱錐的高,由算PACD13VSPA得體積,或者建立空間直角坐標(biāo)系,求得高幾體積. 高頻考點(diǎn)二：面面位置關(guān)系高頻考點(diǎn)二：面面位置關(guān)系方法指導(dǎo)：方法指導(dǎo)：1證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可。從而將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行。 2證明面面垂直的方法：證明一個(gè)面過另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決。登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21

8、 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 4 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)例 1（2012 年高考（江蘇） ）如圖,在直三棱柱中,分別是棱111ABCABC1111ABACDE，上的點(diǎn)(點(diǎn) 不同于點(diǎn)),且為的中點(diǎn).1BCCC，DCADDEF，11BC求證:(1)平面平面;ADE 11BCC B(2)直線平面.1/AFADE【考點(diǎn)】直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面平行與面面垂直，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。21 世紀(jì)教育網(wǎng)【思路分析】(1)要證平面平面,只要證平面上的平面ADE 11BCC BADEAD 即可.它可由已知是直三

9、棱柱和證得. 11BCC B111ABCABCADDE(2)要證直線平面,只要證平面上的即可. 1/AFADE1AFADEAD【答案】證明:(1)是直三棱柱 ,平面. 111ABCABC1CC ABC又平面,. AD ABC1CCAD又平面,平面. 1ADDECCDE，111BCC BCCDEE，AD 11BCC B又平面,平面平面. AD ADEADE 11BCC B(2),為的中點(diǎn),. 1111ABACF11BC111AFBC又平面,且平面,. 1CC 111ABC1AF 111ABC11CCAF又平面,平面. 111 CCBC ，11BCC B1111CCBCC1AF 111ABC由(1

10、)知,平面,. AD 11BCC B1AFAD又平面平面,直線平面 AD 1, ADEAF ADE1/AFADE【方法技巧】1、證明面面垂直，一般通過證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線和哪個(gè)平面垂直。2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。高頻考點(diǎn)三：與折疊有關(guān)的問題高頻考點(diǎn)三：與折疊有關(guān)的問題2121 世教育網(wǎng)育網(wǎng)登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 5 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)【試題預(yù)測(cè)試題預(yù)測(cè)】1空間圖形的折疊問題是近幾年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),

11、它通常與其他知識(shí)相結(jié)合,能夠較好地考查學(xué)生的空間想象能力、圖形變換能力及識(shí)圖能力。2選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，尤其解答題為多，屬中高檔題。例 1（2012 年高考（湖北理） ）如圖 1,45ACB,3BC ,過動(dòng)點(diǎn) A 作ADBC,垂足 D 在線段 BC 上且異于點(diǎn) B,連接 AB,沿 AD 將ABD折起,使90BDC(如圖 2 所示). ()當(dāng) BD的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐ABCD的體積最大;()當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)E,M分別為棱BC,AC的中點(diǎn),試在棱CD上確定一點(diǎn)N,使得EN BM ,并求EN與平面BMN所成角的大小.【考點(diǎn)分析】:本題考察立體幾何線面的基本關(guān)系,考察如何

12、取到最值,用均值不等式和導(dǎo)數(shù)均可求最值.同時(shí)考察直線與平面所成角.本題可用綜合法和空間向量法都可以.運(yùn)用空間向量法對(duì)計(jì)算的要求要高些. 解析: ()解法 1:在如圖 1 所示的ABC中,設(shè)(03)BDxx,則3CDx. 由ADBC,45ACB知,ADC為等腰直角三角形,所以3ADCDx. 由折起前ADBC知,折起后(如圖 2),ADDC, ADBD,且BDDCD, 所以AD 平面BCD.又90BDC,所以11(3)22BCDSBD CDxx.于是 1111(3)(3)2 (3)(3)33212A BCDBCDVAD Sxxxxxx 312(3)(3)21233xxx, 當(dāng)且僅當(dāng)23xx,即1x

13、 時(shí),等號(hào)成立, 故當(dāng)1x ,即1BD 時(shí), 三棱錐ABCD的體積最大. 登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 6 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)解法 2: 同解法 1,得321111(3)(3)(69 )3326A BCDBCDVAD Sxxxxxx. 令321( )(69 )6f xxxx,由1( )(1)(3)02fxxx,且03x,解得1x . 當(dāng)(0, 1)x時(shí),( )0fx;當(dāng)(1, 3)x時(shí),( )0fx. 所以當(dāng)1x 時(shí),( )f x取得最大值. 故當(dāng)1BD 時(shí), 三棱錐ABCD的體積最大. ()解法 1:以

