不定積分的求解及相關(guān)應(yīng)用

1、不定積分的求解及相關(guān)應(yīng)用目錄摘要一 引言二 不定積分的求解方法及所對(duì)應(yīng)例題解析 （一）基本公式法（直接積分法） （二）逐項(xiàng)積分法、因式分解法 （三）“湊”微分法（第一類換元法） （四）第二類換元法（參變量積分法） （五）分部積分法 （六）有理函數(shù)的積分 （七）其他類型的積分舉例 三 解不定積分的一般步驟四 不定積分的應(yīng)用舉例（一） 在幾何中的應(yīng)用（二） 在物理中的應(yīng)用（三） 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用參考文獻(xiàn)致謝【摘要】不定積分常見的計(jì)算方法在本科階段可以歸納為七大類以及某些特殊不定積分的求解方法，如：基本公式法（直接積分法）、逐項(xiàng)積分法+因式分解法、換元積分法（第一類換元法和第二類換元法）、分部積分法

2、、有理函數(shù)的積分以及一些特殊函數(shù)的積分技巧與方法（三角函數(shù)有理式與簡單無理函數(shù)的積分），并將結(jié)合實(shí)際例題加以討論以便于解不定積分題目既能快捷又方便的尋找出最佳的解題方法。（英文摘要，暫略）【關(guān)鍵詞】 不定積分 基本公式法 換元積分法 分部積分法 有理函數(shù)的積分 三角函數(shù)有理式與簡單無理函數(shù)的積分（英文關(guān)鍵詞，暫略）一 引言定積分的思想在古代就已蔭芽，但是17世紀(jì)下半葉之前，有關(guān)定積分的完整理論還未形成。直到牛頓一萊布尼茨公式建立以后，計(jì)算問題得以解決，定積分才迅速建立發(fā)展起來，并對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。在初學(xué)定積分時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難較大，所以先引進(jìn)求導(dǎo)的逆運(yùn)算一一求不定積分，為學(xué)生

3、的學(xué)習(xí)提供了方便，拓展了學(xué)生的思維。20世以來，隨著大量的邊緣科學(xué)諸如電磁流體力學(xué)、化學(xué)流體力學(xué)、動(dòng)力氣象學(xué)、海洋動(dòng)力學(xué)、地下水動(dòng)力學(xué)等等的產(chǎn)生和發(fā)展，相繼出現(xiàn)各種各樣的微分方程，通過不定積分我們得出這些問題解，從而處理各種科學(xué)問題，促進(jìn)社會(huì)發(fā)展。所以不定積分的求解不僅是學(xué)校對(duì)我們的要求，也是適應(yīng)社會(huì)發(fā)展的學(xué)習(xí)趨勢。不定積分是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容，是一元微積分中非常重要的內(nèi)容之一，是積分學(xué)中最基本的問題之一，又是求定積分、廣義積分，瑕積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的基礎(chǔ)。牢固掌握不定積分的理論和運(yùn)算方法，可以使學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的導(dǎo)數(shù)和微分學(xué)及其它相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握好不定積分的求

4、解方法對(duì)于學(xué)習(xí)這些后續(xù)內(nèi)容是非常重要的。同一道題也可能有多種解法，多種結(jié)果，所以當(dāng)今學(xué)生們解決不定積分的題目普遍覺得困難，即便最后解決了題目，可能也走了許多彎路。最后若能從“彎路”中總結(jié)不定積分的求解方法，那么那些“彎路”都是有價(jià)值的，但是若只求結(jié)題，事后不思考、總結(jié)，那就是在浪費(fèi)時(shí)間，也逐漸減少了學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。不定積分的解法不像微分運(yùn)算有一定的法則，它需要根據(jù)不同的題型特點(diǎn)采用不同的解法，因此積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，方法更多樣，技巧性更強(qiáng)。下面針對(duì)一些常見函數(shù)的不定積分的各種求解方法進(jìn)行分類歸納，希望能提供一種簡便的有效途徑使得大學(xué)生具備解決不定積分題目的便捷能力和基本素質(zhì)。定義1

5、如果在區(qū)間上，可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，即對(duì)任一,都有或,那么函數(shù)就稱為（或）在區(qū)間上的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù)，使對(duì)任一都有，即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。定義2 函數(shù)在區(qū)間的所有的原函數(shù)稱為函數(shù)的不定積分，表為 （，C為積分常數(shù)）, 其中稱為積分符號(hào)，x稱為積分變量，稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，C稱為積分常數(shù)。在這里要特別注意：一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是這一函數(shù)的全體原函數(shù)，它的幾何意義是一族平行的積分曲線，簡稱為積分曲線族。例如：，而；，而；，而.也就是說：和是不相等的，即前者的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)，而后者是無窮多個(gè)函數(shù)，所以，在書

