數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)畢業(yè)論文二次型的幾個(gè)應(yīng)用

1、二次型的幾個(gè)應(yīng)用some applications of quadratic form專(zhuān) 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二 摘 要本文在對(duì)二次型性質(zhì)研究的基礎(chǔ)上, 介紹了半正定矩陣的性質(zhì), 并對(duì)二次型的理論進(jìn)行了推廣, 討論了二次型的應(yīng)用.關(guān)鍵詞: 二次型; 正定二次型; 正交矩陣; 不等式; 特征方程; 極值; 因式分解abstractin this paper, on the basis of the nature of the quadratic form, we describe the property of positive semi-definite matrix

2、quadratic and promote the theory of quadratic and then discuss the application of it.keywords: quadratic form；positive semi-definite quadratic；orthogonal matrix；inequality；characteristic equation；principal minor；factorization. ii 目 錄摘 要iabstractii0 引言11 二次型及其有關(guān)定義11.1 定義11.2 定理及其證明22.二次型的應(yīng)用32.1 一般的元二

3、次式的最值的判定與求法32.2 元二次型的特征方程的求法72.3 應(yīng)用舉例82.4 利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式92.5 二次型在因式分解中的應(yīng)用13參考文獻(xiàn)160 引言在數(shù)學(xué)中, 二次型的理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題. 現(xiàn)在二次型的理論不僅在幾何而且在數(shù)學(xué)的其他分支及物理, 力學(xué), 工程技術(shù)中也常常用到. 二次型應(yīng)用的領(lǐng)域很廣, 在以前的學(xué)習(xí)中求一元或多元函數(shù)的最值的方法通常有利用圖象法或微分理論, 而下面將利用二次型的性質(zhì)來(lái)求函數(shù)的最值. 并給出了半正定矩陣的性質(zhì)及其證明, 最后用半正定矩陣的有關(guān)知識(shí)解決了一類(lèi)初等數(shù)學(xué)中的問(wèn)題不等式的證明.關(guān)于二次型的一般

4、理論, 可參看文獻(xiàn)1-3，5-6, 一些專(zhuān)題研究可參看文獻(xiàn)7-9. 1 二次型及其有關(guān)定義 在這一節(jié), 我們首先回顧高等代數(shù)中關(guān)于二次型的一般理論. 設(shè)是一個(gè)數(shù)域, , 個(gè)文字的二次齊次多項(xiàng)式 稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)元二次型, 簡(jiǎn)稱(chēng)二次型. 當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí), 稱(chēng)為實(shí)二次型. 當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí), 稱(chēng)為復(fù)二次型. 如果二次型中只含有文字的平方項(xiàng), 即稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)型. 在高等代數(shù)的教材中, 還有以下關(guān)于二次型理論的結(jié)果,1.1 定義定義1.1 二次型可唯一的表示成其中, , 為對(duì)稱(chēng)矩陣, 稱(chēng)上式二次型的矩陣形式, 稱(chēng)為二次型的矩陣(都是對(duì)稱(chēng)矩陣), 稱(chēng)的秩為二次型的秩.定義1.2 設(shè)是一個(gè)數(shù)域, , 兩組文字;的關(guān)系式

5、稱(chēng)為由到的一個(gè)線性替換. 用矩陣形式可寫(xiě)為,其中, 當(dāng)時(shí)稱(chēng)線性替換是非退化的(或可逆的, 或滿秩的).定義1.3 設(shè)是是數(shù)域上的矩陣, 如果存在數(shù)域上的可逆矩陣. 使, 則稱(chēng)與合同.定義1.4 設(shè)是元實(shí)二次型. 如果對(duì)中所有的都有, 就稱(chēng)是正定的, 如果中所有的都有, 就稱(chēng)是負(fù)定的, 如果對(duì)中所有的都有, 就稱(chēng)是半正定的, 如果對(duì)中所有的都有就稱(chēng)是半負(fù)定的.1.2 定理及其證明定理1.1 元實(shí)二次型是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 可以經(jīng)過(guò)變量的正交變換為正交陣), 化為, 這里是矩陣的全部特征值.定理1.2 設(shè)元實(shí)二次型, 則在條件下的最大（小）值恰為矩陣的最大（?。┨卣髦?定理1.3 設(shè)為階正定矩陣, 與是