14、 D 為原點(diǎn),建立如圖 a 所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 由()知,當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí),1BD ,2ADCD. 于是可得(0, 0, 0)D,(1, 0, 0)B,(0, 2, 0)C,(0, 0, 2)A,(0, 1, 1)M,1( , 1, 0)2E, 且( 1, 1, 1)BM . 設(shè)(0, ,0)N,則1(,1,0)2EN . 因?yàn)镋NBM等價(jià)于0EN BM ,即 11(,1, 0) ( 1, 1, 1)1022 ,故12,1(0, 0)2N. 所以當(dāng)12DN (即N是CD的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),ENBM設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為( , , )x y zn,由,B

15、NBM nn 及1( 1,0)2BN , 得2 ,.yxzx 可取(1, 2,1)n. 設(shè)EN與平面BMN所成角的大小為,則由11(, 0)22EN ,(1, 2,1)n,可得 1|1|32sincos(90)2| |262ENENnn,即60. 故EN與平面BMN所成角的大小為60 . 21 世紀(jì)教育網(wǎng)登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 7 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)解法 2:由()知,當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時(shí),1BD ,2ADCD. 如圖 b,取CD的中點(diǎn) F ,連結(jié)MF , BF , EF ,則MF AD .

16、 由()知AD 平面BCD,所以MF 平面BCD. 如圖 c,延長(zhǎng) FE 至 P 點(diǎn)使得 FPDB,連 BP, DP,則四邊形DBPF為正方形, 所以DPBF. 取 DF 的中點(diǎn)N,連結(jié)EN,又E為 FP的中點(diǎn),則EN DP, 所以ENBF. 因?yàn)镸F 平面BCD,又EN 面BCD,所以MFEN. 又MFBFF,所以EN 面 BMF . 又 BM 面 BMF ,所以ENBM. 因?yàn)镋NBM當(dāng)且僅當(dāng)ENBF,而點(diǎn) F 是唯一的,所以點(diǎn)N是唯一的. 即當(dāng)12DN (即N是CD的靠近點(diǎn) D 的一個(gè)四等分點(diǎn)),ENBM. 連接MN,ME ,由計(jì)算得52NBNMEBEM, 所以NMB與EMB是兩個(gè)共底邊

17、的全等的等腰三角形, 如圖 d 所示,取 BM 的中點(diǎn)G,連接EG,NG, 則BM 平面EGN.在平面EGN中,過點(diǎn)E作EHGN于H, 則EH 平面BMN.故ENH是EN與平面BMN所成的角. 在EGN中,易得22EGGNNE,所以EGN是正三角形, 故60ENH,即EN與平面BMN所成角的大小為60 . 【方法技巧】登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 8 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)（1）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決

18、問題的突破口。（2）在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形。【真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練】一、選擇題（每小題一、選擇題（每小題 5 5 分，共分，共 4040 分）分）21 世紀(jì)教育網(wǎng)1.（2013 年高考江西卷（理） ）如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上,且,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線 CE,EF 相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為,那AB CD,m n么mn（）A8B9C10D11【答案】A 2.（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)卷數(shù)學(xué)（理） ）一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1

19、),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到正視圖可以為 （）ABCD3.（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題）在下列命題中,不是公理的是（）A平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面C如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn), 那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線4.（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題）在空間中,過點(diǎn)作平面的垂線,A登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料

20、第 9 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)垂足為,記.設(shè)是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn),B)(AfB,P,恒有,則 （）)(),(21PffQPffQ21PQPQ A平面與平面垂直B平面與平面所成的(銳)二面角為 045C平面與平面平行D平面與平面所成的(銳)二面角為0605 （2012 年高考（四川理） ）下列命題正確的是（）A若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等,則這兩條直線平行B若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則這兩個(gè)平面平行C若一條直線平行于兩個(gè)相交平面,則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行D若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行6 （2012 年高考（上海

