高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案(基礎(chǔ)知識+高頻考點+解題訓(xùn)練)空間點、直線、平面間的位置關(guān)系

1、2016屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教學(xué)案空間點、直線、平面間的位置關(guān)系知識能否憶起一、平面的基本性質(zhì)名稱圖示文字表示符號表示公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，且Pl，且Pl二、空間直線的位置關(guān)系1位置關(guān)系的分類2平行公理平行于同一條直線的兩條直線互相平行3等角定理空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4異面直線所成的角(或夾角)(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所

2、成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(2)范圍：.三、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)直線l在平面內(nèi)l無數(shù)個直線l與平面相交lA一個直線l與平面平行l(wèi)0個四、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示符號表示公共點個數(shù)兩個平面平行0個兩個平面相交l無數(shù)個(這些公共點均在交線l上)小題能否全取1(教材習(xí)題改編)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A異面B相交C不可能平行 D不可能相交解析：選C由已知直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab.與a，b是異面直線相矛盾2(2012·東北三校聯(lián)考)下列命題正確的個數(shù)為()

3、經(jīng)過三點確定一個平面；梯形可以確定一個平面；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0 B1C2 D3解析：選C錯誤，正確3已知空間中有三條線段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是()AABCDBAB與CD異面CAB與CD相交DABCD或AB與CD異面或AB與CD相交解析：選D若三條線段共面，如果AB，BC，CD構(gòu)成等腰三角形，則直線AB與CD相交，否則直線AB與CD平行；若不共面，則直線AB與CD是異面直線4(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF

4、所成的角的大小為_解析：連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求，又B1D1B1CD1C，D1B1C60°.答案：60°5(教材習(xí)題改編)平行六面體ABCDA1B1C1D1中既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為_解析：如圖，與AB和CC1都相交的棱有BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D1，故符合條件的棱共有5條答案：51.三個公理的作用(1)公理1的作用：檢驗平面；判斷直線在平面內(nèi)；由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點在平面內(nèi)(2)公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的條件(3)公

5、理3的作用：判定兩平面相交；作兩相交平面的交線；證明多點共線2異面直線的有關(guān)問題(1)判定方法：反證法；利用結(jié)論即過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖(2)所成的角的求法：平移法平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用典題導(dǎo)入例1(2012·湘潭模擬)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為A1A的中點，求證：CE，D1F，DA三線共點自主解答EF綊CD1，直線D1F和CE必相交設(shè)D1FCEP，PD1F且D1F平面AA1D1D，P平面AA1D1D.又PEC且CE平面ABCD，P平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點而平面ABC

6、D平面AA1D1DAD.PAD.CE、D1F、DA三線共點本例條件不變試證明E，C，D1，F(xiàn)四點共面證明：E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，EF綊A1B.又A1D1綊B1C1綊BC.四邊形A1D1CB為平行四邊形A1BCD1，從而EFCD1.EF與CD1確定一個平面E，C1，F(xiàn)，D四點共面由題悟法1證明線共點問題常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證交點在第三條直線上2證明點或線共面問題一般有以下兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余線(或點)均在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證平面重合以題試法1(1)(2012·江西模擬)在

7、空間中，下列命題正確的是()A對邊相等的四邊形一定是平面圖形B四邊相等的四邊形一定是平面圖形C有一組對邊平行的四邊形一定是平面圖形D有一組對角相等的四邊形一定是平面圖形(2)對于四面體ABCD，下列命題正確的是_(寫出所有正確命題的編號)相對棱AB與CD所在直線異面；由頂點A作四面體的高，其垂足是BCD三條高線的交點；若分別作ABC和ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；分別作三組相對棱中點的連線，所得的三條線段相交于一點解析：(1)由“兩平行直線確定一個平面”知C正確(2)由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故正確；由頂點A作四面體的高，只有當(dāng)四面體ABCD的對棱互

8、相垂直時，其垂足是BCD的三條高線的交點，故錯誤；當(dāng)DADB，CACB時，這兩條高線共面，故錯誤；設(shè)AB，BC，CD，DA的中點依次為E，F(xiàn)，M，N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點，易證另一組對棱中點的連線也過它們的交點，故正確答案：(1)C(2)異面直線的判定典題導(dǎo)入例2(2012·金華模擬)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號)自主解答圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，

