2021版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.2.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(二)學(xué)案新人教B版選修2-1

1、221 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(二)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.加深理解橢圓定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.能靈活運(yùn)用條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3能夠熟練求解與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)與推導(dǎo)思考1橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征與代數(shù)特征分別是什么?思考2依據(jù)橢圓方程，如何確定其焦點(diǎn)位置？思考3觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣選擇坐標(biāo)系才能使橢圓的方程較簡(jiǎn)單？并寫(xiě)出求解過(guò)程.梳理(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式焦點(diǎn)位置形狀、大小焦點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上形狀相同，a, b, c滿足a>b>0, b2= a2 c2,焦距為 2cF1( c, 0),F2(C, 0)22x y2 + 匸2= 1a b(a>b&

2、gt;0)焦點(diǎn)在y軸上Fi(O , c),F2(0 , c)2 2y x2 + 匸2= 1 a b(a>b>0)2 2 .(2) 方程Ax + By = 1表示橢圓的充要條件是(3) 橢圓方程中參數(shù)a, b, c之間的關(guān)系為R題型探究類型一橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程確實(shí)定例1求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A(.3, 2)和B( 2 3, 1)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 反思與感悟 求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以利用定義，也可以利用待定系數(shù)法，選擇求解方法 時(shí)，一定要結(jié)合題目條件，其次需注意橢圓的焦點(diǎn)位置.跟蹤訓(xùn)練1求適合以下條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3 5(1) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，- 2) , (0 , 2

3、)，并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一2，2)； 焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(0, 2)和(1 , 0).類型二相關(guān)點(diǎn)法在求解橢圓方程中的應(yīng)用例2如圖，在圓x2 + y2 = 4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD D為垂足.當(dāng)點(diǎn) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡.引申探究假設(shè)本例中“過(guò)點(diǎn) P作x軸的垂線段PD'，改為“過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線段PD .那么線段PD 的中點(diǎn)M的軌跡又是什么？反思與感悟 如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P隨著另一個(gè)在曲線上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)點(diǎn)Q而運(yùn)動(dòng)，那么求P點(diǎn)的軌跡方程時(shí)一般用轉(zhuǎn)代法來(lái)求解根本步驟為：(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x, y)，曲線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為 Qxi, yi).xi=

4、 g x, y ,求關(guān)系式：用點(diǎn) P的坐標(biāo)表示出點(diǎn) Q的坐標(biāo)，即得關(guān)系式y(tǒng)= h x, y .(3)代換：將上述關(guān)系式代入曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡(jiǎn)即可.跟蹤訓(xùn)練2如下圖，B點(diǎn)坐標(biāo)為(2 , 0) , P是以O(shè)為圓心的單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，/ POB勺平 分線交直線PB于點(diǎn)Q,求點(diǎn)Q的軌跡方程.當(dāng)堂訓(xùn)練2x 21假設(shè)方程m+ y = 1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，那么 m的取值范圍為()A. (1 , +8)C. 1 , +8 )B. (1, +8)D. (8,1)2設(shè)B( 4, 0) , C4 , 0)，且 ABC的周長(zhǎng)等于18 ,那么動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為()2 2x y 代 25

5、+9=w °)2 2y xb.25+ 9 = W °)2 2x y3橢圓 E v+ 2= 1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3 , 0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于代B兩點(diǎn)假設(shè)a bAB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 1)，那么橢圓E的方程為 .2X4.在橢圓-+ y2= 1中，有一沿直線運(yùn)動(dòng)的粒子從一個(gè)焦點(diǎn)F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過(guò)另一個(gè)3焦點(diǎn)F1，再次被橢圓反射后又回到F2,那么該粒子在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)過(guò)的路程為 5.A ABC的三邊長(zhǎng)a, b, c成等差數(shù)列，且 b= 6，求頂點(diǎn)B的軌跡方程.規(guī)律與方法焦點(diǎn)坐標(biāo)F1 c, 0, F2c, 0F10， c , F20 , c相同點(diǎn)定

