高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討會(huì)專題數(shù)列

1、歡迎光臨中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng) zxsx127 2011年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討會(huì)專題:數(shù)列九江市同文中學(xué) 張園和數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題也是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化

2、與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決。一、教學(xué)要求本專題的教學(xué)要求有以下幾點(diǎn)。1、了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義。2、理解等差數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題。能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系。3、理解等比數(shù)列的概念；掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單問題。

3、能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題。了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。探索等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。4、數(shù)列教學(xué)，要注意的問題：(1) 教學(xué)中，應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。(2) 會(huì)根據(jù)簡(jiǎn)單數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。(3) 教學(xué)中，要掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度，避免繁瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題。(4) 等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)重視在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系。這樣做，既突出了問題意識(shí)，也有助于學(xué)生理解數(shù)列的本質(zhì)。二、考綱要求江西省2009年高考仍按教育部考試中心頒布的大綱

4、實(shí)施，其中有關(guān)數(shù)列的部分是這樣寫的：考試內(nèi)容：數(shù)列等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式考試要求：(1) 理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)(2) 理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。(3) 理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。三、試題特點(diǎn)1、考情統(tǒng)計(jì) 2005年高考各地的16套試卷中，每套試卷均有1道數(shù)列解答題試題，處于壓軸位置的有6道。數(shù)列解答題屬于中檔題或難題。其中，涉及等差數(shù)列和等比

5、數(shù)列的試題有11道，有關(guān)遞推數(shù)列的有8道，關(guān)于不等式證明的有6道。另外，等比求和的錯(cuò)位相減法，廣東卷的概率和數(shù)列的交匯，湖北卷的不等式型的遞推數(shù)列關(guān)系都是高考試題中展現(xiàn)的亮點(diǎn)。2006年高考各地的18套試卷中,有18道數(shù)列解答試題。其中與函數(shù)綜合的有6道，涉及數(shù)列不等式證明的有8道，北京還命制了新穎的“絕對(duì)差數(shù)列”。值得一提的是，其中有8道屬于遞推數(shù)列問題，這在高考中是一個(gè)重點(diǎn)。2007年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題，有7套試卷是在壓軸題的位置，有9套是在倒數(shù)第二道的位置，其它的一般在第二、三的位置，幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列，有9道涉及到數(shù)列、不等式或函數(shù)的綜合問題，安徽省還出現(xiàn)了一道數(shù)列應(yīng)

6、用題。2008年高考各地的各套試卷中都有數(shù)列題，也都是幾乎每道題涉及到遞推數(shù)列， 數(shù)列、不等式或函數(shù)的綜合問題。綜上可知，數(shù)列解答題是高考命題的一個(gè)每年必考且難度較大的題型，其命題熱點(diǎn)是與不等式交匯、呈現(xiàn)遞推關(guān)系的綜合性試題。其中，以函數(shù)迭代、解析幾何中曲線上的點(diǎn)列為命題載體，有著高等數(shù)學(xué)背景的數(shù)列解答題仍將是未來高考命題的亮點(diǎn)，而以考查學(xué)生歸納、猜想、數(shù)學(xué)試驗(yàn)等能力研究性試題也將成為高考命題的一個(gè)新亮點(diǎn)。2、主要特點(diǎn)數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，也是與大學(xué)銜接的內(nèi)容，由于在測(cè)試學(xué)生邏輯推理能力和理性思維水平，以及考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等方面有不可替代的作用，所以在歷年高考中占有重要地位，

7、近幾年更是有所加強(qiáng)。 數(shù)列解答題大多以數(shù)列為考查平臺(tái)，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過運(yùn)用遞推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力，其難度屬于中、高檔難度。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列、等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏一般情況下都是一個(gè)客觀題和一個(gè)綜合解答題。數(shù)列的綜合題難度都很大，甚至很多都是試卷的壓軸題，它不僅考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，還涉及了配方法、換元法、待定系數(shù)法、放縮法等基本數(shù)學(xué)方法其中的高考熱點(diǎn)探索性問題也出現(xiàn)在近年高考的數(shù)列解答題中。3、考查知識(shí)(1) 考查數(shù)列、等差數(shù)

