三角形“四心”向量形式的充要條件及其應(yīng)用

1、三角形“四心”向量形式的充要條件及其應(yīng)用1 三角形的“四心”定理的平面幾何證明的圓 三飭形三邊的中垂線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形外接圓 心，稱外心。證明：設(shè)ab、bc的中垂線交于點(diǎn)0,則有0a=0b二0c, 故0也在ac的中垂線上，因?yàn)?到三頂點(diǎn)的距離相等， 故點(diǎn)0是a abc外接圓的圓心.因而稱為外心. 三角形三邊上的高交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的垂心。證明：ad、be、cf為aabc三條高，過點(diǎn)a、b、c分別作對(duì)邊的平行 線，相交成aa b' c , ad為w c的中垂線；同理be、cf也分別 為n a、£ w的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)， 命題得證. 三角形三邊中線交

2、于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心。證明:（同一法）設(shè)中線be, cf交于點(diǎn)g,連結(jié)ef,則ef/bc,且ef:bc=fg:gc=eg:gb=1:2.同理中線ad, be交于g；連結(jié)de,則:de/ab,且eg':g'b二i)g':g'a二de: ab二 1:2,故g, g'重合. 三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)為三角形內(nèi)切圓的 圓心,稱內(nèi)心。證明：設(shè)za、zc的平分線相交于i,過 i 作 id丄bc, ie丄ac, if丄ab,則有 ie二if二id.因此t也在zc的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一 點(diǎn).2三角形的“四心”定理的平面向量表達(dá)式及其證明

3、g是pp2p.的重心o 西+西+西=6 （其中是證明：充分性兩+ 西 + 西 =6no是人的重心若西+西+西貝|兩+西二西，以兩，西為鄰邊作平行四邊形oppj 設(shè)0出與人出交于點(diǎn)用，則可為片鬥的屮點(diǎn)，有opop2=op.,得 0p3 = -0p3 ,即0,pyp3，p四點(diǎn)共線，故鬥p為ppk的中線，同理，片0,£0亦為 pp2p3的中線，所以，0為的重心。必要性：o是nprp,的重心=>兩+亟+西=6如圖,延長(zhǎng)片o交篤妁于p,則p為肚的中點(diǎn)，由重心的性質(zhì)得匝卜2網(wǎng).pl 0p = -20p =-2x-(0p2 + op3) = -(op2+op：.opop2+op3=0 點(diǎn) 0

4、 是 ppk 的垂心 <=> opcop2=op2- 0p3 = op3 0p 證明：o是糾鬥a的垂心<=> op3丄片鬥，0片丄馬厶op? pp? = 0 o 0p（op? -opj = 0 o 0p§ op? = op? 0p 同理兩丄橫o 0p, 0p=0px 0p2 故當(dāng)且僅當(dāng)西 op2=opopop3op.點(diǎn) 0 是ppr 的外心o |op| = | = |o|.-/力f證明：0 是zxabc 的外心o |0/i 1 = 1 0 1 = 1 0c |（或04 j0滬=oj2）（點(diǎn):/、o到三邊距離色簣）_ _<=>（oa+ob ） ab（

5、ob + oc ） bc =（oc+ oa ） g4=0（o 為三邊*i、''/b垂直平分線的交點(diǎn)）'、 d /0是np'pf、的內(nèi)心o d西+ b西+ c西 =0。(其中a,b,c是三邊)圖2證明：充分性：。西+ z?西+ c西 = 0=>o是的內(nèi) 心a -0p + b-op2 + c-0p3 = a -0p + b （op、+ 片&） + c（o片 + pp.= （d + b + c）o片 +b-pxp2 +（?£/ =0所以而=（號(hào)+昱2），而坐，墜分別是麗，a+b+c c bc bpp pp片人方向上的單位向量，所以向量亠 + 亠

6、平分乙p.pr ,即片0平分zp.pp3，同理 c b帀平分"沖,得到點(diǎn)0是的內(nèi)心。必要性：o是'prp、的內(nèi)心=0西+血+廠西二6若點(diǎn)0為app2p3的內(nèi)心，延長(zhǎng)£0交鬥4于p，由三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理，有po _ p、p? _ pr _ b + c0ppppp于是a兩+ + c)帀=0p p c h r *再由施h有op二応叫（定比分點(diǎn)）代入前式屮便得a op + h op2 + c op3 = 0 必耍性證法二：設(shè)0是aabc內(nèi)任一點(diǎn)，以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，oa所在直線為x軸，建 立肓角坐標(biāo)系。并設(shè)a(p,0),b(qcosa,qsinoc),c(rcosp,

