2021版高中數(shù)學第二章數(shù)列章末復習提升學案新人教A版必修5

1、第二章數(shù)列章末復習提升、本章知識網(wǎng)絡(luò)二、知識要點歸納1 數(shù)列的概念及表示方法(1) 定義：按照一定順序排列的一列數(shù).(2) 表示方法：列表法、圖象法、通項公式法和遞推公式法.按項與項之間的大小關(guān)系可分為遞(3) 分類：按項數(shù)有限還是無限分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列和常數(shù)列.2 求數(shù)列的通項(1) 數(shù)列前n項和S與通項an的關(guān)系：S, n= 1,an =Sn S i, n?2. 當數(shù)列an中，滿足an+1 an= f(n)，且f (1) + f(2) + f (n)可求，那么可用累加法求數(shù)列的通項 an,常利用恒等式 an= a1 + (a2 a" + (a3 a

2、?) + (an an1)( n?2).an+ 1 當數(shù)列an中，滿足 =f(n),且f (1) f (2) f (n)可求，那么可用累積法求數(shù)an(a2 a3an列的通項an，常利用恒等式an= a1 (n?2).a1 a2an 1(4) 作新數(shù)列法：對由遞推公式給出的數(shù)列， 經(jīng)過變形后化歸成等差數(shù)列或等比數(shù)列來求通項.歸納、猜測、證明法.3 等差、等比數(shù)列的性質(zhì)工程等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第二項起， 第一項與匕的前一項的差都 等于同一個常數(shù)，那么這個 數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常 數(shù)叫做公差，常用字母 d表 示如果一個數(shù)列從第二項起，每 一項與匕的前一項的比都等于 同一個常數(shù)，那么這

3、個數(shù)列叫 做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做公 比,常用字母q表示遞推關(guān)系an+1 an = dan+1豈=q通項公式an= a1 + (n 1)dan 一 a1 qan = am+ (n n)dn man 一 anq中項假設(shè)三個數(shù)a, A, b成等差數(shù) 列，這時A叫做a與b的等a + b差中項，且山亍假設(shè)三個數(shù)a, G b成等比數(shù)列， 這時G叫做a與b的等比中項，且 G=ab前n項和公式小n (a1 + an)Sn 一2一 na1 +n (n 1) d2qz 1 時，_ a1 (1 qn) a1 anq S 一=1 q1 qq= 1 時，Si= na1判定方法定義法an+1_ an是同一個常數(shù)蓉是同一

4、個常數(shù)中項法an+ an + 2= 2an+ 1231 an + 2 = an + 1通項公式法an= pn+ qan= pq"S的形式S是不含常數(shù)項的二次函數(shù)S中只有qn與常數(shù)項，且系數(shù) 互為相反數(shù)性質(zhì)下標性質(zhì)m n、p、q n'且 m+ n= p+ qam+ an= ap+ aqam an= ap aqSm, S2m Sm,S3m_ Szm成等差數(shù)列成等比數(shù)列4.求數(shù)列的前n項和的根本方法(1) 公式法：利用等差數(shù)列或等比數(shù)列前n項和S公式；(2) 分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列；(3) 裂項(相消)法：有時把一個數(shù)列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消

5、去中間項，只剩有限項再求和；(4) 錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和；(5) 倒序相加：例如等差數(shù)列前 n項和公式的推導；(6) 并項求和法：適用于正負相間的數(shù)列.三、題型探究題型一 數(shù)列的實際應用例1甲、乙兩人連續(xù) 6年對某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模進行調(diào)查，提供兩個不同的信息圖如圖所示甲調(diào)查說明：從第 1年每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)1萬只雞上升到第6年平均每個雞場出產(chǎn) 2萬只 雞，乙調(diào)查說明：由第 1年養(yǎng)雞場個數(shù)30個減少到第6年10個.i平均只勁片H彝謁場個數(shù)/個A30I.B261622L44l：Lf121 I1.010«JILi.0I 2* i甲°12