8、列、等比數(shù)列等基本知識(shí)、基本技能。(2) 與函數(shù)、方程、不等式、解析幾何等知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究過程中知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)，進(jìn)而考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。(3) 以應(yīng)用題或探索題的形式出現(xiàn)，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)揮創(chuàng)造能力提供廣闊的空間。四、試題類型下面我以2008年高考試題為例，大致概括一下高考數(shù)列試題的常見類型。只談數(shù)列本身，不涉及數(shù)列與向量、三角或解析幾何等知識(shí)的交匯。類型一：考查等差、等比數(shù)列的基本問題等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們是數(shù)列部分的重點(diǎn)，也是高考考查的熱點(diǎn)。等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)的和等基本知識(shí)一直是高考考查的重點(diǎn)，這方面考題的解

9、法靈活多樣，技巧性強(qiáng)，考查的目的在于測(cè)試考生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，這個(gè)“靈活”就集中在“轉(zhuǎn)化”的水平上。江西卷5 在數(shù)列中， ，則( )a b c d解：選。 ， 江西卷19 數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，。(1) 求；(2) 求證。解：（1）設(shè)的公差為，的公比為，則為正整數(shù)，依題意有 由知為正有理數(shù)，故為的因子之一，解得，故。(2),。 全國(guó)文19 在數(shù)列中，。(1) 設(shè)，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（1），則為等差數(shù)列，。(2) ,兩式相減，得。全國(guó)文18 等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項(xiàng)的和。解：設(shè)數(shù)列的

10、公差為，則，。 由成等比數(shù)列得，即，整理得，解得或。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，于是。類型二：考查遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題對(duì)于由遞推式所確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，通常可對(duì)遞推式進(jìn)行變形，從而轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列問題來解決，這類問題一直是高考久考不衰的題型。天津卷20 在數(shù)列中，且（）第(2)問：求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由（）得，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。，。將以上各式相加，得所以當(dāng)時(shí)，上式對(duì)顯然成立四川卷20 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知。第(2)問：求的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時(shí)，由（）知，即；當(dāng)時(shí)，由：，兩邊同時(shí)除以得。可設(shè)，是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。，。類型三：考查數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式都是高中數(shù)學(xué)重

11、要內(nèi)容，一些常見的解題技巧和思想方法在數(shù)列與不等式的綜合問題中都得到了比較充分的體現(xiàn)以兩者的交匯處為主干，構(gòu)筑成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)型代數(shù)推理題，在高考中出現(xiàn)的頻率相當(dāng)高，占據(jù)著令人矚目的地位。陜西卷22 已知數(shù)列的首項(xiàng)，(1) 求的通項(xiàng)公式；(2) 證明：對(duì)任意的，；(3) 證明：。解：（1），又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，(2) 由（1）知，。(3) 由（2）知，對(duì)任意的，有取，則 浙江卷22 已知數(shù)列，,，記，。求證：(1) ；(2) ；(3) 。解：(1)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭欠匠痰恼?，所以。假設(shè)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以即當(dāng)時(shí)，也成立。根據(jù)和，可知對(duì)任何都成立。(2)證明：由，（），得

12、因?yàn)?，所以由及得，所以?3)證明：由，得，所以，于是故當(dāng)時(shí)，又因?yàn)椋?。類型四：考查存在性和探索性問題這類題突出了對(duì)學(xué)生的探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力的考查，有的試題對(duì)此考查全面且達(dá)到了一定的深度，體現(xiàn)了研究性學(xué)習(xí)思想。江蘇卷19 (1) 設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來的順序)是等比數(shù)列。當(dāng)n = 4時(shí)，求的數(shù)值；求的所有可能值； (2) 求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n (n4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)(按原來順序)都不能組成等比數(shù)列。解：(1) 當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出

13、d=0。若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得; 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得. 綜上，得或。當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng)).綜上所述，。(2) 假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中()為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡(jiǎn)得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0。當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。故與同時(shí)不為0，所以

14、由（*）得，因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求。 湖北卷21 已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù)。(2) 試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；(3) 設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由。解：(2)解：因?yàn)閎n+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+21=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n·（an-3n+21）=bn，又b1x-(+18),所以當(dāng)18時(shí)，bn=0(nn+)，此