9、G，M，N共面，但H面GMN，因此GH與MN異面所以圖中GH與MN異面答案由題悟法1異面直線的判定常用的是反證法，先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線異面此法在異面直線的判定中經(jīng)常用到2客觀題中，也可用下述結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線以題試法2已知m，n，l為不同的直線，為不同的平面，有下面四個命題：m，n為異面直線，過空間任一點P，一定能作一條直線l與m，n都相交m，n為異面直線，過空間任一點P，一定存在一個與直線m，n都平行的平面，l，m，n，m，n與l都斜交，則m與

10、n一定不垂直；m，n是內(nèi)兩相交直線，則與相交的充要條件是m，n至少有一條與相交則四個結(jié)論中正確的個數(shù)為()A1B2C3 D4解析：選B錯誤，因為過直線m存在一個與直線n平行的平面，當(dāng)點P在這個平面內(nèi)且不在直線m上時，就不滿足結(jié)論；錯誤，因為過直線m存在一個與直線n平行的平面，當(dāng)點P在這個平面內(nèi)時， 就不滿足結(jié)論；正確，否則，若mn，在直線m上取一點作直線al，由，得an.從而有n，則nl；正確異面直線所成角典題導(dǎo)入例3(2012·大綱全國卷)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點，那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為_自主解答連接DF，則AEDF，

11、D1FD即為異面直線AE與D1F所成的角設(shè)正方體棱長為a，則D1Da，DFa，D1Fa，cosD1FD.答案由題悟法求異面直線所成的角一般用平移法，步驟如下：(1)一作：即找或作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角以題試法3(2012·唐山模擬)四棱錐PABCD的所有側(cè)棱長都為，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選B如圖所示，因為四邊形ABCD為正方形，故CDAB，則CD

12、與PA所成的角即為AB與PA所成的角PAB，在PAB內(nèi)，PBPA，AB2，利用余弦定理可知：cos PAB.1(2013·杭州模擬)若a，b，c，d是空間四條直線如果“ac，bc，ad，bd”，則()Aab且cdBa，b，c，d中任意兩條可能都不平行CabDa與b，c與d中至少有一對直線互相平行解析：選D(1)若a，b，c，d在同一平面內(nèi)，則ab，cd.(2)若a，b，c，d不在同一平面內(nèi)，若a，b相交，則a，b確定平面，此時c，d，故cd.若a，b異面，則可平移a與b相交確定平面，此時，c，d，cd.若a，b平行，則c，d關(guān)系不定同理，若c，d相交，異面也可推出ab，若c，d平行，

13、則a，b關(guān)系不確定綜上知，a，b，c，d中至少有一對直線互相平行2l1，l2，l3是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面解析：選B在選項A中：l1l2，l2l3，l1與l3可以平行也可相交或異面，借助正方體的棱很容易理解在B中：l1l2，l2l3，由異面直線所成角的定義可以推出l1l3.l1l2l3，三直線不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不共面共點的三條直線不一定共面，如三棱錐中共頂點的三條棱不共面3.設(shè)四棱錐PABCD的底面不是平行四邊形，用平面去截此四棱錐

14、(如圖)，使得截面四邊形是平行四邊形，則這樣的平面()A不存在B只有1個C恰有4個D有無數(shù)多個解析：選D設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為m，n，直線m，n確定了一個平面，作與平行的平面，與四棱錐的各個側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形，而這樣的平面有無數(shù)多個4(2012·廣州模擬)在正四棱錐VABCD中，底面正方形ABCD的邊長為1，側(cè)棱長為2，則異面直線VA與BD所成角的大小為()A.B.C. D.解析：選D如圖所示，設(shè)ACBDO，連接VO，由于四棱錐VABCD是正四棱錐，所以VO平面ABCD，故BDVO.又四邊形ABCD是正方形，所以BDAC，所以BD平面VAC.所以BDV

15、A，即異面直線VA與BD所成角的大小為.5.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：選CAB，CD，EF和GH在原正方體中如圖所示，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行故互為異面的直線有且只有三對6(2012·重慶高考)設(shè)四面體的六條棱的長分別為1,1,1,1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)解析：選A如圖所示的四面體ABCD中，設(shè)ABa，則由題意可得CD，其他邊的長都為

16、1，故三角形ACD及三角形BCD都是以CD為斜邊的等腰直角三角形，顯然a>0.取CD中點E，連接AE，BE，則AECD，BECD且AEBE ，顯然A，B，E三點能構(gòu)成三角形，應(yīng)滿足任意兩邊之和大于第三邊，可得2×>a，解得0<a<.7已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的_條件解析：E，F(xiàn)，G，H四點不共面時，EF，GH一定不相交，否則，由于兩條相交直線共面，則E，F(xiàn)，G，H四點共面，與已知矛盾，故甲可以推出乙；反之，EF，GH不相交，含有EF，GH平行和異面兩種情況，當(dāng)EF，GH平行時，E