7、- rsin 卩)其中 zaob = a,zaoc =卩顯然°b,oc不共線，由平面向量基本定理，可設(shè)°a = xob + yoc(x,y er),則psinpp = xqcosa+yrcosp i0 = xqsina-yrsinpqsin(a + p)psinarsin(a + p).qr sin(a + p)oa = pr sin (job + pq sin aoc zaob = a,zaoc = p,zboc = 2冗一(a + p),sin zboc = -sin(a + 卩)-sabocoa = saaocob + saaoboapsabocoa + saaoco

8、b + 800 = 0(i )若 o 是 aabc 的內(nèi)心，則 aboc： aaoc： "aaobb： c故 aoa + bob + coc = 6或 sin a6x + sin bob + sin coc = 6必耍性得證.同時(shí)還可得到以下結(jié)論/ “ ria a dc 八工、 riiaboc = aaoc = aaob = tsaabc(11)若0是aabc的重心，則3故 oa + ob + oc = 0（iii）若0是aabc的外心則 saboc：smob = sinzbogsinzaogsinzaob= sin2a: sin2b: sin2c故 sin 2aoa + sin 2

9、bob + sin 2coc = 0(iv)若0是aabc(非直角三角形)的垂心，則 saboc: aaoc: aaob = t3na： tanb： tanc故 tan aoa + tan bob + tan coc = 6證明:4 °b oc boc = ob oc sin a =ob oc tan a cos a (a、e、0、f四點(diǎn)共圓）同理sng = oa ob sinc = oa ob tanc cosc2 2soc =oa oc sin b = * oa oc tan b cos b 因此只需證ob oc cos a = oa ob cos c = oa oc cos b

10、 先證第一個(gè)等式ob oc cos a = oa ob cos c（e、c、d、0 四點(diǎn)共圓，zc.zaoe 為 zdoe 的cosc cos zaoe oe oe oc-j-cos a cos zcoe oa oc oa 補(bǔ)角；e、0、f、a四點(diǎn)共圓，za,zcoe為zfoe的補(bǔ)角）所以上式成立，即第一個(gè)等 式成立。同理町證：該連等式成立，原題得證。評(píng)注：一箭四雕，需要提醒的是，這里只探求了三角形內(nèi)心向量形式的必要條件，充分性并 耒證明。3與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的其它向量關(guān)系式設(shè)/lg（0,4-00）,則向量/1（4?|+4&）必平分zbac,該向量必通過aabc的內(nèi)心;

11、ih kl設(shè)2w（0,+oo）,則向量2嚴(yán)acab孑）必平分zbac的鄰補(bǔ)角 網(wǎng)設(shè)a e（0?+oo）,則向量幾（|_. 網(wǎng)arat|+)必垂直于邊bc,該向量必通過zabcab cos b ac cosc的垂心 aabc中ab + ac 定過bc的中點(diǎn),通過zxabc的重心pg = -(pa-pb + pc) <=> g為aabc的重心(f是平面上任意點(diǎn)).3證明 pg = pa + ag = pb + bg = pc + cg => 3pg =(ag+ bg+ cg) +(pa + pb-¥pc)tg是/mbc的重心：.ga + gb + gc = o>a

12、g + bg + cg=bf w 3pg = pa + pb+ pclli此可得pg=-(pa + pb + pc).仮之亦然(證略)3 zsabc的外心0、重心g、垂心h共線，即0g /0h證明：（詳細(xì)證明見歐拉線的證明）按重心定理 g是abc的重心o 0g=-（0a + 0b + 0c） 3按垂心定理 oh = 0a + 0b + 0c ,由此可得 0g = -0h . 3 設(shè)0為aabc所在平而內(nèi)任意一點(diǎn)，1為aabc的內(nèi)心，.cioa + bob + coc* 01 =a +b + c內(nèi)心i （xa+ bxu+ exca+b+c聊+ byb+ eyea+b+c證明：由/是aabc的內(nèi)心

13、o aja + bjb + c/c = （）。（其中a.b.c是aabc三邊）（見 內(nèi)心的充要條件的證明）0i = 0a + 7d = 0b + bi = 0c + ci=aoa + bob + coc + (cial + bbi + cci) = aoa + bob + coc01 =c(0a + b0b + coca + b + c. axa+ bxs+ exc 1 a+b+cd*+ byb+ eyea+b+c4. 歐拉線的4種證法三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心,依次位于同一直線上，這條直線就叫三角 形的歐拉線。在aabc中，已知0、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：0、g