15、時(shí)bn不是等比數(shù)列；當(dāng)18時(shí)，b1=(+18) 0,由上可知bn0，所以(nn+)。故當(dāng)18時(shí)，數(shù)列bn是以(18)為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。(3) 由(2)知，當(dāng)18，bn=0，sn=0，不滿足題目要求。18，故知bn= -(+18)·()n-1，于是可得sn=- 要使a<sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a<-(+18)·1()n<b (nn+) 令，當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，1<f(n)f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,于是，由式得a<-(+18),<當(dāng)a<b3a時(shí)，由b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足

16、題目要求；當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<sn<b,且的取值范圍是(b-18,-3a-18)。五、復(fù)習(xí)建議在二輪復(fù)習(xí)中，如何做到有針對(duì)性，高效率，是每個(gè)老師都應(yīng)認(rèn)真思考的問題。就數(shù)列這一部分而言，我個(gè)人有以下幾點(diǎn)想法或體會(huì)。1、基礎(chǔ)題要確保，難題要有所為有所不為基礎(chǔ)題主要考查等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等內(nèi)容，對(duì)基本的計(jì)算技能要求不是很高，建議要強(qiáng)化方程思想在解題中的作用(基本量)，知道前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系。對(duì)中等及偏下的學(xué)生不必介紹過多解題技巧，對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可適當(dāng)介紹。例5.1.1 設(shè)數(shù)列是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若，則(

17、 )a. 150 b. c. 150或 d. 400或方法一：當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，故。于是解得：。所以，選a.方法二：設(shè)，易知成等比數(shù)列，所以或所以選c.兩種算法得到不同的結(jié)果。那么問題出現(xiàn)在哪里？運(yùn)用解法二應(yīng)注意什么？象這些基礎(chǔ)性的，在復(fù)習(xí)時(shí)一定要學(xué)生弄清楚，不可一知半解。對(duì)試卷中放在最后的壓軸數(shù)列題，重點(diǎn)應(yīng)放在前一問，基礎(chǔ)較好的應(yīng)沖刺最后一問，不能刻意求全，能做到分步得分就行。同時(shí)不能放棄數(shù)列常規(guī)題的復(fù)習(xí)教學(xué)，這仍是一個(gè)重點(diǎn)，這是一項(xiàng)“根深葉茂”的基礎(chǔ)工程，至關(guān)重要。2、關(guān)于遞推數(shù)列問題遞推數(shù)列求通項(xiàng)確實(shí)不屬于考試大綱的要求，大綱中的規(guī)定是“了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公

18、式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)”。但是遞推公式只是向?qū)W生呈現(xiàn)了一種陌生情境，讓學(xué)生轉(zhuǎn)換化歸為已知數(shù)列來解決，也就是讓學(xué)生運(yùn)用已有的數(shù)列知識(shí)去解決新的數(shù)列問題，即“能力立意”，遞推關(guān)系只是能力立意的載體，真正考查的是轉(zhuǎn)換與化歸等數(shù)學(xué)思想方法。從近幾年的高考來看，遞推之風(fēng)盛行。不過，江西這邊情況稍有不同。最近幾年的數(shù)列題如下：2005年江西卷第(21)題 已知正項(xiàng)數(shù)列中 （）求證；（）求通項(xiàng)2006年江西卷第(22)題 已知數(shù)列滿足：，且。(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 證明：對(duì)于一切正整數(shù)，不等式。2007年江西卷第(22)題 設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有 （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)。2008年

19、江西卷第(19)題 數(shù)列為等差數(shù)列，為正整數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，數(shù)列是公比為64的等比數(shù)列，。(1) 求；(2) 求證。前三年均為遞推數(shù)列，但08年風(fēng)平浪靜，09年還會(huì)風(fēng)起云涌么？我覺得，對(duì)于09年的高考數(shù)列題我們不必去“預(yù)測(cè)”，不管形式如何變化，對(duì)于遞推數(shù)列還是要認(rèn)真復(fù)習(xí)。但生源好的學(xué)校可以適當(dāng)加強(qiáng)，生源一般的學(xué)校無須舍本求末得不償失。高考以能力立意，這里的能力是指：思維能力，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活的觀察分析力，創(chuàng)造性的想像能力，探究性實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力，理解運(yùn)用實(shí)際問題的能力，分析和解決問題的探究創(chuàng)新能力，處理、運(yùn)用信息的能力，新材料、新情景、新問題應(yīng)變理解能力。其重點(diǎn)是概念觀點(diǎn)形成和規(guī)律的認(rèn)

