華南農業(yè)大學概率統(tǒng)計復習知識點

1、知識點第一章 隨機事件與概率本章重點：隨機事件的概率計算二、知識要點 1*事件的關系及運算 (1) 包含：若事件發(fā)生，一定導致事件發(fā)生，那么，稱事件包含事件，記作(或) (2) 相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作 (3) 和事件：“事件A與事件B中至少有一個發(fā)生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個事件中至少有一事件發(fā)生”這一事件稱為的和，記作（簡記為） (4) 積事件：“事件A與事件B同時發(fā)生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡記為)；“n個事件同時發(fā)生”這一事件稱為的積事件，記作（簡記為或) (5) 互不相容：若事件A和B不能同時發(fā)生，即，那么稱事件A與B互不相

2、容(或互斥)，若n個事件中任意兩個事件不能同時發(fā)生，即(1i<j幾)，那么，稱事件 互不相容 (6) 對立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發(fā)生，即且，那么，稱A與B是對立的事件A的對立事件(或逆事件)記作 (7) 差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，那么，稱這個事件為事件A與B的差事件，記作(或) (8) 交換律：對任意兩個事件和B有，(9) 結合律：對任意事件A，B，C有， (10) 分配律：對任意事件A，B，C有， (11) 德摩根（De Morgan）法則：對任意事件A和B有, . 2*條件概率與乘法公式 設A與B是兩個事件在事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率稱為條件

3、概率，記作當，規(guī)定. 在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質 乘法公式：對于任意兩個事件A與B，當,時，有. 3*隨機事件的相互獨立性 如果事件A與B滿足，那么，稱事件A與B相互獨立 關于事件A，B的獨立性有下列兩條性質： (1) 如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是 這條性質的直觀意義是“事件A與B發(fā)生與否互不影響” (2) 下列四個命題是等價的： (i) 事件A與B相互獨立； (ii) 事件A與相互獨立； (iii) 事件與B相互獨立； (iv) 事件與相互獨立 對于任意n個事件相互獨立性定義如下：對任意一個，任意的，若事件總滿足

4、，則稱事件相互獨立這里實際上包含了個等式 4*貝努里概型與二項概率 設在每次試驗中，隨機事件發(fā)生的概率，則在n次重復獨立試驗中，事件恰發(fā)生次的概率為，稱這組概率為二項概率 5*全概率公式與貝葉斯公式 全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，則第二章 一維隨機變量及其概率分布本章重點：一維的分布及其概率計算,邊緣分布和獨立性計算知識要點 1一維隨機變量 若對于隨機試驗的樣本空間中的每個試驗結果，變量都有一個確定的實數(shù)值與相對應，即，則稱是一個一維隨機變量 概率論主要研究隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，也稱這個統(tǒng)計規(guī)律為隨機變量的分布 2*離散型隨機變量及其概率函數(shù)如果隨機變量僅可能取有限個或可列無限多個值，則

5、稱為離散型隨機變量設離散型隨機變量的可能取值為，若，則稱離散型隨機變量的概率函數(shù)，概率函數(shù)也可用下列表格形式表示： *概率函數(shù)的性質 (1) ， (2) 由已知的概率函數(shù)可以算得概率， 其中，是實數(shù)軸上的一個集合 *常用離散型隨機變量的分布 (1)01分布，它的概率函數(shù)為，其中，或1， (2)二項分布，它的概率函數(shù)為，其中， (3)泊松分布，它的概率函數(shù)為，其中，5*分布函數(shù) 隨機變量的分布可以用其分布函數(shù)來表示，隨機變量取值不大于實數(shù)的概率稱為隨機變量的分布函數(shù)，記作, 即 6分布函數(shù)的性質 (1) () 是非減函數(shù)，即當時，有； (3) ; (4) 是右連續(xù)函數(shù)，即由已知隨機變量的分布函數(shù)