14、、h三點(diǎn)共線，且0g:gh二1:2。（證九點(diǎn)園園心在歐拉線上略，可查有關(guān)資料）歐拉線的證法仁（平面幾何法）關(guān)于歐拉線的介紹詳見：歐拉線,下面是歐拉線的證明如圖，h、g、0分別是aabc的垂心、重心、外心，連ah,作aabc的外接圓直徑bod,再連dc、da,則dc丄bc,da丄abth為zxabc垂心ah丄bc,ch丄ab由、可知dcah,山、可知dach,故四邊形adch為平行四邊形,/.ah=dco 點(diǎn)0與點(diǎn)m分別是bd、cb的中點(diǎn)adc=20m，即ah=20mo作bc邊上的小線am,連om、0h；設(shè)0h交am與點(diǎn)g'tom丄bc, ahg'smog', ah=dc

15、=20m,ag' =2g' m,因此g' bp a abc垂心go故aabc的垂心h、重心g和外心0三點(diǎn)共線,肓線hgo即歐拉線。評(píng)注:利用垂心h、外心0作為已知，證中線am與0h的交點(diǎn)g'為重心。歐拉線的證法2：（平面兒何法）設(shè)h,g,o,分別為aabc的垂心、重心、外心連接ag并延長(zhǎng)交bc于d,則可知d為bc中點(diǎn)。連接od , 乂因?yàn)閛為外心，所以od丄bco連接ah并延長(zhǎng)交bc于e,因h為垂 心，所以ae丄bco所以od/ae,有zoda=zead。由于g為重心，貝ij ga:gd=2:1ozofc=zmcf連接 fd,有 fd 平行 ac,ji有 df:

16、ac=1:2。fd 平行 ac,所以 zdfc=zfca, zfda=zcad,又zofc=zmcf, zoda=zead,相減可得zofd=zhca,zo df二zeac,所以有ofdshca,所以 od:ha=df:ac=1:2；又 ga:gd=2:1 所以 h a: od=ga:gd=2:1,又 zoda=zead,所以 ogds/hga。所以 zogd=zagh, 所以zogd +zoga=180o,所以zagh +zoga =180。即 0、g、h 三點(diǎn)共線。評(píng)注：利用重心g、外心0作為己知，證垂心h在直線0g上。歐拉線的證法3：（向量法）設(shè)h,g,o,分別為aabc的垂心、重心、外

17、心.若o為abc的外心，h為垂心求證:oh =oa + ob + oc o作直經(jīng)bd,連da, dc ,有帀=而,d4丄ab,dc 丄 bc ,丄 bc , ch 丄 ab ,故 ch/d4,ahi/dc , 故ahcd是平行四邊形oh =oaah =oa-dc = oa + oc-od= oa + oc + obioh =oa + ob + oc若o為abc的外心，g為重心求證：og = -(oa + ob + oc)3證明 og = oa + ag = ob + bg = oc + cg => 3og = (ag+ bg+ cg) + (oa + ob+ oc) tg是abc的重心a

18、 ga + gb + gc=o => ag + bg + cg=o f 即 30g = 0a + 0b + 0c由此可得og =-(oa + ob + oc).(反之亦然(證略)3®®ohoa + ob + oc,由西冷© +亦況)：.og =丄函，3og = oh3所以0、g、h三點(diǎn)共線.歐拉線的證法4:（向量的坐標(biāo)法）在aabc中，已知q、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：q、g、h三點(diǎn)共線， 且 qg:gh=1:2o【證明】：以a為原點(diǎn)，ab所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)a（0,0）、b（x】,0）、c（x2,y2）, d、e

19、、f 分別為 ab、bc、ac 的中點(diǎn)，則有:d （工 0）、e（-2 2y由題設(shè)可設(shè)q （寸，兒）、丹（心4），c （心+兀2兒33兒）、f（j,與）.y）,.麗=（兀2,兒），亦=（工 x,bc =（兀2一兀12）ah 丄bcc(x2,y2)hb(xno)dq :.ah bc =兀2(兀2 兀 1)+)2)4 =°a_兀2(兀2_兀1) 4 2”丄疋:.qf ac =兀2（寸-才）+2（守-兒）=o_心（兀2 -小）|兒 y q 1 2兒2萌*2 一今宀一兒）=（紐產(chǎn)，一免學(xué)）2y2竝"ji x. )，2_ 2x2 -%!_ 6-= -qh3_）=（2兀2 一心 兒 心

20、（兀2 一心）丁2）2 z 3* 36? 32y223兀2（兀 2_兀1）2、二 1 丫2兀2兀3%2（%2-%,） y22y262-，z即麗二辺故0、g、三點(diǎn)共線，且: 671： 2【注】：本例用平血兒何知識(shí)、向量的代數(shù)運(yùn)算和兒何運(yùn)算處理，都較麻煩，而借用向量的 坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起, 從而，很多對(duì)稱、共線、共點(diǎn)、垂胃等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。5. 與三角形的“四心”有關(guān)的高考連接題及其應(yīng)用例1： （2003年全國(guó)高考題）o是平面上一定點(diǎn)，a、b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)ab ac），（b）內(nèi)心a g（0,+x）