6、寫計(jì)算結(jié)果時(shí)一定不能忘記積分常數(shù)。二 不定積分的求解方法（一）基本公式法（直接積分法）既然積分運(yùn)算是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，那么自然地可以從導(dǎo)數(shù)公式得到相應(yīng)的積分公式，并且我們把一些基本的積分公式列成一個(gè)表，這個(gè)表通常叫作基本積分表：、,其中k是常數(shù). .、，其中是常數(shù)，且.、,.、,其中.、.、.、當(dāng)我們看到所求不定積分已經(jīng)對(duì)應(yīng)了公式中的某一條，如 ，則用公式法求解。在實(shí)際問題中，一般不是很簡單，需將原題通過其他方法進(jìn)行變換，從而滿足基本積分表再計(jì)算。例如：. 例2.1.1 計(jì)算.解：原式 說明：為任意的常數(shù)，因此可用一個(gè)常數(shù)C來表示。以后對(duì)于一個(gè)不定積分，只要在積分結(jié)果后面所得的式子中寫上一個(gè)積

7、分常數(shù)即可，后面的就不一一說明了。例2.1.2 計(jì)算.解：原式 例2.1.3 計(jì)算.解：原式 基本公式法只能計(jì)算比較簡單的不定積分，或者是稍做變形就可以用基本積分表解決的不定積分，對(duì)于其他有點(diǎn)復(fù)雜的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。（二） 逐項(xiàng)積分法、因式分解法逐項(xiàng)積分法和因式分解法是由不定積分的兩大性質(zhì)而得。由不定積分的定義可以推得它有以下兩個(gè)性質(zhì)： 性質(zhì)1 在區(qū)間上，設(shè)函數(shù),都有原函數(shù),那么函數(shù)也有原函數(shù)（其中是常數(shù)），并且 .性質(zhì)2 設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在，k為非零常數(shù)，則. 利用不定積分的這兩個(gè)性質(zhì)，可以將復(fù)雜積分的多項(xiàng)式分解為幾個(gè)單項(xiàng)式，然后利用基本積分公式進(jìn)行計(jì)算。

8、例如， 不過，這一積分方法的更有助于帶有三角函數(shù)的積分求解，借助三角函數(shù)恒等式，可將高次函數(shù)降冪，化成容易積分的形式。故我們見到兩個(gè)因式相乘除、高次三角函數(shù)積分時(shí)，要首先考慮用這種方法。下面舉例說明。例2.2.1 求. 解：原式例 2.2.2 求.解：原式 例 2.2.3 求.解：原式 （三）“湊”微分法(第一類換元法）換元積分法是利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則而推得的，可分為兩種即“湊”微分法（第一類換元法）和第二類換元法。下面討論第一類換元法。如果不定積分用基本公式法不易求得，但被積函數(shù)可化為 且設(shè)的原函數(shù)，即，令，且，則可將有關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分，于是有這就是第一換元積分公式。第一

9、類換元法又叫“湊”微分法是因?yàn)椋涸诮忸}過程中，為被積函數(shù)的中間變量湊一個(gè)微分，從而達(dá)到換元解題的目的。當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí)，首先考慮這種方法，因?yàn)槲覀兛梢詾閺?fù)合函數(shù)的中間變量“湊”微分達(dá)到解題目的。若復(fù)合函數(shù)中間變量的微分顯然存在于被積函數(shù)中，如的被積函數(shù)中“sin2x”是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，“2”恰好是中間變量“”的微分，那么就有 令代入，即得.若復(fù)合函數(shù)中間變量的微分并沒有存在于被積函數(shù)中，則需要湊一個(gè)微分。例如，被積函數(shù)，.這里缺少這樣一個(gè)因子，但由于是一個(gè)常數(shù)，故可改變系數(shù)來湊出這個(gè)因子：從而令，便有 一般可用“湊微分”法解的題型較多，方法也很靈活，但也有規(guī)律可循，按基本初等函數(shù)類型進(jìn)行總

10、結(jié)，常見題型有：、 、 、下面舉例說明：例2.3.1 求.解： 原式例2.3.2 求. 解： 不難看出上述題型都是中間變量的微分已經(jīng)存在于被積函數(shù)中的類型，但是有時(shí)也需進(jìn)行一定的變形才能發(fā)現(xiàn)。例2.3.3 求解：原式 對(duì)于中間變量的微分未存在于題干中的題目，我們可以通過乘以因式再除以因式的方法“湊”出微分。例2.3.4 求.解：原式例2.3.5 求.解：原式 例2.3.6 計(jì)算.解法一：解法二：雖然這兩種解法所得的結(jié)果只是形式上的不同，但經(jīng)過驗(yàn)證均為的原函數(shù)。（四）第二類換元法（參變量積分法）將積分中的x適當(dāng)?shù)剡x擇變量代換，將積分化為積分即：可是這公式的成立需要一定條件：首先，等式右邊的不定積