6、，可算得落在任意區(qū)間內的概率也可以求得 7*連續(xù)型隨機變量及其概率密度 設隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在一個非負函數(shù)，使得對于任一實數(shù)，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機變量的概率密度 8*概率密度及連續(xù)型隨機變量的性質（）（）； （）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為是連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點處有； （4）設為連續(xù)型隨機變量，則對任意一個實數(shù)c，； (5)設是連續(xù)型隨機變量的概率密度，則有 9*常用的連續(xù)型隨機變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當時，稱為標準正態(tài)分布，它的概率密度為，標準正態(tài)分

7、布的分布函數(shù)記作，即， 當出時，可查表得到；當時，可由下面性質得到設，則有；10、*一維隨機變量函數(shù)的概率密度設是一個隨機變量，是一個已知函數(shù)，是隨機變量的函數(shù)，它也是一個隨機變量對離散型隨機變量，下面來求這個新的隨機變量的分布設離散型隨機變量的概率函數(shù)為則隨機變量函數(shù)的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應把那些相等的值分別合并，同時把對應的概率相加設連續(xù)型隨機變量的概率密度為：法一，隨機變量的分布函數(shù)為其中，與是相等的隨機事件，而是實數(shù)軸上的某個集合隨機變量的概率密度可由下式得到： 法二，設連續(xù)型隨機變量的概率密度為，是單調函數(shù)，且具有一階連續(xù)導數(shù)，是的反函數(shù)，則的概率密度為

8、 特別有下面的結論：設，且與相互獨立，則第三章 二維隨機變量及其分布1二維隨機變量若對于試驗的樣本空間中的每個試驗結果，有序變量都有確定的一對實數(shù)值與e相對應，即， ，則稱為二維隨機變量或二維隨機向量2聯(lián)合分布函數(shù) 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機變量取值不大于實數(shù)的概率，同時隨機變量取值不大于實數(shù)的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為，即3聯(lián)合分布函數(shù)的性質 (1) ； (2) 是變量(固定)或(固定)的非減函數(shù)； (3) ，；(4) 是變量(固定)或(固定)的右連續(xù)函數(shù)； 4*二維離散型隨機變量及聯(lián)合概率函數(shù)如果二維隨機變量僅可能取有限個或可列無限個值，那么，稱為二維離散型隨機變量 二維離散型隨

9、機變量的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來表示：其中，5*二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度 對于二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個二元非負函數(shù)，使得對于任意一對實數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機變量，為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度6二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度的性質 (1) ； (2) ； (3) 設為二維連續(xù)型隨機變量，則對任意一條平面曲線，有； (4) 在的連續(xù)點處有 ; (5) 設為二維連續(xù)型隨機變量，則對平面上任一區(qū)域有7.二維離散型隨機變量的邊緣概率函數(shù) 設為二維離散型隨機變量，為其聯(lián)合概率函數(shù)（），稱概率為隨機變量的邊緣概率函數(shù)，記為并有，稱概率為隨機變量Y的邊緣概率函數(shù)，

10、記為，并有=. 8、*二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 設為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為9、常用的二維連續(xù)型隨機變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布10、*隨機變量的相互獨立性 設為二維離散型隨機變量，與相互獨立的充分必要條件為 如果與的聯(lián)合分布函數(shù)等于的邊緣分布函數(shù)之積，即，稱隨機變量與相互獨立 設為二維連續(xù)型隨機變量，則與相互獨立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨立的充分必要條件是

11、第四章 隨機變量的數(shù)字特征本章重點：隨機變量的期望、方差的計算知識要點 1*數(shù)學期望 設是離散型的隨機變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)絕對收斂，則定義的數(shù)學期望為； 設為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對可積，則定義的數(shù)學期望為 2*隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望設為離散型隨機變量，其概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為 設為二維離散型隨機變量，其聯(lián)合概率函數(shù)如果級數(shù)絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為； 特別地. 設為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分 絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為 設為二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合概率密度為，如果廣義積分絕對收斂，則的函數(shù)的數(shù)學期望為；特別地 ,.

