2014年常州市教育學會學生學業(yè)水平檢測

1、2014年常州市教育學會學生學業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學I試題2014年1月參考公式:1 n _ _ 1 n、填空題：本大題共樣本數(shù)據(jù)X1 , X2，xn的方差S2 =送(x X)2，其中x二一送X n i_1n i_114小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1. 設(shè)集合 A=xx2：1, x R?, B=1x0 < x < 2，則 A"B=2. 若-一mi =1 ni ( m, n R , i為虛數(shù)單位)，則 mn的值為.i2 23. 已知雙曲線 篤-丫 1(a 0)的一條漸近線方程為 2x-y=0，則a的值為.a 44. 某學校選修羽毛球課程的學生中，高

2、一，高二年級分別有80名，50名.現(xiàn)用分層抽樣的方法在這130名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級學生中抽取了24名，則在高二年級學生中應(yīng)抽取的人數(shù)為 .5. 某市連續(xù)5天測得空氣中PM2.5 (直徑小于或等于2.5微米的顆粒物)的數(shù)據(jù)(單位：3mg/ m )分別為115, 125, 132, 128, 125,則該組數(shù)據(jù)的方差為 .2 2 一6. 函數(shù)y =2sin x 3cos x 4的最小正周期為 .7. 已知5瓶飲料中有且僅有 2瓶是果汁類飲料.從這5瓶飲料中隨機取2瓶，則所取2瓶中至少有一瓶是果汁類飲料的概率為 .x y 3,& 已知實數(shù)x , y滿足約束條件 汀3, 則z=

3、5-x2-y2的最大值為 .|x < 3,9. 若曲線G : y =3x -ax -6x?與曲線C2 : y之乂在x=1處的切線互相垂直，則實數(shù) a 的值為.10. 給出下列命題:(1 )若兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定平行于另一個平面；(2 )若兩個平面平行，那么垂直于其中一個平面的直線一定垂直于另一個平面；(3 )若兩個平面垂直，那么垂直于其中一個平面的直線一定平行于另一個平面；(4 )若兩個平面垂直，那么其中一個平面內(nèi)的直線一定垂直于另一個平面.則其中所有真命題的序號為 .11. 已知q'；-P,P ，等比數(shù)列羅 中，a1=1 , a43tan3 3q，若數(shù)列的

4、前2014I 6 6 丿9項的和為0，則q的值為.12已知函數(shù)f(x)=2 ， X：0，若f(f(/).f(k)，則實數(shù)k的取值范圍為 .2(x -1) , x > 0,a2 _b213. 在 ABC中，角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若tan A =7ta nB ,3，則cc 二.2 214. 在平面直角坐標系 xOy中，已知圓O: x +y =16，點P(1,2) , M, N為圓O上不同的兩點，且滿足PM PN =0 .若，則pQ的最小值為.二、解答題：本大題共 6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.15. (本

5、小題滿分14分)斗4在厶ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c.設(shè)向量m =(a,c), n =(cosC,cosA).t 4(1) 若 m / n , c = . 3a，求角 A;(2) 若 m n =3bsinB , cosA ，求 cosC 的值.516. (本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱 AB1C1 -ABC中，AB丄BC, E, F分別是AB , A&的中點.(1)求證：EF /平面ABC;(2) 求證：平面 AEF丄平面 AA1B1B ；(3) 若 AA =2AB =2BC =2a，求三棱錐 F - ABC（第 16 題）的體積.17. (本小題滿分14

6、分)設(shè)等差數(shù)列%的公差為d,前n項和為Sn ,已知S3 "5, S5 =25 .(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 若p , q為互不相等的正整數(shù)，且等差數(shù)列bn滿足亠卩=p ,亠口 =q，求數(shù)列bn 的前n項和Tn .18. （本小題滿分16分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E:2 2Xz -yz = 1(a . b . 0)的右準線為直線a bl，動直線y =kx m （k ：0, m 0）交橢圓于 A，B兩點，線段AB的中點為M，射線OM分別交橢圓及直線I于P, Q兩點，如圖.若A, B兩點分別是橢圓E的右頂點，上頂點時,點Q的縱坐標為1 （其中e為橢圓的離心率），且 OQ