6、實(shí)向量, 為實(shí)數(shù), 則實(shí)函數(shù)當(dāng)時(shí), 取得最小值.證明 , 因正定, 所以存在(對(duì)稱(chēng)); 而, ,因此 = = =其中, 因正定, 故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 取最小值0, 從而當(dāng)且僅當(dāng), 取得最小值.2.二次型的應(yīng)用2.1 一般的元二次式的最值的判定與求法 一般的元二次多項(xiàng)式的形式為 (2.1.1)而（2.1.1）存在最值的充要條件為 (2.1.2)存在最值(上式中), 故只需要對(duì)(2.1.2)進(jìn)行討論.定理2.1 實(shí)元多項(xiàng)式(2.1.2), 它的矩陣為, 秩為, 對(duì)(2.1.2)作非退化的線性替換, , 其中,那么, (i) 當(dāng)半正定時(shí); 1 若, 則(2.1.2)存在最小值; 2 若, 一次項(xiàng)所含新變

7、數(shù)均在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 則(2.1.2)有最小值; 3 若, 一次項(xiàng)所含新變數(shù)至少一個(gè)不在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 則(2.1.2)不存在最值. (ii) 當(dāng)半負(fù)定時(shí): 1 若, 則(2.1.2)存在最大值; 2 若, 一次項(xiàng)所含新變數(shù)均在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 則(2.1.2)有最大值; 3 若, 一次項(xiàng)所含新變數(shù)至少一個(gè)不在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 則(2.1.2)不存在最值.(iii)不定, 則(2.1.2)不存在最值.證明 (i) 令 , 則(2.1.2)改寫(xiě)為: (2.1.3)因半正定, 故存在可逆矩陣, 使, 對(duì)(3)作非退化線性替換, 變?yōu)?(2.1.4)其中, 而, 其中.(1) 若, , 這時(shí)(2.1.4

8、)變成, .等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得, 此時(shí)將代入得唯一一組的解, 此即取最值的點(diǎn).(2) 若, 因正定, 故的秩等于它的正慣性指數(shù), 即存在可逆矩陣, 使, 在非退化線性替換下, (2.1.4)式變?yōu)? . (2.1.5)若一次項(xiàng)所含新字母均在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 即至少有,(2.1.5)可變?yōu)閭€(gè)數(shù)的完全平方加一個(gè)常數(shù), 故存在最小值.(3)一次項(xiàng)所含新字母至少一個(gè)不在平方項(xiàng)中出現(xiàn), 即中至少一個(gè)不為零, 不妨設(shè), 此時(shí)(2.1.5)變?yōu)?. 令, 取絕對(duì)值很大的負(fù)值, 則上式的值會(huì)很小, 故不存在最小值; 又若取絕對(duì)值很大的正值, 則上式的值將會(huì)很大, 故不存在最大值. 因此不存在最值.(ii)半

9、負(fù)定, 則半正定, 利用(i)可得(ii)的結(jié)論成立.(iii)不定, 則存在可逆矩陣, 使, 其中均不為零. 否則, 則半正定; 則半負(fù)定, 則都與不定矛盾. 這時(shí)(2.1.5)式變?yōu)?令, 而取任意的數(shù), 可以知道上式的值大于任何給的正數(shù), 故不存在最大值. 令, 而取任意大的數(shù), 則上式的值小于任何預(yù)先給定的負(fù)數(shù), 故不存在最小值.例 1 討論是否有最值.解 將上式的矩陣寫(xiě)出, 對(duì)作合同變換得到, 它使主對(duì)角線上有一零, 故知, 而對(duì)角線上其余的非零數(shù)全是正的, 故知半正定矩陣, 是否存在極值還應(yīng)看替換后的情形才能定. 作線性替換, 原多項(xiàng)式的二次齊次項(xiàng)部分變?yōu)? , 一次項(xiàng)部分為.所含

