麥克斯韋-玻爾茲曼分布律概要

1、10.2麥克斯韋麥克斯韋-玻爾茲曼玻爾茲曼分布律分布律一般氣體分子熱運(yùn)動的概念：一般氣體分子熱運(yùn)動的概念：分子的密度分子的密度 3 3 10101919 個分子個分子/cm/cm3 3 = 3= 3千千 億個分子億個分子/cm/cm3 3 ；分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；分子之間有一定的間隙，有一定的作用力；分子熱運(yùn)動的平均速度約分子熱運(yùn)動的平均速度約 v v = 500 = 500m m/ /s s ；分子的平均碰撞次數(shù)約分子的平均碰撞次數(shù)約 z z = 10 = 101010 次次/ /秒。秒。布朗運(yùn)動是雜亂運(yùn)動的流體分子碰撞懸浮布朗運(yùn)動是雜亂運(yùn)動的流體分子碰撞懸浮 其中的微粒引起

2、的。其中的微粒引起的。分子熱運(yùn)動：分子熱運(yùn)動：大量分子做永不停息的無規(guī)則運(yùn)動大量分子做永不停息的無規(guī)則運(yùn)動一一 分子熱運(yùn)動和統(tǒng)計(jì)規(guī)律分子熱運(yùn)動和統(tǒng)計(jì)規(guī)律分子熱運(yùn)動的基本特征是永恒的運(yùn)動與頻繁分子熱運(yùn)動的基本特征是永恒的運(yùn)動與頻繁的相互碰撞。它與機(jī)械運(yùn)動有本質(zhì)的區(qū)別，故不的相互碰撞。它與機(jī)械運(yùn)動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應(yīng)用力學(xué)定律來解決分子熱運(yùn)動問題。能簡單應(yīng)用力學(xué)定律來解決分子熱運(yùn)動問題。(1)(1)無序性無序性某個分子的運(yùn)動，是雜亂無章的，無序的；某個分子的運(yùn)動，是雜亂無章的，無序的；各個分子之間的運(yùn)動也不相同，即無序性；這正各個分子之間的運(yùn)動也不相同，即無序性；這正是熱運(yùn)動與機(jī)械運(yùn)動的本質(zhì)

3、區(qū)別。是熱運(yùn)動與機(jī)械運(yùn)動的本質(zhì)區(qū)別。10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律1.1.分子熱運(yùn)動的基本特征分子熱運(yùn)動的基本特征(2)(2)統(tǒng)計(jì)性統(tǒng)計(jì)性但從大量分子的整體的角度看，存在一定但從大量分子的整體的角度看，存在一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即統(tǒng)計(jì)性。的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即統(tǒng)計(jì)性。例如：例如：在平衡態(tài)下，氣體分子的空間分布（密度）在平衡態(tài)下，氣體分子的空間分布（密度）是均勻的。（分子運(yùn)動是永恒的）是均勻的。（分子運(yùn)動是永恒的）可作假設(shè)：氣體分子向各個方向運(yùn)動的機(jī)可作假設(shè)：氣體分子向各個方向運(yùn)動的機(jī)會是均等的，或者說沿各個方向運(yùn)動的平均分會是均等的，或者說沿各個方向運(yùn)動的平均分子數(shù)應(yīng)相等

4、且分子速度在各個方向的分量的統(tǒng)子數(shù)應(yīng)相等且分子速度在各個方向的分量的統(tǒng)計(jì)平均值也相等。計(jì)平均值也相等。對大量分子體系的熱平衡態(tài)，它是成立的對大量分子體系的熱平衡態(tài)，它是成立的。10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律宏觀量：宏觀量：表征大量分子的整體特征的量。如溫度、表征大量分子的整體特征的量。如溫度、 壓強(qiáng)、熱容等，是實(shí)驗(yàn)中能測得的量。壓強(qiáng)、熱容等，是實(shí)驗(yàn)中能測得的量。微觀量：微觀量：表征大量分子的整體中個別分子特征的物表征大量分子的整體中個別分子特征的物 理量。如某個分子的質(zhì)量、速度、能等，理量。如某個分子的質(zhì)量、速度、能等， 在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)條件下是不能直接測得的量。