21、春） ）已知空間三條直線若 與異面,且 與異面,則 .lmn、lmln（）A與異面.B與相交.mnmnC與平行.D與異面、相交、平行均有可能.mnmn7（2012 年高考（陜西理） ）如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,111ABCABC,則直線與直線夾角的余弦值為（）12CACCCB1BC1ABABCD55532 55358（2012 年高考（江西理） ）如圖,已知正四棱錐 S-ABCD 所有棱長(zhǎng)都為 1,點(diǎn) E 是側(cè)棱 SC 上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn) E 垂直于 SC 的截面將正四棱錐分成上、下兩部分.記 SE=x(0 x1),截面下面部分的體積為 V(x),則函數(shù) y=V(x)的圖像大致為登陸登陸

22、2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 10 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)二、填空題（每小二、填空題（每小題題 5 5 分，分，共共 2525 分）分）21 世紀(jì)教育網(wǎng)9（2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）在如圖所示的正方體中,異面直線1111ABCDABC D與所成角的大小為_1AB1BCD1C1B1A1DCAB10（2012 年高考（上海理） ）如圖,AD 與 BC 是四面體 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2。若AD=2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a、c 為常數(shù),則四面體ABCD 的體積的最大值是 _ .11

23、（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題）已知某一多面體內(nèi)接于一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,如果該組合體的正視圖.測(cè)試圖.俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為 2的正方形,則該球的表面積是_ABCD登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 11 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng) 12（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理） ）已知圓和圓是球的大圓和小圓,其OKO公共弦長(zhǎng)等于球的半徑,且圓與圓所在的平面所成的一個(gè)二面角為O32OK OK,則球的表面積等于_.60O 13（2013 年高考北京卷（理） ）如圖,在棱

24、長(zhǎng)為 2 的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為_.21 世紀(jì)教育網(wǎng)三、解答題（三、解答題（1414 題題 1515 分，分，1515 題題 1010 分，分，1616 題題 1010 分，共分，共 3535 分）分）14（2013 年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試浙江數(shù)學(xué)（理）試題）如圖,在四面體中,BCDA平面,.是的中點(diǎn), 是的中ADBCD22, 2,BDADCDBCMADPBM點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且.（本題 15 分）QACQCAQ3(1)證明:平面;(2)若二面角的大小為,求的大小./PQBCDDBMC060BDC登陸登陸21

25、21世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 12 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)15.（2013 年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷）如圖,在正三棱錐中,異面直111ABCABC16AA 線與所成角的大小為,求該三棱柱的體積.(10 分)1BC1AA6B1A1C1ACB16.（2013 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)） ）（本小題滿分 10 分）.如圖,在三棱錐中,平面平面,過作ABCS SABSBCBCAB ABAS A,垂足為,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn).SBAF FGE，SCSA，求證:(1)平面平面; (2). 21 世紀(jì)教育網(wǎng)/EFGA

26、BCSABC 【參考答案參考答案】21 世紀(jì)教育網(wǎng)登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 13 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)一、選擇題一、選擇題 1.A 2.A 3.A 4.A 5.C 6.D 7.A 8.A,二、填空題二、填空題21 世紀(jì)教育網(wǎng)9. 310. 解析 作 BEAD 于 E,連接 CE,則 AD平面 BEC,所以 CEAD, 由題設(shè),B 與 C 都是在以 AD 為焦距的橢球上,且 BE、CE 都 垂直于焦距 AD,所以 BE=CE. 取 BC 中點(diǎn) F, 連接 EF,則 EFBC,EF=2, 1221BEEFB

27、CSBEC四面體 ABCD 的體積,顯然,當(dāng) E 在 AD 中點(diǎn),即 123231BESADVcBECB 是短軸端點(diǎn)時(shí),BE 有最大值為 b=,所以. 22ca 12232maxcaVc11. 12. 13. 12162 55三、解答題三、解答題21 世紀(jì)教育網(wǎng)14. 【答案】解:證明()方法一:如圖 6,取的中點(diǎn),且是中點(diǎn),所以MDFMAD.因?yàn)槭侵悬c(diǎn),所以;又因?yàn)?)且3AFFDPBM/ /PFBD3AQQC,所以,所以面面,且面,所以3AFFD/ /QFBD/ /PQFBDCPQ BDC面; / /PQBDCADBEC登陸登陸2121世紀(jì)教育世紀(jì)教育 助您教考全無憂助您教考全無憂21 世紀(jì)教育網(wǎng) 精品資料第 14 頁 （共 16 頁） 版權(quán)所有21 世紀(jì)教育網(wǎng)方法二:如圖 7 所示,取中點(diǎn),且是中點(diǎn),所以;取的