17、，F(xiàn)，G，H四點共面，故乙不能推出甲即甲是乙的充分不必要條件答案：充分不必要8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：直線BE與CF異面；直線BE與AF異面；直線EF平面PBC；平面BCE平面PAD.其中正確的有_個解析：如圖，易得EFAD，ADBC，EFBC，即B，E，F(xiàn)，C四點共面，則錯誤，正確，正確，不一定正確答案：29.如圖所示，在三棱錐CABD中，E，F(xiàn)分別是AC和BD的中點，若CD2AB4，EFAB，則EF與CD所成的角是_解析：取CB的中點G，連接EG，F(xiàn)G，EGAB，F(xiàn)GCD.EF與CD所成角即為EFG.又

18、EFAB，EFEG，在RtEFG中，EGAB1，F(xiàn)GCD2，sin EFG.EFG.EF與CD所成的角為.答案：10已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD的中點(1)求證：BC與AD是異面直線；(2)求證：EG與FH相交證明：(1)假設(shè)BC與AD共面，不妨設(shè)它們所共平面為，則B、C、A、D.所以四邊形ABCD為平面圖形，這與四邊形ABCD為空間四邊形相矛盾所以BC與AD是異面直線(2)如圖，連接AC，BD，則EFAC，HGAC，因此EFHG；同理EHFG，則EFGH為平行四邊形又EG、FH是EFGH的對角線，所以EG與HF相交11如圖所示，正方體AB

19、CDA1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點，AC，BD交于M點，求證：C1，O，M三點共線證明：C1平面A1ACC1，且C1平面DBC1.C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點又MAC，M平面A1ACC1.MBD，M平面DBC1，M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點，C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線O為A1C與截面DBC1的交點，O平面A1ACC1，O平面DBC1，即O也是兩平面的公共點，O直線C1M，即C1，O，M三點共線12.(2012·許昌調(diào)研)如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BADFAB90°

20、，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(1)求證：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？解：(1)證明：由題設(shè)知，F(xiàn)GGA，F(xiàn)HHD，所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形(2)C，D，F(xiàn)，E四點共面理由如下：由BE綊AF，G是FA的中點知，BE綊GF，所以EF綊BG.由(1)知BGCH，所以EFCH，故EC，F(xiàn)H共面又點D在直線FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點共面1將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到四面體ABCD(如圖2)，則在四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是()A相交且垂直 B相交

21、但不垂直C異面且垂直 D異面但不垂直解析：選C在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則ADBC，翻折后如圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD，CD，這兩條線段與AD垂直，即ADBD，ADCD，故AD平面BCD，所以ADBC.2(2012·哈爾濱模擬)若兩條異面直線所成的角為60°，則稱這對異面直線為“黃金異面直線對”，在連接正方體各頂點的所有直線中，“黃金異面直線對”共有_對解析：正方體如圖，若要出現(xiàn)所成角為60°的異面直線，則直線需為面對角線，以AC為例，與之構(gòu)成黃金異面直線對的直線有4條，分別是AB，BC，AD

22、，CD，正方體的面對角線有12條，所以所求的黃金異面直線對共有24對(每一對被計算兩次，所以要除以2)答案：243(2012·池州模擬)正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE2EB，CF2FD，將直角梯形AEFD沿EF折起到AEFD的位置，使點A在平面ABCD上的射影G恰好落在BC上(1)判斷直線AA與DD的位置關(guān)系，并證明；(2)證明平面AAE平面ABC；解：(1)AADD.設(shè)直線AD與EF相交于點O，翻折后直線AD仍過O點，A，A，D，D四點共面于平面OAA.又FDAE，F(xiàn)D平面AAE，AE平面AAE，F(xiàn)D平面AAE.同理，F(xiàn)D平面AAE，而FDFDF，平面DFD平面AAE.又平面OAA平面DFDDD，平面OAA平面AAEAA，AADD.(2)AG平面ABCD，AGAB.又ABBC，BCAGG，AB平面ABC.又AB平面AAE，平面AAE平面ABC.1(2012·襄陽模擬)關(guān)于直線a，b，l以及平面M，N，下面命題中正確的是()A若aM，bM，則abB若aM，ba，則bMC若aM，aN，則MND若aM，bM, 且la，lb，則lM解析：