10、字母均在平方中出現(xiàn), 屬于定理(2.1.1)中的情況, 存在最小值. 對(duì)變換后的多項(xiàng)式配方, 得 故當(dāng)時(shí), 上式有最小值.將代入中, 當(dāng)(為任意常數(shù))時(shí), 原式有最小值.例2 已知實(shí)數(shù)滿足, 求的最大值和最小值.解 的矩陣為.,因此,特征值. 于是, 由定理可知, 在下的最大值為, 最小值為.2.2 元二次型的特征方程的求法定義2.11) 矩陣的階子式: 在一個(gè)矩陣中任意選定行列, 位于這些選定的行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素按原來(lái)的次序所組成的階行列式, 稱(chēng)為的一個(gè)階子式; 2) 矩陣的階主子式: 就是指行指標(biāo)和列指標(biāo)相同的階子式.定理2.2 設(shè)元二次型為 （2.2.1)則元二次型的特征方程是,其中

11、是元二次型的矩陣的一切階主子式之和. 證明 根據(jù)行列式的性質(zhì), 將行列式拆成個(gè)行列式之和, 將其中的一個(gè)行列式設(shè)為b, 其余個(gè)行列式可依次有行列式的第列乘以-1代換的第列,行列式的第列和第列分別乘以代換b的第列和第列, 行列式的第、列分別乘以代換b的、列, 依次類(lèi)推. 即+=,其中是元二次型(2.2.1)的矩陣的一切階主子式之和. 定理證畢.2.3 應(yīng)用舉例例3 求三元二次型的特征方程.解 三元二次型的矩陣為, 根據(jù)上述定理可知, .例4 求四元二次型的特征方程.解 四元二次型的矩陣為,根據(jù)上述定理可知 ,.所以, 四元二次型的特征方程為.2.4 利用半正定二次型的性質(zhì)證明不等式定理2.3 二

12、次型半正定的充分必要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)型的所有系數(shù)都是非負(fù)的.證明 充分性 設(shè). 若,則, 即二次型是半正定的. 必要性 若二次型是半正定的, 而對(duì)于某個(gè)有, 則令這時(shí)可以找到變量的一組適當(dāng)值,使得則與此假設(shè)矛盾,所以.定理2.4 設(shè)實(shí)二次型, 若為實(shí)可逆方陣則半正定等價(jià)于半正定; 換句話說(shuō), 經(jīng)過(guò)非退化線性變換后, 半正定的二次型仍然是半正定的.證明 由有, 并且易知, 于是, 對(duì)任意的, 則, 因此則半正定.反之, , 因此, .則半正定.定義2.2 形如子式的級(jí)子式稱(chēng)為矩陣的級(jí)主子式, 其中.定理2.5 實(shí)二次型=半正定的充要條件是矩陣的一切級(jí)主子式非負(fù).證明 必要性 設(shè)二次型是半正定的,

13、則存在對(duì)角矩陣. 其中是變二次型的標(biāo)準(zhǔn)型的變量變換矩陣, . 再由定理1知, . 因此, . 又已知其中, 同時(shí), 若二次型是半正定的, 則所有二次型都是半正定的, 因此所有級(jí)主子式非負(fù).充分性 已知的一切級(jí)主子式非負(fù), 設(shè)為的級(jí)順序主子式, 則對(duì)于任意正實(shí)數(shù), 有 (2.4.1) = ()其中.由(2.4.1)式知, , 又, 所以矩陣的一切順序主子式全都大于零, 所以矩陣是正定矩陣.設(shè)為的特征值, 則, 所以,所以, 是矩陣的特征值, 因?yàn)榫仃囀钦ň仃? 所以, , 取為任意小的正數(shù), 則, 再根據(jù)定理: 矩陣是半正定的充要條件是的特征值非負(fù). 所以, 為半正定矩陣.2.4.1 利用二次