11、分要存在，即有原函數(shù)；其次，求出后必須用的反函數(shù)代回去，為了保證該反函數(shù)存在而且是單值可導(dǎo)的，我們假定直接函數(shù)在t的某一個(gè)區(qū)間（這區(qū)間和所考慮x的積分區(qū)間相對(duì)應(yīng)）上是單調(diào)的、可導(dǎo)的，并且則有其中是的原函數(shù)。由此可見，第二類換元法的換元與回代過程和第一類換元法是正好相反。在被積函數(shù)是復(fù)合函數(shù)時(shí)，有很多的中間變量的微分是無法用第一類換元法“湊”出來的，這就要用第二類換元法。第二類換元法的換元形式十分多變，真正做到靈活運(yùn)用需要積累很多經(jīng)驗(yàn)。以下是幾個(gè)常用的換元方法：三角代換1 被積函數(shù)含有根式，令2 被積函數(shù)含有根式，令 被積函數(shù)含有根式，令倒代換根式代換被積函數(shù)含有第二類換元積分的解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)

12、代換關(guān)系。下面舉例說明。例2.4.1 求.解：令，故有，得.則 例2.4.2 求.解：令，故.則 應(yīng)用三角形法則回到原變量，由作直角三角形（如圖1），可得a（圖1）xt，于是例2.4.3 求不定積分（a>0）.解：令，則，所以有例2.4.4 求不定積分（a>0）解：令，則，所以有回代，得對(duì)于某些被積函數(shù)，若分母中含有因子時(shí)，可做倒代換，即令，從而可得積分。一般在有理函數(shù)中分母的階數(shù)較高時(shí)常使用到倒代換法。如下面的例子例2.4.5 求不定積分解：令，則，所以有例2.4.6 求不定積分.解：令，則，故有 當(dāng)被積函數(shù)中含有時(shí)，可令；其中k為m,n的最小公倍數(shù)。這也就是根式代換法。（五）分

13、部積分法現(xiàn)在我們利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，來推導(dǎo)出另一個(gè)求積分的基本方法分部積分法。分部積分法是一種常用的積分方法。設(shè)函數(shù)及具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式是移項(xiàng)，得 對(duì)這個(gè)等式兩邊分別求不定積分，得 （2.5.1）或 （2.5.2）稱（2.5.1）或（2.5.2）為分部積分公式。說明：分部積分法的關(guān)鍵是和的選取，其一般要求是（）要比易求（）要容易求出.根據(jù)此要求在下表中給出了在幾種常見的分部積分類型中相應(yīng)的和的選取方法：積分類型、的選擇（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）,的選擇隨意（9）,的選擇隨意注：表中a,b,k均為常數(shù)，為x的n次多項(xiàng)式。下面三種情

14、況可以用分部積分法求解：1 當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)中任意兩個(gè)的乘積時(shí)，首先考慮用分部積分法。2 當(dāng)求有困難，而求比較容易時(shí)可用分部積分法。3 公式右端的積分中會(huì)重新出現(xiàn)與所求積分相同的積分，將該相同的積分移到左端合并，可用分部積分法求得其解。下面列舉一些使用分部積分法的例子。例2.5.1 求解：令，則，故有例2.5.2 求解： 設(shè)，則，.故有例2.5.3 求.解：令，故有 分部積分公式還可以推導(dǎo)積分遞推式，例如例2.5.4 計(jì)算，其中（ n>1是正整數(shù) ）解： 令，則，所以得所以有注：上例推導(dǎo)出了一個(gè)遞推公式，只要是重復(fù)利用該遞推公式，則的偶次冪最終將遞推到1，

15、奇數(shù)冪則最終將被遞推到，而1和可以積出來，因此利用上式遞推公式可以積分的任意正整數(shù)冪。由上面這些例子，對(duì)于分部積分法的u和dv的選擇可以總結(jié)出以下規(guī)律：優(yōu)先考慮取為u的函數(shù)的順序?yàn)椤胺磳?duì)冪三指”，即按反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的先后順序優(yōu)先選擇函數(shù)作為u，積分式其余部分則湊為dv .（六）有理函數(shù)的積分 利用多項(xiàng)式的除法，總可以將一個(gè)假分式化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和的形式，例如：.設(shè)，分別是n次和m次多項(xiàng)式，即則稱是一個(gè)有理函數(shù)。如果，則稱是有理假分式；如果，則稱是有理真分式。 任何一個(gè)有理假分式，再把分解為若干個(gè)部分分式之和。（對(duì)于部分分式的處理可能會(huì)比較復(fù)雜，若出