5、在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)條件下是不能直接測得的量。分子熱運(yùn)動具有無序性與統(tǒng)計(jì)性，與機(jī)械分子熱運(yùn)動具有無序性與統(tǒng)計(jì)性，與機(jī)械運(yùn)動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應(yīng)用力學(xué)定律運(yùn)動有本質(zhì)的區(qū)別，故不能簡單應(yīng)用力學(xué)定律來解決分子熱運(yùn)動問題。必須兼顧兩種特征，來解決分子熱運(yùn)動問題。必須兼顧兩種特征，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法。(3)(3)統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律統(tǒng)計(jì)方法同時伴隨著起伏現(xiàn)象。統(tǒng)計(jì)方法同時伴隨著起伏現(xiàn)象。 如對氣體中某體積內(nèi)的質(zhì)量密度的多次如對氣體中某體積內(nèi)的質(zhì)量密度的多次測量，各次測量對平均值都有微小的偏差。當(dāng)氣測量，各次測量對平均值都有微小的偏差。當(dāng)氣

6、體分子數(shù)很大時，起伏極微小，完全可忽略；當(dāng)體分子數(shù)很大時，起伏極微小，完全可忽略；當(dāng)氣體分子數(shù)較小時，起伏將與平均值可比擬，不氣體分子數(shù)較小時，起伏將與平均值可比擬，不可忽略。故統(tǒng)計(jì)規(guī)律只適用于大量分子的整體?？珊雎浴９式y(tǒng)計(jì)規(guī)律只適用于大量分子的整體。統(tǒng)計(jì)方法：統(tǒng)計(jì)方法： 氣體動理論中，求出大量分子的某些微觀量氣體動理論中，求出大量分子的某些微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值，用它來解釋實(shí)驗(yàn)中測的宏觀量，的統(tǒng)計(jì)平均值，用它來解釋實(shí)驗(yàn)中測的宏觀量，故可從實(shí)測的宏觀量了解個別分子的真實(shí)性質(zhì)故可從實(shí)測的宏觀量了解個別分子的真實(shí)性質(zhì)。10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律表示速率在表示速率

7、在 區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比 . .NNSvvv2.2.分布函數(shù)和統(tǒng)計(jì)平均值分布函數(shù)和統(tǒng)計(jì)平均值偶然事件偶然事件：大量出現(xiàn)不可預(yù)測的事件。多次重復(fù)觀察：大量出現(xiàn)不可預(yù)測的事件。多次重復(fù)觀察 同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布，同樣的事件，可獲得該偶然事件的分布， 從而得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。從而得到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。設(shè)設(shè)：N為一定質(zhì)量氣體的總分子數(shù)為一定質(zhì)量氣體的總分子數(shù) 10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律v)(vfoSfNNdd)(dvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函數(shù)分布函數(shù) 表示速率在表示速率在 區(qū)間的分子數(shù)占總

8、分子數(shù)的區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比百分比 .vvvd1d)(d00vvfNNN 歸一歸一化條件化條件vvv dSd 表示在溫度為表示在溫度為 的平衡的平衡狀態(tài)下，速率在狀態(tài)下，速率在 附近附近單位單位速率區(qū)間速率區(qū)間 的分子數(shù)占總數(shù)的的分子數(shù)占總數(shù)的百分比百分比 .v物理意義物理意義T10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律v)(vfo1vS2vvv d)(dfNNvv d)(dNfN 速率位于速率位于 內(nèi)分子數(shù)內(nèi)分子數(shù)vvvdvvvvd)(21fNN速率位于速率位于 區(qū)間的分子數(shù)區(qū)間的分子數(shù)21vv vvvvvvd)()(2121fNNS速率位于速率位于 區(qū)間的

9、分子數(shù)占總數(shù)的百分比區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比21vv 10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律vvnfd)() 1 (vvnfd)(VNd表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間表示單位體積內(nèi)分布在速率區(qū)間 內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù)。vvvd10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說明下為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：式的物理意義：nn)(vfVNnvNNvf ,dd)(QvvNfd)()2(Nd vvNfd)(表示分布在速率區(qū)間表示分布在

10、速率區(qū)間 內(nèi)的分內(nèi)的分子數(shù)。子數(shù)。vvvd10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義：n)(vfn)(vf)(vf 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義：n 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義： 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義： 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密