20、識(shí)過程，它往往蘊(yùn)藏在最簡(jiǎn)單、最基礎(chǔ)的題目之中。如果知識(shí)的熟練程度達(dá)不到，一味鉆研綜合題、難題，反而會(huì)影響能力的提高。所以無論一輪復(fù)習(xí)還是二輪復(fù)習(xí)都應(yīng)該將重點(diǎn)放在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的訓(xùn)練上，對(duì)于學(xué)生提出的一些基礎(chǔ)性的問題要認(rèn)真對(duì)待。例5.2.1 已知，數(shù)列滿足，證明：。有個(gè)同學(xué)這樣考慮：對(duì)于函數(shù)，則，這說明它在區(qū)間上是遞增的，但要證明的數(shù)列卻是單調(diào)遞減的，不是說數(shù)列是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)么？很是困惑。對(duì)于數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系問題，必須要提醒學(xué)生注意。其一，因?yàn)閿?shù)列在任何一點(diǎn)處都不可導(dǎo)，因此研究其單調(diào)性不能直接對(duì)求導(dǎo)；其二，數(shù)列的單調(diào)性與對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系如何，要看給出的關(guān)系式是

21、通項(xiàng)公式還是遞推式。如果給出的是通項(xiàng)公式，則函數(shù)在上單調(diào)遞增(減)數(shù)列單調(diào)遞增(減)；如果給出的是遞推式:，則有函數(shù)單調(diào)遞增且()數(shù)列單調(diào)遞增(減)；函數(shù)單調(diào)遞減且數(shù)列是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，不具有單調(diào)性，但和都是單調(diào)數(shù)列，且單調(diào)性相反。我剛才說到，遞推數(shù)列的復(fù)習(xí)不可小視。但如何抓住重點(diǎn)，把握難點(diǎn)？談點(diǎn)個(gè)人看法。由于該內(nèi)容在考試大綱中沒有一個(gè)明確的說法，所以具體教學(xué)時(shí)難以把握教學(xué)要求，難以控制難度，造成這項(xiàng)內(nèi)容極易膨脹。有的教師受一些參考資料的影響，對(duì)學(xué)生進(jìn)行遞推數(shù)列的系統(tǒng)教學(xué)，講解由遞推關(guān)系求通項(xiàng)的各種類型各種方法，包括一階的，二階的，整式的、分式的，甚至特征方程也講。結(jié)果呢？時(shí)間和精力花了不少，學(xué)

22、生解數(shù)列題的能力卻不見長(zhǎng)進(jìn)，到頭來不僅不會(huì)做數(shù)列題，而且由于增加了學(xué)生不少的負(fù)擔(dān)，也把寶貴的復(fù)習(xí)時(shí)間浪費(fèi)了。我認(rèn)為，求通項(xiàng)不應(yīng)是遞推數(shù)列教學(xué)的全部?jī)?nèi)容，甚至還不是主要內(nèi)容。能通過直接求出通項(xiàng)而解決的問題往往不會(huì)使我們感到為難，大量的、有難度的問題都不是靠求出通項(xiàng)去解決，而是靠弄清數(shù)列“項(xiàng)的特征”后而解決的，因?yàn)閿?shù)列“項(xiàng)”的特征清楚了，許多問題也就解決了。所以可以這樣認(rèn)為：遞推數(shù)列教學(xué)的重點(diǎn)不是求通項(xiàng)，而是通過遞推關(guān)系式確定數(shù)列“項(xiàng)”的特征，其中求通項(xiàng)公式只是確定數(shù)列“項(xiàng)”的特征的一種方法，它是解決遞推數(shù)列基礎(chǔ)。為了研究數(shù)列“項(xiàng)”的特征，最關(guān)鍵的是要對(duì)遞推式進(jìn)行“恰當(dāng)?shù)淖冃巍?。由于?duì)遞推式的變形