12、 3*數(shù)學期望的性質 (1) (其中c為常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) ； (4) 如果與相互獨立，則. 4*方差與標準差 隨機變量的方差定義為計算方差常用下列公式： 當為離散型隨機變量，其概率函數(shù)為如果級數(shù)收斂，則的方差為； 當為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機變量的標準差定義為方差的算術平方根. 5*方差的性質 (1) (c是常數(shù))； (2) (為常數(shù))； (3) 如果與獨立，則. 6原點矩與中心矩 隨機變量的階原點矩定義為； 隨機變量的階中心矩定義為； 隨機變量的階混合原點矩定義為； 隨機變量的階混合中心矩定義為 一階原點矩是數(shù)學期望； 二階中心矩

13、是方差D(X)； 7*常用分布的數(shù)字特征 (1) 當服從二項分布時， (2) 當服從泊松分布時， (3) 當服從區(qū)間上均勻分布時， (4) 當服從參數(shù)為的指數(shù)分布時， (5) 當服從正態(tài)分布時，第六章  數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 本章重點：統(tǒng)計量的概念及其分布。 主要內容    1總體、個體    我們把研究對象的全體稱為總體(或母體)，把組成總體的每個成員稱為個體。在實際問題中，通常研究對象的某個或某幾個數(shù)值指標，因而常把總體的數(shù)值指標稱為總體。設x為總體的某個數(shù)值指標，常稱這個總體為總體X。X的分布函數(shù)稱為總體分布函

14、數(shù)。當X為離散型隨機變量時，稱X的概率函數(shù)為總體概率函數(shù)。當X為連續(xù)型隨機變量時，稱X的密度函數(shù)為總體密度函數(shù)。當 X服從正態(tài)分布時，稱總體X為正態(tài)總體。正態(tài)總體有以下三種類型：    (1)未知，但已知；    (2)未知，但已知；    (3)和均未知。    2簡單隨機樣本    數(shù)理統(tǒng)計方法實質上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個體的特征來推斷總體的特征。要作統(tǒng)計推斷，首先要依照一定的規(guī)則抽取n個個體，然后對這些個體進行測試或觀察得到

15、一組數(shù)據(jù)，這一過程稱為抽樣。由于抽樣前無法知道得到的數(shù)據(jù)值，因而站在抽樣前的立場上，設有可能得到的值為，n維隨機向量()稱為樣本。n稱為樣本容量。 (）稱為樣本觀測值。  如果樣本()滿足  （1）相互獨立；   (2) 服從相同的分布，即總體分布；  則稱()為簡單隨機樣本。簡稱樣本。  設總體X的概率函數(shù)(密度函數(shù))為，則樣本（ )的聯(lián)合概率函數(shù)(聯(lián)合密度函數(shù)為)    3. 統(tǒng)計量完全由樣本確定的量，是樣本的函數(shù)。即：設是來自總體X的一個樣本，是一個n元函數(shù)，如果中不含任何總體的未知參數(shù)，

16、則稱為一個統(tǒng)計量，經過抽樣后得到一組樣本觀測值，則稱為統(tǒng)計量觀測值或統(tǒng)計量值。4. *常用統(tǒng)計量（1）樣本均值： （2）樣本方差：5. *三個重要分布（1）分布設為獨立標準正態(tài)變量，稱隨機變量的分布為自由度為n的分布，記為。稱滿足：的點為分布的分位點。（2）t分布設隨機變量X與Y獨立，則稱的分布為自由度n的t分布，記為。稱滿足：的點為t分布的分位點。（3）F分布設隨機變量U與V相互獨立，則稱的分布為自由度的F分布，記為。稱滿足：的點為F分布的分位點，且有6. *正態(tài)總體的抽樣分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，設是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（1）；（2）與相互