11、度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義： 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義：vNNvfdd)( Q 21d)()3(vvvvfnVNnvNNvf ,dd)(Qvvfnvvd)(21 VNNNVN 表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間表示分布在單位體積內(nèi)，速率區(qū)間 內(nèi)的內(nèi)的分子數(shù)。分子數(shù)。21vv 10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律)(vf 為速率分布函數(shù)，為速率分布函數(shù)， 為分子數(shù)密度，說為分子數(shù)密度，說明下式的物理意義：明下式的物理意義：n 小孔充分小，改變小孔充分小，改變 ，測測

12、 D D 上的沉積厚度，就上的沉積厚度，就可測氣體速率分布可測氣體速率分布給定給定 vltlv 小孔充分小，改變小孔充分小，改變 或或 l l ，可使不同速，可使不同速度的分子通過小孔。度的分子通過小孔。OD蒸汽源蒸汽源檢測器檢測器l抽氣抽氣抽氣抽氣 BC10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律二二 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律 1. 分子速率的實(shí)驗(yàn)測定分子速率的實(shí)驗(yàn)測定vvekTmNNkTmvd2232224d麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)2)2(23224)(vekTmvfkTmv熱力學(xué)溫度熱力學(xué)溫度單個分子的質(zhì)量單個分子的質(zhì)量玻爾茲曼常量玻爾茲

13、曼常量Tmk麥克斯韋麥克斯韋10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律2. 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線pv)(vfvO)(vfv10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律麥克斯韋速率分布曲線麥克斯韋速率分布曲線1v2v)(vfvO)(vf面積NNvvfdd)( 面積NNvvfvv21d)(v vdv速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于分子速率位于 區(qū)間內(nèi)的概率。區(qū)間內(nèi)的概率。 ),(21vv),(21vv速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的

14、分子數(shù)占總分子數(shù)的比例；或分子速率位占總分子數(shù)的比例；或分子速率位于于 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)的概率。內(nèi)的概率。),(vvvd),(vvvd10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律2232224)(vekTmvfkTmv0d)(dvvf極值條件極值條件(1) )最概然速率最概然速率: :RTRT41. 12mkTpv210.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律3. 3. 氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率氣體的三種統(tǒng)計(jì)速率)(vfvpvO最最 概概 然然 速速 率率10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律氣體分子速率的算術(shù)平均值氣體分子速率的算

15、術(shù)平均值。NNvvN0dvNNvfdd)( mkTv8mkTv8(2)(2)平均速率平均速率：0d)(vvvf2232224)(vekTmvfkTmvRTRT60. 1810.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律)(vfvvO平均速率平均速率10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律氣體分子速率平方的平均值的平方根。氣體分子速率平方的平均值的平方根。RTRTmkTv73.1332NNvvN022d02dv)v( fvmkT3(3)方均根速率方均根速率：vNN)v( fdd2232224)(vekTmvfkTmv10.210.2麥克斯韋麥克斯韋-

16、-玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律2v)(vfvO方均根速率方均根速率10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律2v)(vfvpvvO2vvvp三種速率比較三種速率比較2vvvp10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律反比，但三者有一個確定的反比，但三者有一個確定的比例關(guān)系比例關(guān)系;三種速率使用于不三種速率使用于不 同的場合。同的場合。)(vfvO3pv1pv2pv)(1pvf)(2pvf)(3pvf3T2T1T321TTT溫度越高，速率溫度越高，速率大的分子數(shù)越大的分子數(shù)越多多同一氣體不同溫度下速率分布比較同一氣體不同溫度下速率分布比較10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律321mmm)(vfvO3m2m1m同一溫度下不同種氣體速率分布比較同一溫度下不同種氣體速率分布比較分子質(zhì)量越小，速率分子質(zhì)量越小，速率大的分子數(shù)越多大的分子數(shù)越多。10.210.2麥克斯韋麥克斯韋- -玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律 例例3 （教材例（教材例10.3） 試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動速試計(jì)算氣體分子熱運(yùn)動速率的大小介于率的大小介于 vp- vp/100 和和 vp+vp/100 之間的分子之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù)。數(shù)占總分子數(shù)的百分?jǐn)?shù)。pppvv