23、沒有固定的模式，如何變形不僅與條件式的結(jié)構(gòu)有關(guān)，還也問題的形式有關(guān)，要實(shí)現(xiàn)條件與結(jié)論的聯(lián)系需要用到觀察、歸納、類比、猜想、推理等思想方法的綜合應(yīng)用，這成了遞推數(shù)列教學(xué)的難點(diǎn)。由于要突破這個(gè)難點(diǎn)所要用到的是學(xué)生“觀察、歸納、類比、猜想、推理、計(jì)算、證明等思想方法的組合運(yùn)用”，這正是學(xué)生綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)，也正是學(xué)生遷移能力和學(xué)習(xí)潛能的反應(yīng)，要使學(xué)生在解這類問題時(shí)表現(xiàn)出色，必須在平時(shí)教學(xué)中對(duì)所有教學(xué)內(nèi)容都充分挖掘教材的思想性，充分揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握“陳述性知識(shí)”的同時(shí)掌握好數(shù)學(xué)中的“程序性知識(shí)”。把握住了遞推數(shù)列教學(xué)的方向，教學(xué)時(shí)就不會(huì)患得患失、無所適從，就不必在求通項(xiàng)方面大做文章大加拓

24、展，只要講清了數(shù)列中應(yīng)該挖掘的等量與不等量關(guān)系下的“累加法、疊乘法、迭代法、恒等變形法” 等就可以了。這樣，我們的教學(xué)就回歸到了本位挖掘數(shù)學(xué)思想，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì).例5.2.2 (08浙江卷22) 已知數(shù)列，。記，。求證：當(dāng)時(shí)， (1)；(2)；(3) 。首先我們不難發(fā)現(xiàn)由遞推關(guān)系式是很難求出通項(xiàng)公式來的，為了探尋an的特征，我們用數(shù)學(xué)歸納法先證明（1）當(dāng)時(shí)，即數(shù)列an是遞增數(shù)列，由此不難得出an<1()，又由0，得，所以，這就是數(shù)列an的“項(xiàng)”的特征，有了它，后面兩個(gè)問題就好解了。其中（3）的證法可以是：這樣解顯得更自然、流暢。3、試卷講評(píng)或習(xí)題講解時(shí)要講到點(diǎn)子上不要用教師過早的“引導(dǎo)”限

25、制、代替學(xué)生的思維，要重視思維過程的指導(dǎo)，暴露如何想？怎么做？談來龍去脈，重視通性通法的運(yùn)用。多讓學(xué)生感到自然，與你共鳴。少讓學(xué)生感到突然，強(qiáng)加給學(xué)生。努力使學(xué)生覺得，你老師想到的，我也差不多能夠想到。少讓學(xué)生感到，只有你老師自己能夠想到，我怎么想也想不到。如果學(xué)生總覺得“老師你真聰明”，那將不是一件好事。例如，數(shù)列和不等式的聯(lián)系一直是高考的一個(gè)熱點(diǎn)，所以也是我們高考復(fù)習(xí)的一個(gè)重點(diǎn)。這種遞推不等式問題新穎多變，綜合性強(qiáng)，時(shí)常被設(shè)置為壓軸題，成為高考的熱點(diǎn)和亮點(diǎn)問題。從近年的試題來看，這類問題具有證法多樣性、思維靈活性、問題新穎性、聯(lián)系廣泛性、形式多變性、全面綜合性，我們?cè)趶?fù)習(xí)中也應(yīng)該采取進(jìn)一步

26、的措施，以培養(yǎng)學(xué)生的能力。用數(shù)學(xué)歸納法證明與有關(guān)的遞推不等式，歸納過程往往會(huì)有一定的困難，或者根本證不出來，此時(shí)要強(qiáng)化命題，或增加起點(diǎn)，或兩次運(yùn)用歸納假設(shè)才能順利地完成歸納過渡。在處理問題時(shí)，務(wù)必要充分暴露思維的過程，并且要調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極思維，否則效果不會(huì)很好。例如，關(guān)于 為常數(shù)型不等式的證明，若用放縮法來證，一般考慮對(duì)放縮：，其中為一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)，即，那么接下來的任務(wù)即尋找公比了。于是，。從而已知即可得公比。有了放縮的尺度，就不會(huì)出現(xiàn)放縮過大或過小。舉兩個(gè)例子。例5.3.1(07四川卷22)求證：。分析：令，則。令，所以，可設(shè)。證明：，于是。所以如果教學(xué)時(shí)沒有向?qū)W生說明清楚是怎么來的，而是照搬答案，那么學(xué)生只能認(rèn)為老師高明，而無法學(xué)會(huì)自己如何去分析。例5.3.2 (08浙江卷22) 已知數(shù)列，,，記，。求證：當(dāng)時(shí)，(1) ；(2) ；(3) 。分析：先尋找放縮的方法。令，由得。記，則。下