7、=,j5OM .e（1）求橢圓E的標準方程；（2）如果OP是OM , OQ的等比中項， 那么m是否為常數(shù)？若是，求出該k常數(shù)；若不是，請說明理由.19. (本小題滿分16分)幾名大學畢業(yè)生合作開設(shè) 3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種 3D產(chǎn)品.已知該店每月生產(chǎn)的 產(chǎn)品當月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其它固定支出20000元.假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(件)與銷售價格 x (元/件)(N )之間滿足如下關(guān)系：當34 < x < 60 時，t( x) - a(5 )+1 00 當(6 Q x <7時t(

8、x) - 1 0x0 .設(shè)該店月利潤為 M (元)，月利潤=月銷售總額一月總成本.(1 )求M關(guān)于銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該打印店月利潤 M的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格.20.(本小題滿分16分)a已知函數(shù) f(x) = 1 n x x -一,a乏R .x(1)當a = 0時，求函數(shù)f (x)的極大值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當a>1時，設(shè)函數(shù)g(x) =f (x 1) + x1，若實數(shù) b 滿足：b>a且X -1|g島粧)，寧，求證4 45 .常州市教育學會學生學業(yè)水平監(jiān)測數(shù)學U （附加題）2014年1月21. 【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做兩

9、題.，每小題10分，共計20分.請在 答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A .選修4 1:幾何證明選講（第21-A題）BOD如圖，等腰梯形 ABCD內(nèi)接于O O , AB /CD .過點A作O O的切線交CD的延長線于點E.求證：/ DAE=Z BAC.B.選修4 2:矩陣與變換1對應(yīng)的變換作用下得到直線I ,若直線過點2已知直線I : ax - y = 0在矩陣 （1,1），求實數(shù)a的值.C .選修4 4:坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，已知點 P（2. 3,P），直線I : rcos（q p） =2 2，求點P到直線I的距離.64D .選修4 5:不等式選講已

10、知 x > 1 , y1，求證：x2y xy2 1 < x2 y2 x y .【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域.內(nèi)作答，解 答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22. （本小題滿分10分）如圖，三棱錐 P ABC中，已知平面 PAB丄平面 ABC, AC丄BC, AC=BC=2a,點O ,D分別是AB, PB的中點，PO丄AB,連結(jié)CD .(1 )若PA =2a，求異面直線PA與CD所成角的余弦值的大小;(2)若二面角A PB C的余弦值的大小為5，求5PA.23. (本小題滿分10分)設(shè)集合A, B是非空集合 M的兩個不同子集，滿足：

11、A 不是B的子集，且B也不是A的子集.(1)若皿二佝電耳鳥，直接寫出所有不同的有序集合對(A,B)的個數(shù);(2)若M=佝，a2,a3,an，求所有不同的有序集合對 (A,B)的個數(shù).常州市教育學會學生學業(yè)水平監(jiān)測 高三數(shù)學I試題參考答案及評分標準一、填空題:本大題共14小題，每小題5 分,共70分1. 10,12.-13.14.155.15831.6(寫成158也對)6.P 7.5108 19.丄10.(1)( 2)11 . -P12. (log 1 9,4)13. 414. 3-. 3 r23e92二、解答題:本大題共6小題，共計90分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.-t415.

12、解：(1 ) m / n ,. acosA 二ccosC .由正弦定理，得 sin AcosA 二 sinC cosC .化簡，得 sin2A =sin2C ./ A,C (0,p) , 2A =2C 或 2A 2C =p ,從而 A =C (舍)或 A C =P . B =P . 4 分2 2在 Rt ABC 中,tan3 , A =P . 6 分c 36(2)t m n = 3b cos B , acosC ccosA=3bsinB .、.22由正弦定理，得 sin AcosC sinCcosA=3sin B，從而 sin(A C)=3sin B .1 A B C =p , sin (A

