控制工程基礎習題解答3

1、第三章3-2.假設溫度計可用1/ (ts+1)傳遞函數(shù)描述其特性?，F(xiàn)用該溫度計測量某容器中的水溫，發(fā)現(xiàn)經(jīng)1min后才能指示出實際水溫的96%問：(1) .該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間是多少？(2) .如果給該容器加熱，使容器內水溫以0.1 c/s的速度均勻上升，當定義誤 差e(t)=kt)-c時，溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差有多大？解：(1) .設實際水溫為tr,溫度計原來處于t0=0度，當溫度計放入水中時，相當 于輸入一階躍值為tr-t0=tr的階躍函數(shù)，溫度計的時間響應函數(shù)為：tcttr t0 1 e tc ttrtoc tt?根據(jù)題意可得:0.9660t即可得：t=18

2、.64(s)，出 1 e t trt110慚需的時間為 0.1 1 e 1864 , 3 1.96 s。力90慚需的時間為 0.9 1 e 1864 , t2 42.92 s 0所以可得該溫度計的指示從實際水溫的10%變化到90%所需的時間(上升時問)是tr t2 t140.96 s(2) .由題可知系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，故系統(tǒng)穩(wěn)定，為求當 r(t)=0.1t時的穩(wěn)態(tài)誤差，由一階系統(tǒng)的時間響應分析可知，單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差為t,所以穩(wěn)態(tài)指示誤差：limet 0.1 t 1.864 ct1/ (ts)時的單位反饋系統(tǒng)，則可見題3-2 (2)圖(將1/ (ts+1)轉化為開環(huán)傳遞函數(shù)為 此時系統(tǒng)的誤差

3、為e(t)=r(t)-c(t) o根據(jù) 系統(tǒng)為i型，可得穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù) 為kv=k=1/t ,得當輸入信號為 r(t)=0.1t時的穩(wěn)態(tài)誤差為1-、essv 0.1 0.1 t 1.864 c ) kv圖3-24題3-5圖3-5.某控制系統(tǒng)如圖3-24所示，已知k=125, 試求：(1) .系統(tǒng)階次，類型。(2) .開環(huán)傳遞函數(shù)，開環(huán)放大倍數(shù)。(3) .閉環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)零點、極點。(4) .自然振蕩頻率n,阻尼比(，阻尼振蕩頻率do(5) .調整時間ts(a=2%),最大超調量6p%(6) .輸入信號r(t)=5時，系統(tǒng)的輸出終值c(oo)、輸出最大值cmaxo(7) .系統(tǒng)的單位脈沖響應

4、?！鞠到y(tǒng)的單位階躍響應】(8) .系統(tǒng)的單位斜坡響應?！居懻撓到y(tǒng)單位階躍響應出現(xiàn)超調、衰減振蕩、無超調三種情況下的k值】(9) .靜態(tài)誤差系數(shù)&、k、kao(10) .系統(tǒng)對輸入為r(t)=5+2t+t2 ， 0.8 2.5s 2.5時的穩(wěn)態(tài)誤差。解：(1).系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：g s h s0.2k4ss 40.0125ks 0.25s 11.5625s 0.25s 1可見系統(tǒng)階次為二階，類型為i型(2).開環(huán)傳遞函數(shù)g s h s1.5625s 0.25s 1,開環(huán)放大倍數(shù)為1.5625(3) .閉環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)沒有7.8125_20.25s s 1.56255 2.52閉環(huán)零

5、點，閉環(huán)極點為：s1,22 1.5j(4) . n 2.5 ,0.8, dn1 2 1.541 2(5) . ts 2 , p% e s 0.015 n(6) .因為標準型二階系統(tǒng)單位階躍信號的穩(wěn)態(tài)輸出為 1,最大值為1+mp=1 +c 5*5=25 ,bp%=1.015,由于線性系統(tǒng)符合疊加原理，所以可得:cma)=5*5*1 . 015=253 75(7) .由于標準型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為:nt sindt arctan5 c,所以系統(tǒng)單包階躍響應為：ct 5 1 -e sin 1.5t 0.64353利用線性系統(tǒng)的重要特征即可得單位脈沖響應:dct10 2t2tc t -5 e