17、獨立；（3） 學習要點:統(tǒng)計學的核心問題是由樣本推斷總體，因此理解統(tǒng)計量的概念非常重要。它是樣本的函數(shù)，統(tǒng)計量的選擇和運用在統(tǒng)計推斷中占據(jù)核心地位。樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統(tǒng)計量，必須熟悉它們的計算方法及其有關性質。統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布，其中分布、t分布、F分布是本章的重點，必須熟悉它們的定義、性質及其上分位點的查表方法；正態(tài)總體抽樣分布是統(tǒng)計學中最重要的一個理論結果，必須弄清它的條件及結論，并能運用判斷一些常用統(tǒng)計量的分布。 第七章  參數(shù)估計本章重點：未知參數(shù)的矩估計、極大似然估計及正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計。 主要內容 &

18、#160;  1. *點估計方法設是來自總體X的樣本，是總體的未知參數(shù)，若用一個統(tǒng)計量來估計，則稱為參數(shù)的估計量，在抽樣后，稱為參數(shù)的估計值。這種估計稱為點估計。矩估計和最大似然估計是兩種常用的點估計法。（1）*矩估計法用樣本的各階原點矩去估計對應的各階總體的原點矩，這就是矩估計的基本方法。（2）*最大似然估計法設總體X的密度函數(shù)（其中為未知參數(shù)），已知為總體X的樣本的觀察值，則求的最大似然估計值的步驟如下：    寫出似然函數(shù)   似然函數(shù)取對數(shù)(3)建立并求似然方程(4)最大似然估計值可以由解對數(shù)似然方程得到。2. 點估

19、計的優(yōu)良性評判準則（1）無偏性設是的一個估計量，若，對每一成立則稱是的一個無偏估計。（2）有效性設是的兩個無偏估計，如對每一，有且至少對某個使之成立嚴格不等式，則稱比有效。稱在所有的無偏估計中，方差最小的那一個為一致最小方差無偏估計。3. *單正態(tài)總體下的置信區(qū)間設是取自正態(tài)總體的一個樣本，置信水平為，樣本均值，樣本方差。（1）均值的置信區(qū)間     若已知，取，故的雙側置信區(qū)間為：     若未知，取，故的雙側置信區(qū)間為：（2）方差的置信區(qū)間     若已知，取，故的雙側置

20、信區(qū)間為：     若未知，取，故的雙側置信區(qū)間為：1 正態(tài)總體的均值、方差的區(qū)間估計單個子樣待估參數(shù)置信區(qū)間備注,已知,未知已知未知第八章  假設檢驗  本章重點：單個正態(tài)總體的參數(shù)的假設檢驗。 內容提要1假設檢驗的基本概念假設檢驗是基于樣本判定一個關于總體分布的理論假設是否成立的統(tǒng)計方法。方法的基本思想是當觀察到的數(shù)據(jù)差異達到一定程度時，就會反映與總體理論假設的真實差異，從而拒絕理論假設。原假設與備選假設是總體分布所處的兩種狀態(tài)的刻畫，一般都是根據(jù)實際問題的需要以及相關的專業(yè)理論知識提出來的。通常，備選假設的設定反映了收

21、集數(shù)據(jù)的目的。檢驗統(tǒng)計量是統(tǒng)計檢驗的重要工具，其功能在用之于構造觀察數(shù)據(jù)與期望數(shù)之間的差異程度。要求在原假設下分布是完全已知的或可以計算的。檢驗的名稱是由使用什么統(tǒng)計量來命名的。否定論證是假設檢驗的重要推理方法，其要旨在：先假定原假設成立，如果導致觀察數(shù)據(jù)的表現(xiàn)與此假定矛盾，則否定原假設。通常使用的一個準則是小概率事件的實際推斷原理。2兩類錯誤概率。第一類錯誤概率即原假設成立，而錯誤地加以拒絕的概率；第二類錯誤概率即原假設不成立，而錯誤地接受它的概率。3顯著水平檢驗。在收集數(shù)據(jù)之前假定一個準則，即文獻上稱之為拒絕域，一旦樣本觀察值落入拒絕域就拒絕原假設。若在原假設成立條件下，樣本落入拒絕域的概率不超過事先設定的，則稱該拒絕域所代表的檢驗為顯著水平的檢驗，而稱為顯著水平。由