13、C) =si n B . 從而 sin B . 8 分34 p3八T cos A 0, A (0,p) A (0,匕),si nA . 10 分5 2522 sin A sinB , a b，從而 A B , B 為銳角，cosB. 12 分3 cosC = _cos(A 亠 B) = -cosAcosB 亠sin Asin B4 2.2 3 1 3 -8、2八-. 14 分5 3531516證明：(1)連結(jié)AQ .直三棱柱 ABG -ABC中，AAGC是矩形,點F在AQ上，且為AC的中點.在厶ABC中， E, F分別是AB , AC的中點， EF / BC. 2分又 BC二平面ABC, EF

14、二平面ABC，所以EF /平面 ABC . 4分(2)：直三棱柱 AbiG -ABC 中，B_ 平面 ABC , B1BC ./ EF / BC, AB丄 BC,. AB 丄EF , RB _ EF .T BAB 二 B , EF 丄平面 ABB1A1 ./ EF 平面AEF，平面 AEF丄平面ABB1A1 .10分111(3) Vf _ABCVa 4BCS ABCAAl22 3=1 - -a 2a 二生.2 3 2612分14分17.解：（1）由已知，得3a1 3d =a1 4d,5a1 1025,解得a1 =1 d = 2.18二 an =2n -1 .（2） p , q為正整數(shù),由(1)

15、得 ap =2p _1 , aq =2q -1 .進一步由已知，得 b2p J = p , b2ql =q .bn是等差數(shù)列，“，bn的公差d =22p匕由 b2b 1 =0 +(2p_2)d=p，得 0=1.2n(n -1) n 3nT； =nbd =24解：當A, B兩點分別是橢圓 E的右頂點和上頂點時，則A(a,0) , B(0, b),M (孚).2 210分12分14分Q（J】），二由c eO, M , Q三點共線，得-a耆，化簡，得廠1 ./ 0Q = 50M ,a2 =b2 c2,由 b =1,2a = 5c,(1)(2)(5 k2c*二一=5，化簡,a2解得F 9a 5,c2

16、=4.2a = 5c2橢圓E的標準方程為X y2 =1 .52把 y =kx m(k ：0,m0)，代入 y2 =1，得51)x2 10mkx 5m2 -5 =0 .5mkm2 丄,yM =2 丄,5k 15k 1從而點M( 5mk m5k21,5k21)'10分所以直線OM的方程yr-1 x .5kyx, 由2 5kx 2得 xp2 =£25k +1/ OP 是 OM , OQ的等比中項，OP2 =OM OQ,25mk22(5k1)5k225mk由5k2 12(5 k2 1)從而 Xp2 = xm Xq 口14分，得 m = _2k，從而 m =_2，滿足 0 .k15分1

17、6分 m為常數(shù)-2 . k19 .解：(1 )當 x =60 時,2t(60) =1600，代入 t(x) - -a(x 5)10050,解得a =2 ./-2x 20x +10000)(x 34) 20000,34 < x w60,x N, 二 M (x)二(100x +7600)(x 34) 20000,60 < x < 70,x N. 32-.加l-2x +48x +10680X360000,34 < xc60,x N,即 M (x)二2-100x +1100x278400,60 < x < 70, N.（注：寫到上一步，不扣分.）(2)設(shè) g(u)

18、=(2u2 -20u10000)(u-34) -20000 , 34 < u ： 60 , u R，則g (u) - -6(u -16u -1780).令 g (u) =0 ,解得 u1 =8 -2.461 (舍去)，氏=8 2 461 (50,51) . 7 分當 34 :：: u :：: 50 時，g (u)0 , g(u)單調(diào)遞增；當 51 : u ：60 時，g (u) : 0 , g(u)單調(diào)遞減. 10 分T x N , M (50) =44000 , M (51) =44226 , M (x)的最大值為 44226 . 12 分當 60 < x < 70 時，M

19、 (x) =100(-x2110x -2584) -20000 單調(diào)遞減，故此時 M(x)的最大值為 M (60) =216000 . 14分綜上所述，當x=51時，月利潤M(x)有最大值44226元. 15分答：該打印店店月利潤最大為 44226元，此時產(chǎn)品的銷售價格為 51元/件. 16分20.解：函數(shù)f(x)的定義域為(0,：).1 "(1)當 a 二0 時，f (x) =ln x - X , f (x)1，令 f (x)二0 得 x =1 . 1 分x列表:(0,1)(1,；)f (x)f(x)極大值所以f (x)的極大值為f (x)丿-1x鮒)=1.2a-xx a令 f(X