6、3 4 5 6乙請你根據(jù)提供的信息說明，求：(1) 第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；(2) 到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第 1年是擴大了還是縮小了？請說明理由；(3) 哪一年的規(guī)模最大？請說明理由.解 由題干圖可知，從第1年到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產(chǎn)的雞只數(shù)成等差數(shù)列，記為數(shù)列an，公差為di,且ai= 1, a6= 2；從第1年到第6年的養(yǎng)雞場個數(shù)也成等差數(shù)列，記為數(shù) 列bn，公差為d2，且bi = 30, b6= 10;從第1年到第6年全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)記為數(shù)列 o, 那么 6= an bn.(1)由 a1= 1,a6= 2, 得a1 = 1,a1 + 5d1 = 2,a1 = 1d1

7、 = 0.2su= 1.2.由 b1 = 30, b6 = 10,得b= 30,b + 5d2= 10,b1= 30? b2= 26.d2= 4C2= a2b2= 1.2 x 26= 31.2.所以第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)為 26個，全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)是 31.2萬只.(2) C6 = a6be= 2 x 10= 20<C1 = a1b1 = 30,所以到第6年這個縣的養(yǎng)雞業(yè)比第1年縮小了.(3) T a = 1+ (n-1) x0.2 = 0.2 n+ 0.8 ,bn= 30+ (n 1) x ( 4) = 4n + 34(1 w nw 6), Cn= an bn = (0.2 n+ 0.8

8、)( 4n+ 34)=0.8 n + 3.6 n+ 27.2(1 w nW 6).9對稱軸為n = 9,所以當n= 2時，6最大.4所以第2年的規(guī)模最大.反思與感悟解決與數(shù)列有關(guān)的應用題應注意以下幾點：(1) 題目中用到的數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.(2) 題目中要求的是數(shù)列的項還是和.(3) 所用的數(shù)列的首項是哪個？(4) 得出的結(jié)論是否符合實際.跟蹤訓練1某企業(yè)的資金每一年都比上一年分紅后的資金增加一倍，并且每年年底固定給 股東們分紅500萬元.該企業(yè)2021年年底分紅后的資金為1 000萬元.(1) 求該企業(yè)2021年年底分紅后的資金；(2) 求該企業(yè)從哪一年開始年底分紅后的資金超過32

9、 500萬元.解 設(shè)an為(2021 + n)年年底分紅后的資金，其中n N,那么 a1 = 2x 1 000 500 = 1 500 ,a2= 2X 1 500 500 = 2 500 ,an= 2an1 500( n>2).所以 a 500= 2(an-1 500)( n>2),即數(shù)列an 500是首項為a1 500 = 1 000，公比為2的等比數(shù)列. 所以 an 500= 1 000 X2 n 1,所以 an= 1 000 X2 n1+ 500.(1) a4= 1 000 X2 41 + 500= 8 500 ,萬元.所以該企業(yè)2021年年底分紅后的資金為 8 500(2)

10、由 an> 32 500，即 2n1> 32,得 n> 6,所以該企業(yè)從2021年開始年底分紅后的資金超過32 500萬元.題型二數(shù)列的交匯問題例2設(shè)數(shù)列an滿足1 +n 1n22 A= 1 , anan其中常數(shù)入2.(1)求數(shù)列an的通項公式;2假設(shè)入=3, bn= (2n 4 001) an,當n為何值時,bn最大?(1)由題意得丄+ - + 2a1a22n Aanan1，n2n 1 、1222 入當 n?2 時，一+= 1,a1 a2an1an1n 2an 1由一得=紅一,ananan 1即 ar=(n> 2).12入又當n= 1時，二=肓1,a1 = 2 入1.