14、型半正定性證明不等式.其證明思路是: 首先構(gòu)造二次型, 然后利用二次型半正定性的定義或等價(jià)條件, 判斷該二次型（矩陣）為半正定, 從而得到不等式.例 5（不等式）設(shè)為任意實(shí)數(shù), 則.證明 記因?yàn)閷?duì)于任意, 都有, 故關(guān)于的二次型是半正定的.因而定理1知, 該二次型矩陣的行列式大于或等于0, 即. 故得.例6 證明 證明 記, 其中將矩陣的第2,3,列分別加到第一列,再將第2,3, 行減去第1行,得, 于是的特征值為0, 由定理可知, 為半正定矩陣, 即二次型是半正定的, 從而得, 即結(jié)論得證.例7 設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角, 證明對(duì)任意實(shí)數(shù),都有.證明 記，其中對(duì)做初等行變換得: , 于是的特

15、征值為0, 1, , 從而得二次型是半正定的, 即對(duì)于任意實(shí)數(shù), 得證.例8 設(shè)為階半正定矩陣, 且, 證明.證明 設(shè)的全部特征值為, 則的全部特征值為. 因?yàn)闉閷?shí)對(duì)稱(chēng)矩陣, 所以存在正交矩陣, 使得 由于為半正定矩陣, 且, 則是半正定的, 且其中至少有一個(gè), 同時(shí)至少有一個(gè)等于零. 故, 結(jié)論得證. 以上是根據(jù)不等式的要求證明該二次型為半正定二次型, 從而證明不等式. 使用這種方法簡(jiǎn)單, 方便.2.5 二次型在因式分解中的應(yīng)用定理2.6 一個(gè)實(shí)二次型可以分解成兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次齊次多項(xiàng)式乘積的充分必要條件是: 它的秩為2和符號(hào)差為0, 或秩等于1.證明 必要性 設(shè)1) 若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)

16、成比例, 即 不妨設(shè), 令則, 即二次型的秩為1.2)若兩個(gè)一次多項(xiàng)式的系數(shù)不成比例, 不妨設(shè), 令則. 再令則, 故二次型的秩為2, 符號(hào)差為0.充分性1) 若的秩為1, 則經(jīng)非退化線性替換使，其中. 故2) 若的秩為2, 符號(hào)差為零, 則可經(jīng)非退化線性替換使其中, 均為的一次齊次多項(xiàng)式, 即故可表示成兩個(gè)一次齊次多項(xiàng)式的乘積. 例9 多因式在上能否分解, 若能, 將其分解. 解 考慮二次型, 則的矩陣為,對(duì)施行合同變換, 求得可逆矩陣, 且.顯然, 的秩為2且符號(hào)差為0, 由定理2.6知, 可以分解.經(jīng)非退化線性替換, 化為. 由, 得, . 于是.故.例10 多項(xiàng)式在上能否分解? 如果能

17、,將其分解解 考慮二次型, 其矩陣為則秩, 由定理2.6知, 能在上分解, 則也能在上分解. 易得.致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對(duì)周教授表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等代數(shù)m. 北京: 高等教育出版社, 1988.2 蔣爾雄等.線性代數(shù)m. 人民教育出版社, 1989.3 屠伯塤, 徐誠(chéng)浩, 王芬. 高等代數(shù)m. 上海: 上?？萍汲霭嫔? 1987. 351 352.4 劉詩(shī)雄. 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)m. 西安: 陜西師范大學(xué)出版社, 2006.5 徐仲，陸全，張凱院. 高等代數(shù)m. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2004. 3.6 張禾瑞、郝鈵新高等代數(shù)(第四版)m. 北京: 高等教育出版社，19997 呂風(fēng)等編.高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1000例m. 東北大學(xué)出版社.8 孫學(xué)波.基于正定二次型的一個(gè)不等式及其證明j. 鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào). 2004. (4): 27.9 楊家騏, 王卿文. 高等代數(shù)在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用m. 濟(jì)南:山東教育出版社