6、 sin1.5t 0.6435 2.5e cos1.5t 0.6435dt32tsin1.5t125 e620.833e 2t sin1.5t【由于標準型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為:ctt12n sin dt arctan-所以系統(tǒng)單位階躍響應為：ct 5 1 5e 2t sin 1.5t 0.6435 13(8) .同理可得單位斜坡響應：. 一 ,5 2tcv tc t dt 5 1 -e sin 1.5t 0.6435 dt3_8 2t_，_ _ 2t _5t -e sin 1.5t 0.6435 2e cos1.5t 0.6435 c35t 14e 2t sin1.5t e 2t c

7、os1.5t c 1555t 10 e 2t sin 1.5t 1.287 c3積分常數(shù)c由初始狀態(tài)為零的條件而得，即cv 00 5t 10 e 2tsin 1.5t 1.287 c3t 0可得c=-3.2 ,所以單位斜坡響應為：14 2t 一 16 2t ,-cv t5t e sin1.5t e cos1.5t 3.21555t 10 e 2t sin 1.5t 1.2873.23【閉環(huán)傳遞函數(shù)為k4ss 40.2k0.25ks2 4s 0.05k可得 , ,0.05k超調：01 ,得k 80衰減振蕩：01,得k 80無超調:1,得k 80,又系統(tǒng)穩(wěn)定k 0,所以0 k 80(9) .由于系

8、統(tǒng)為i型，所以其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為：k=ookv=1.5625ka=0(10) .系統(tǒng)對輸入為kt)=5+2t+t2時的穩(wěn)態(tài)誤差為：系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)中的系數(shù)均大于零(或由閉環(huán)傳遞函數(shù)中可 知極點的實部小于零)，所以系統(tǒng)穩(wěn)定1 c 1 c 1ess 55 22 1 kp kv ka3-16.已知開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下(k>0),試用羅斯判據(jù)判別其閉環(huán)穩(wěn)定性, 并說明系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)及虛根數(shù)。(1)(6)ks2 s2 8s 24解:(d特征方程為s3 5s26 k s k 01545 k當k>0時，則第一列的符號全部大于零，所以閉環(huán)穩(wěn)定，系統(tǒng)在 s右半平面的 根數(shù)及虛

9、根數(shù)均為00(6).特征方程為s4 8s3 24 s2 k 04 s3 s2 s1 s0 s1824k3k24 k0k當k>0時，第一列有一個數(shù)小于零，所以閉環(huán)不穩(wěn)定；第一列符號變化了兩次, 系統(tǒng)在s右半平面的根數(shù)為2;第一列沒有等于0的數(shù)，虛根數(shù)為003-19.單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 g s h s10 s a(1) .系統(tǒng)穩(wěn)定的a值；(2) .系統(tǒng)所有特征根的實部均小于-1之a(chǎn)值(3) .有根在(-1, 0)時之a(chǎn)值。解：閉環(huán)傳遞函數(shù)為10 s as3 5s2 16s 10a(1).用羅斯判據(jù)可得:3s2s1s1610a16 2as0 10a系統(tǒng)穩(wěn)定，則應：162a 0,即a值

10、應為：0 a 810a 0(2).令s1 s臬即s &門此時當res10時，則res1。對閉環(huán)傳遞函數(shù)進行變換得：1 s13s1210 sl a 1 3262s9s1 10a 121 92 10a 12s/ 15 5as° 10a 12 、-15 5a 0 .系統(tǒng)穩(wěn)定，則應：，此時re80,res1。即a值應為：1.2 a 310a 12 0(3).由(1)和(2)可得，此時a應在(0, 1.2)和3,8)之間。3-27.已知系統(tǒng)的結構如圖3-34所示。.要求系統(tǒng)動態(tài)性能指標6p%=16.3% ts=1s【tp=1s，試確定參數(shù)k1、k2 的值。(2). 在上述k1、k2之值

11、下計算系統(tǒng)在工作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:10k1ss 10k2 110k10k21s 10k2 1系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:10kls210k2 1s 10k110k110k2 210kp% e16.3%0.510k22110ki5%時:ts310k110k212.10k1k20.5，貝(j： k13.6由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定k1應大于零，所以k13.6此時:n 6 rad / s0.52% 時：ts810k2 1得：k2 0.7,則：ki 6.4,由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)穩(wěn)定大于零，所以ki 6.4此時:n 8 rad / s0.5【tp.1.1 0.523.63 rad / s所以:k11.32k2102 n 1102 3.63 0.5 10.263 10（2）.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:10 k 110 k21系統(tǒng)是二階系統(tǒng)，閉環(huán)（或開環(huán)）傳遞函數(shù)中的系數(shù)均