11、入1 ,數(shù)列an是以2入一1為首項，以2'牛二為公比的等比數(shù)列. an= (2 入1)(1 )n1,即an =(2 入一1)(2)當入=2時，an= 3-2,2n 4 001 bnn 132bn> bn+ 1設(shè)bn最大，那么2n 4 001、2 (n +1) 4 001 3232即2n 4 0012 (n 1) 4 0013232解得4 0032< nw4 0052n N,. n = 2 002 ,故當n= 2 002時，bn最大.反思與感悟數(shù)列是高中代數(shù)的重點內(nèi)容之一，它始終處在知識的交匯點上，如數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等其他知識有較多交匯處它包涵知識點多、思想豐富、綜合

12、性強，已成為近 年高考的一大亮點.跟蹤訓練2 二次函數(shù)f(x) = x2 ax+ a(x R)同時滿足：不等式f(x) w0的解集有且 只有一個元素；在定義域內(nèi)存在 0v X1< X2，使得不等式f(xj > f(X2)成立.設(shè)數(shù)列an的 前n項和S = f (n).(1) 求f (x)的表達式；求數(shù)列 an的表達式.解(1) f(x) W0的解集有且只有一個元素，A = a2 4a = 0,二 a= 0 或 a= 4.當a = 4時，函數(shù)f (x) = x2 4x+ 4在(0 , 2)上遞減，故存在0v X1V X2,使f(x >f(X2)成立； 而當a= 0時，f(x)

13、= x2在(0 ,+s)上遞增，不合題意.故 a = 4, f (x) = x2 4x + 4.(2) 由(1)知，S= n 4n+ 4.當 n?2 時，an= Sn Sn 122=(n4n+ 4) ( n 1) 4(n 1) + 4 = 2n 5,當n = 1時，a1 = S= 1不適合上式，故 an= 1 '2n 5,四、思想方法總結(jié)n= 1 n?2'1 .轉(zhuǎn)化與化歸思想求數(shù)列通項由遞推公式求通項公式，要求掌握的方法有兩種，一種求法是先找出數(shù)列的前幾項，通過觀察、歸納得出，然后證明；另一種是通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，再采用公式求出.例1數(shù)列an滿足an+1= 2an

14、+ 3x2n, a1 = 2,求數(shù)列an的通項公式.解 an+1= 2an + 3X2n兩邊除以2n+1,得an+1 an 3an +1 an 3尹=尹2，那么尹滬2,aai 23故數(shù)列詁是以刃=2= 1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式得,an32n= 1 + (n 1) 2，3 i所以數(shù)列an的通項公式為an= (qn 2)2n.跟蹤訓練1數(shù)列an滿足an+1 = 2an+ 35n, ai= 6,求數(shù)列劉的通項公式. 解設(shè) an + 1 + x 5n+1= 2( an+ x5n)將an+ 1 = 2an+ 35“代入式，nn+ 1n得 2an+ 3 5 + x 5= 2an

15、+ 2x 5 ,等式兩邊消去2an，得35+ x5 n + 1 = 2x5 n ,兩邊除以5，得3 + 5x= 2x，那么x = 1,代入式得an+1 5n+1 = 2( an 5n)1由a1 5 = 6 5 = 1工0及式得，n + 1nrt r an+1 5an 5 工 0,貝y = 2.an 5 an 5n是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，an 5n= 1X2 n1 = 2n1, an= 2n1+ 5n( n N).2 .方程思想在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，通項公式an和前n項和公式S共涉及五個量：a1, an, n, d(q),S,其中首項a和公差d(公比q)為根本量，“知三求二是指將條件

16、轉(zhuǎn)換成關(guān)于a, an,n, d(q) , S的方程組，通過方程的思想解出需要的量.例2 等差數(shù)列an各項均為正整數(shù)，a1 = 3,前n項和為S,等比數(shù)列bn中，b= 1且b2$ =64, ban是公比為64的等比數(shù)列，求 an, bn的通項公式.解 設(shè)an的公差為d, bn的公比為q,貝U d為正整數(shù)，an= 3+ (n 1) d, bn= qn1.依題意有ban+1banqan+1 1qan 1d6=q = 64= 2b2S2= q (6+ d)= 64 6由q(6 + d) = 64知q為正有理數(shù)，又由q= 2d知d為6的因子1, 2, 3, 6之一，解得 d=2, q= 8,故 an= 2n + 1, bn= 8 1.跟蹤訓練2等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a1= 1 +2,S3 = 9 +趴歸.求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn.解 設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意得:.d= 2.a1 = 1+