20、)得-x2x a = 0，記=1 4a .(i)當f (x) < 0，所以f(x)單調(diào)減區(qū)間為(0,；)；1a -丄時，由f (x) =0得x41若 a ： 0，則為x 0 ,4(ii)當11 4a 1 - 14a,x2 =2，由 f (x) : 0 ,得 0 ： x ： x , xX1 ；由 f (x) 0，得 X2 ： x ：捲.1 J1 + 4a 1 +J1 +4a所以，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,), (2,；)，單調(diào)增區(qū)間為(1 - 1 4a 11 4a).( , );2 2若a =0 ,由(1)知f (x)單調(diào)增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)減區(qū)間為(1,；);若a 0，則x|0x2

21、 ,由 f (x) ： 0，得 x x1 ；由 f (x) 0，得 0 ： x . X1 .1 +J1 +4af(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2：)，單調(diào)增區(qū)間為©2綜上所述：當a w -1時，4f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,；);1當 a ：0時,4單調(diào)增區(qū)間為r 一14a 1f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1 - 1 4a21 4a);單調(diào)增區(qū)間為10分1 十 J1 +4a(3) g(x)=ln(x1)(x 1 ).由g( bb -11)=g(a)得咕二 ln(a -1).f(x)單調(diào)減區(qū)間為(2,=),2 1 =(a _i)(b_1) ：(b_1) , b 2 .由g(b)亠叨得,ln(b

22、-1) =2 1 n(葺-1)=2 1 n*(a1)+(b1),(*)因為a -1 b -1> .(a-1)(b -1)=1 ,1所以(*)式可化為 ln(b-12ln2(a-1) (b-1)，14分即 b 1 =丄(丄 b -1)2 .2 b 1令 b _1 =t(t .1)，則 l(t 2，整理，得 t4 -4t3 2t21=0 ,即 t3 -3t2 -t -1=0從而(t -1)(t3 3t2 t 1) =0 ,記 h(t)二t3 -3t2 -t -1,t1 .2h (t)=3t -6t -1令 h(t)二 0得 t =1 -容3(舍)，(1,1 于h(t) h(t)所以，h(t)

23、在(1,1 - 233)單調(diào)減，在2 3(V 3 ,；)單調(diào)增，又因為 h(3) ：0,h(4)0 ,316分所以 3 ：: t :4，從而 4 : b ：: 5 .常州市教育學會學生學業(yè)水平監(jiān)測高三數(shù)學(附加題)參考答案21、【選做題】在 A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20 分.A 選修4 1幾何證明選講證明： ABCD 是等腰梯形，AB/ CD,/ AD=BC.從而 AD = BC / ACD = Z BAC. 4 分/ AE為圓的切線，/ EAD = Z ACD. 8分/ DAE = Z BAC. 10 分B.選修4 2:矩陣與變換解：設(shè)P(x,y)為直線I上任意

24、一點，在矩陣 A對應(yīng)的變換下變?yōu)橹本€ 上點P (x ,y)，則；=02；，化簡，得4分“ =x.代入 ax _y = 0 ,整理，得-(2 a 1)x ay =0 . 8 分將點(1, 1)代入上述方程，解得a=-1. 10分C .選修4 4:坐標系與參數(shù)方程解：點P的直角坐標為(3, .3) , 4分直線I的普通方程為x -y -4 =0 , 8分從而點P到直線I的距離為210分D .選修4 5:不等式選講證明：左邊-右邊=(y y2)x2 (y2 T)x y 1 = (1 y)yx2 (1 y)x 14分=(1-y)(xy-1)(x-1), 6 分 x > 1 , y > 1 ,.1 - y w 0, xy -10, x -10 . 8 分從而左邊-右邊W 0, x2y xy2 1 w x2y2 x y . 10 分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20 分.22 解：連結(jié)0C.平面PAB丄平面 ABC, PO