實(shí)數(shù)和二次根式的基本概念

1、一實(shí)數(shù)的基本概念 1無理數(shù)的概念： （ 1）定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) .（2）解讀：1）無理數(shù)的兩個重要特征：無限小數(shù)；不循環(huán).2）無理數(shù)的常見類型： 具有特定意義的數(shù)。如 等； 具有特定結(jié)構(gòu)的無限小數(shù)，如 0.1212212221 （每相鄰兩個 1 之間依次多一個 2）等； 開方開不盡的數(shù) ，如 2 ， 3 4 等. 那么，是否所有帶根號的數(shù)都是無理數(shù) 呢？3）有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別： 有理數(shù)總可以表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)， 反之， 有 限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也必定是有理數(shù)；而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)也 必定是無理數(shù) .2實(shí)數(shù)的概念及分類：（ 1）定義：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱

2、為實(shí)數(shù) .（ 2 ）分類：整數(shù)有理數(shù) 整數(shù)按定義分： 實(shí)數(shù) 分?jǐn)?shù) - 有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù) 無理數(shù) 無限不循環(huán)小數(shù)正實(shí)數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)按性質(zhì)分： 實(shí)數(shù) 0負(fù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)無理數(shù)正整數(shù)整數(shù) 零有理數(shù) 負(fù)整數(shù) 有盡小數(shù)或無盡循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)無盡不循環(huán)小數(shù)3）實(shí)數(shù)的性質(zhì)：相反數(shù)： a與b 互為相反數(shù)b 0.絕對值：a,a 00,a 0 或a,a 0a,a 0a,a 0或aa,a 0a,a 04）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的可以用物理方法來表示：是一個超越數(shù)， 用尺規(guī)作圖的方法是不能在數(shù)軸上表示的；，因?yàn)橹睆綖橛靡粋€直徑為 1 的圓形從數(shù)軸的零點(diǎn)開始轉(zhuǎn)動，正好轉(zhuǎn)一

3、圈的那個點(diǎn)就是1 的圓的周長為 。（5）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序：先算乘方、開方、再算乘除、最后算加減，同級運(yùn)算按照從左到右 的順序進(jìn)行，有括號的先算括號里的。（ 6）實(shí)數(shù)中非負(fù)數(shù)的四種形式及其性質(zhì)：形式： a 0 ； a2 0 ； a 0（ a 0）； a 中a 0.性質(zhì)：非負(fù)數(shù)有最小值 0；有限個非負(fù)數(shù)之和仍然是非負(fù)數(shù)； 幾個非負(fù)數(shù)之和等于 0， 則每個非負(fù)數(shù)都等于 0.1.0232332333（7）實(shí)數(shù)中無理數(shù)的常見類型： 所有開不盡的方根都是無理數(shù)，且不可認(rèn)為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)； 圓周率 及含有 的數(shù)是無理數(shù)，例如： 2 1等； 看似循環(huán)，但實(shí)質(zhì)不循環(huán)的無限小數(shù)是無理數(shù)，例如：一)根據(jù)實(shí)數(shù)的定

4、義解題：例 1】下列各數(shù)，哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)?哪些是正實(shí)數(shù) ?3 27 ， 3.14， 0.4829 ， 0.313 131 ， ， 81 ， 23，3 0.5 .1.020020002 (相鄰兩個 2 之間 0 的個數(shù)逐次加 1)， 3 9 ，例 2】在實(shí)數(shù) 0，1， 2 ，0.1235 中無理數(shù)的個數(shù)是()A 0B1C2D 3拓展】 ，22， 2 ， 9 ，3.14，0.61414 ，0.1001000100001L 這 7個實(shí)數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)7 是( ) A 0B1C2D 3例 3】下面有四個命題： 有理數(shù)與無理數(shù)之和是無理數(shù) 有理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù) 無理數(shù)與無理數(shù)之和是無

5、理數(shù) 無理數(shù)與無理數(shù)之積是無理數(shù) 請你判斷哪些是正確的，哪些是不正確的，并說明理由。例 4】判斷正誤，在后面的括號里對的用“，”錯的記 “×表”示，并說明理由(1) 無理數(shù)都是開方開不盡的數(shù) .( )(2) 無理數(shù)都是無限小數(shù) .()(3) 無限小數(shù)都是無理數(shù) .()(4) 無理數(shù)包括正無理數(shù)、零、負(fù)無理數(shù).( )(5) 不帶根號的數(shù)都是有理數(shù) .( )(6) 帶根號的數(shù)都是無理數(shù) .( )(7) 有理數(shù)都是有限小數(shù) .( )(8) 實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無限小數(shù) .( ) 二)實(shí)數(shù)的絕對值： 例 5】求下列各數(shù)的相反數(shù)及絕對值：(1)3 64 (2)3例 6】已知一個數(shù)的絕對值是 3