21、,則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通過aabc的（）（a）外心（c）重心（d）垂心事實(shí)上如圖設(shè)ae=ab ac=-都是單位向屋kl易知四邊形aetf是菱形 故選答案b 例2： （ 2005年北京市東城區(qū)高三模擬題）o為aabc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，如果oaob = oboc = ocoa,則 0 必 jaabc 的（）（a）外心 （b）內(nèi)心 （c）重心 （d）垂心事實(shí)上 oaob = ob oc （oa - oc） ob = 0=>g4ob = 0=> ob 丄 ca故選答案d例3：已知0為三角形abc所在平而內(nèi)一點(diǎn)，且滿足=ob2+|ca|2+ ab2則點(diǎn)0是三角形abc的（a）外心 （b）內(nèi)心 （

22、c）重心 （d）垂心事實(shí)上由條件可推出oa ob = ob oc = oc-oa故選答案d例4：設(shè)o是平面上一定點(diǎn),a. b、c是平面上不共線的三點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)p滿足0卩=04 +兄（=4-),仁(0,+co),ab cosb ac cosc則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡一定通ilaabc 的（）（a）外心(b)內(nèi)心 （c）重心 （d）垂心事實(shí)上2（abfab cosbac)眈=久(_眈+bc)=0故選答案dac cosc圖3例5： 2005年全國(guó)（i）卷笫15題的外接圓的圓心為0,兩條邊上的高的交點(diǎn)為h ,oh =m（oa + ob + oc）,則實(shí)數(shù)加=先解決該題： 作直經(jīng) bd,連 d4, dc ,有 ob

23、= -od , d4 丄 ab.dc 丄 bc , ah 丄 bc , ch 丄 ab,取 ch ii da, ah ii dc故ahcd是平行四邊形，進(jìn)而麗=反，乂dc=ocod=oc+ob oh =oa + ah =0a + dc故oh =oa + ob + oc ,所以m = l評(píng)注：外心的向量表示可以完善為：若o為abc的外心，h為垂心,則oh =oa + ob + oc .具逆命題也成立。例6.已知向量函，函，西滿足條件6斤+6可+ 函:=0, | = | ok | = | op |=1,求證：p1p2p3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下），復(fù)習(xí)參考題五b組笫6題）證明：由己知亦+函二函

24、，兩邊平方得血 函二-丄，'.''1'.f同理 0竹 op3 =0$ 0片=一一，： i pp2 1 = 1 p2p3 1 = 1 pp i = v3，從而 p1p2p3 是正2三角形.反z ,若點(diǎn)0是止三角形 p1p2p3的中心，則顯然有0斤+ 0可+ 0可二0且|函| = |函| = |函|,即0是/mbc所在平面內(nèi)一點(diǎn)，亦+亟 +亦 =0 1.1 0p = ok 1 = 1亦|o點(diǎn)0是正p1p2p3的屮心6. 練習(xí)題 1 11.已知&、b、c是平面上不共線的三點(diǎn)，0是三角形abc的重心，動(dòng)點(diǎn)p滿足0p =（2 0a +*亦+2 0c ），則點(diǎn)p 一

25、定為三角形abc的（b）a.ab邊中線的中點(diǎn)b.ab邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）c.重心dab邊的中點(diǎn)分析：取a3邊的中點(diǎn)m,則oa + ob = 2om_1 1_1 由 op =0a +_0b +2 0c ）可得 3 op = 30m + 2mc ,3 2 2:.mp=-mc,即點(diǎn)p為三角形中ab邊上的中線的一個(gè)三等分點(diǎn)，且點(diǎn)p不過重心。32.在同一個(gè)平而上有abc及一點(diǎn)。滿足關(guān)系式：oa2+bc2ob2+ca2=oc2+ab2,則。為abc 的（d）a外心b.內(nèi)心 c.重心 d.垂心3. 已知&3c的三個(gè)頂點(diǎn)a.b.c及平面內(nèi)一點(diǎn)p滿足：丑+兩+疋=6,則p為/mbc 的（c）a外心b.內(nèi)心 c.重心 d.垂心4. 己知0是平面上一定點(diǎn)，人、3、c是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足：op = oa + a（ab + ac）,貝ij p 的軌跡一定通過abc 的（c）a外心b.內(nèi)心 c.重心 d.垂心5. 已知abc, p為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足:用況+頂兩十兩疋=0, 則p點(diǎn)為三角形的（d）a.外心 b.內(nèi)心 c.重心