16、現(xiàn)時(shí)，則用遞推公式：），這里是一個(gè)次多項(xiàng)式，可見，有理函數(shù)的積分主要是真分式的積分。例2.6.1 求不定積分.解：因?yàn)?所以例2.6.2 求解：因?yàn)樵僦鸩椒e分有所以積分結(jié)果為例2.6.3 求.解：因?yàn)?，所以（七）其他類型的積分舉例1 三角函數(shù)有理式的積分 三角函數(shù)有理式就是對(duì)常數(shù)和三角函數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算得到的表達(dá)式。由于各種三角函數(shù)都可以用和的有理式表示，故三角函數(shù)的有理式也就是和的有理式，記作,其中表示兩個(gè)變量的有理式。在求解這類函數(shù)時(shí)，經(jīng)常用到萬能公式，即萬能公式：例2.7.1 求.解：設(shè)，有，則例2.7.2 求.解：設(shè)，有，則 變量代換對(duì)三角函數(shù)有理式的積分都可以應(yīng)用事實(shí)上，經(jīng)變換后

17、，有.即化為的有理函數(shù)的積分，但化出的有理函數(shù)的積分在很多情況下萬能公式的計(jì)算較繁，應(yīng)盡量避免。因此這種代換不一定是最簡捷的代換。例2.7.3 求.解：令， 2 無理函數(shù)的積分舉例在求無理函數(shù)的積分時(shí)常將某個(gè)根式另作新的變量，然后利用換元積分進(jìn)行積分。這里，我們只討論及這兩類函數(shù)的積分，其中表示兩變量的有理式。例2.7.4 求.解：為了去掉根號(hào)，可以設(shè).于是，從而所求積分為 例2.7.5 求.解：為了去掉根號(hào)，不妨設(shè)，于是 故 三 解不定積分的一般步驟在拿到不定積分的題目時(shí)，我們要分析題目屬于上述八種解題類型的哪一種。排除掉不可能的類型，再在可能的類型中進(jìn)一步篩選，直到留下兩種或兩種以下的解題

18、方法后，再進(jìn)行嘗試。若用某種方法解題時(shí)，無論怎樣都解不出答案，那么可先檢查自己有沒有運(yùn)算錯(cuò)誤，或者是否選錯(cuò)了方法。1. 直觀型用“基本公式法”2. 被積函數(shù)是多個(gè)因式相乘除的用“逐項(xiàng)積分法，因式分解法”、“第一類換元積分法”、“第二類換元積分法”、“有理函數(shù)的積分”。3. 被積函數(shù)帶有某個(gè)函數(shù)微分的用“第一類換元積分法”、“分部積分法”。4. 被積函數(shù)為無理函數(shù)的首先考慮“第一類換元積分法”、“第二類換元積分法”。5. 被積函數(shù)是冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)中任意兩個(gè)的乘積時(shí)，首先考慮用“分部積分法”。 總之，上面所介紹的不定積分的求解方法都是常用到的一些方法，在應(yīng)用時(shí)要根據(jù)被積函數(shù)的

19、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)采取合適的方法，而要做到靈活應(yīng)用積分方法需要我們?nèi)ザ嘧鲂┚毩?xí)來增長做題經(jīng)驗(yàn)，這樣解題時(shí)才能夠得心應(yīng)手。不定積分雖然有很多題型，但是解題的方法離不開上述七種，只要掌握了上述八種，任何不定積分的問題都可迎刃而解。四 不定積分的應(yīng)用舉例（一）在幾何中的應(yīng)用案例l 【曲線方程】設(shè)曲線通過點(diǎn)(1，2)，且曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率等這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線的方程。解 設(shè)所求曲線方程為，依題意，曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為即是的一個(gè)原函數(shù)。的不定積分為 因此必有某個(gè)常數(shù)使，即曲線方程為曲線族中的某條。又所求曲線通過點(diǎn)(1，2)，故，于是所求曲線為（二）在物理中的應(yīng)用案例2【結(jié)冰厚度】美麗的冰城常年積雪，滑冰場完全靠自然結(jié)冰，結(jié)冰的速度由（為常數(shù)）確定，其中是從結(jié)冰起到時(shí)刻時(shí)冰的厚度，求結(jié)冰厚度關(guān)于的函數(shù)。解 根據(jù)題意，結(jié)冰厚度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)為其中常數(shù)由結(jié)冰的時(shí)間確定。如果時(shí)開始結(jié)冰的厚度為0，即代入上式得。這時(shí)為結(jié)冰厚度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。案例3 【電流強(qiáng)度】 一電路中電流關(guān)于時(shí)間的變化率