6、，求這個數(shù) .拓展】x = ，求 x 的值。例 7】若0b1則 b2，1b， b， 1這四個數(shù)有下列關(guān)系()bb2bb1b2b1bA.bB.b1bb b2b12b2 bC.bD.b例 8】比較下列各組數(shù)的大小：(1) 7 和 3 (2)x2 1 和 x2二次根式的概念1. 二次根式的定義：形如a (a0)的式子叫做二次根式2. 二次根式應(yīng)滿足兩個條件：第一，有二次根號 “ ”。 第二，被開方數(shù)是正數(shù)或 0。第三，二次根式 a ( a 0)表示非負(fù)數(shù) a 的算術(shù)平方根。3. 性質(zhì)(1) ( a)2 =a(a0)(2) a2 a a(a a02) a ( a0)a 2a ( a< 0)a(a

7、 0)a· b ab (a0，b0)例 1】下列各式中哪些是二次根式，請作出判斷。3,2, 4, 2, x2 1, a, m(m 0), ab = a · b ( a0， b0) 8【例 2】當(dāng) x 取怎樣的實(shí)數(shù)時(shí) x 1； 2 x ； x 3 ； 2 x2 在實(shí)數(shù)范圍 內(nèi)有意義【拓展 1】x 為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義3；(3) 2(1) 2x3 ；(2)2x 11x1(3) x 1 22x拓展 2】 x 取何值時(shí)，下列各式有意義？ x2(1) 3 6x ； (2) x 5 ； x5拓展 3】 x 取何值時(shí)，下列格式有意義：(1)x2 ；(2) 1 x3 ；3.

8、 最簡二次根式二次根式 a ( a 0 )中的 a稱為被開方數(shù)滿足下面條件的二次根式我們稱為最簡 二次根式：(1) 被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(被開方數(shù)不能存在小數(shù)、分?jǐn)?shù)形式)(2) 被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；(3) 分母中不含二次根式。二次根式的計(jì)算結(jié)果要寫成最簡根式的形式例 1】判斷下列各式中哪些是最簡二次根式，哪些不是？例 2】下列二次根式中，最簡二次根式的個數(shù)是()A.1 個B.2 個C.3個4b, 24x， x2 4x 4 D.4 個例 3】在下列二次根式10 ， a2 ，2 5m ， 3x2 ， a2 b2 ，3a ，12x， a b ，1 ， ，3 2， 2，a

9、 a2 b 中，最簡二次根式有練習(xí)】下列根式 2 xy，8， ab235xy ， x2 y2 ， 12 中式最簡二次根式的有(A2 個B3個C4個D5個例 4】把下列各式化成最簡二次根式。(3) 25x3 50x2 x 0(1) 24 (2) 75a34. 同類二次根式式。幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫同類二次根合并同類二次根式： a x b x (a b) x 同類二次根式才可加減合并例 1】下列各組中的兩個根式是同類二次根式的是()A 5 2x 和 3 xB 12ab 和C x2y 和 xy2例 2】在 27 、中與 3 是同類二次根式的個數(shù)是A. 0B

10、.1 C.2 D.3鞏固】下列二次根式中，哪些是同類二次根式？(字母均為正數(shù))D 18 與 23例 3】下列各組二次根式中，屬于可以合并的是()A 12與 72B 63與 28C 4x3 與2 2xD a=0 , b=2 或 a=1 , b=1例 4】若 a+b 4b 與 3a b 是同類二次根式，則 a、 b 的值為()A a=2 , b=2 B a=2 , b=0 C a=1 , b=1【鞏固】若 a b 4b與最簡二次根式 3a b 為同類二次根式，其中a， b 為整數(shù)，則a ， b ；【例 5】若最簡二次根式3a 5與 a 3 是可以合并的二次根式，則 a ?！纠?6】下列二次根式中，

11、與a 是可以合并的是( )A 2aB 3a2C a3D a4【例 7】若最簡二次根式 a b2a b與 a 2b 是同類根式，求 a2b的值課后作業(yè)1. 把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合里 3 8 ，-3.1459，- 3 ，272, -3 2 ，- 78 ，-0.0202021.414,- 7 ,1.2112111211112(相鄰兩個 2 之間 1 的個數(shù)逐次加 1)(1) 正有理數(shù)集合： (2) 有理數(shù)集合：(3) 無理數(shù)集合： (4) 實(shí)數(shù)集合： 12. x 取何值時(shí)，下列各式有意義：(3) x 2 x3(6) x3.求下列各數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值(3) 1-1 1 14.下列判斷 (1) 2 3 和 3 48 不是同類二次根式； (2) 45 和215 不是同類二次根式；A. 3(3) 8x 與不是同類二次根式，其中錯誤的個數(shù)是(B. 2C .1D. 05.下列二次根式中，是最簡二次根式的是(A. 8xB. x2 3C.xyD. 3a2b6.若代數(shù)式 2x 1 3 12x 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是(1 Ax27