6、義平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn) R、F2的距離的和等于常數(shù)大于| F1F2I的點(diǎn)的軌跡a、b、c的關(guān)系2；-22a = b + c2 22.所謂橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 指的是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).在X2 + 1a b2 2 2 2x v =1這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有 a>b>0的要求，如方程 I= 1 m>0, n>0, nr5 n就 m n2x vx不能肯定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上. 分清兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程， 可與直線截距式-+ =1類比，如r+ a ba2蒼=1中，由于a>b,所以在x軸上的"截距更大，因而焦點(diǎn)在x軸上即看x2, y2分母的大小.要區(qū)別a2=

7、b2 + c2與習(xí)慣思維下的勾股定理c2= a2+ b2.提醒：完成作業(yè)第二章 221二合案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何特征：橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸或y軸上.標(biāo)準(zhǔn)方程的代數(shù)特征：方程右邊為1,左邊是關(guān)于X與y的平方和，并且分母為不相等的正值. a b思考2把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，與 x2, y2相對(duì)應(yīng)的分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的軸上.思考3 1如下圖，以經(jīng)過(guò)橢圓兩焦點(diǎn)Fi, F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系 xOy.2設(shè)點(diǎn)：設(shè)點(diǎn) Mx, y是橢圓上任意一點(diǎn)，且橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1 c, 0 , F2c, 0. 列式：依據(jù)橢圓的定義式 | MF|

8、+ |MF| = 2a列方程，并將其坐標(biāo)化為:x+ c2+ y2 +x c2+ y2 = 2a. 化簡(jiǎn)：通過(guò)移項(xiàng)、兩次平方后得到：a2 c2x2+ a2y2 = a2a2 c2，為使方程簡(jiǎn)單、對(duì)稱、2 2便于記憶，引入字母 b,令b2= a2 c2,可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 ?+器=1a>b>0. 從上述過(guò)程可以看到，橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，以方程的解x, y為坐標(biāo)的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) F1 c, 0 , F2c, 0的距離之和為2a,即以方程的解為坐標(biāo)的 點(diǎn)都在橢圓上.由曲線與方程的關(guān)系可知，方程是橢圓的方程， 我們把它叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn) 方程.梳理 (2) A>0, B&g

9、t;0 且 Am B2 . 2 2(3) a = b + c題型探究2 2x y例1解 方法一 1當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為g +非=1 a>b>0,依題意有2 /32a2 12 +b2=解得a2= 15,b = 5.故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2x y15+ 5 =1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),2 2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2+ x2 = i( a>b>0)，依題意有a 2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為壽+5=1.2 2跟蹤訓(xùn)練1解橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+令=1(a>b>o)- 由橢圓的定義知:/3 2522a= . - 2 + 2+2 += 5，解得

10、2b2= 15.此時(shí)不符合a>b>0，所以方程組無(wú)解.2 2故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為誇+5=1.方法二設(shè)所求橢圓的方程為 Af+ By2= 1(A>0, B>0且Am B),依題意有3A+ 4B= 1,12A+ B= 1,解得11B= 5.=2 10,即 a=10.2 2 2又 c= 2，二 b = a c = 6.所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2 2y xJ= 1 10+ 6橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，2 2y x設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+ 2 = 1( a>b>0).a b又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0 , 2)和(1 , 0),4 o尹 F= 1,2a = 4,o 1 ,02+ b= 1

11、,a b .2b = 1.所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為24+x2=1.Vo例2 解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x, v，點(diǎn)P的坐標(biāo)為Xo, yo，那么x= xo, y=-.因?yàn)辄c(diǎn)P(xo, yo)在圓x2+ y2= 4上，所以xo + yo = 4.把xo = x, yo= 2y代入方程，222x 2得 x + 4y = 4,即 + y = 1.所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在 x軸上的橢圓.引申探究解設(shè) M(x, y) , P(xo, yo),22那么 xo + yo = 4,(*)xo丄 2 = 2xo 2x,y = 2yo 2y, = 2,把2y=yo2代入*式得魯+ x = 1.故點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在 y軸上的橢圓.跟蹤訓(xùn)練2解 由三角形角平分線性質(zhì)得|Q| = LO| = 2.BQ= 2QP設(shè) Qx, y), F(xo, yo),那么(x 2, y) = 2(xo x,yo - y),3x 2xo =2 ，yo=贅又.點(diǎn)P在單位圓2= 1 上,點(diǎn)Q的軌跡方程為七I普=i.當(dāng)堂訓(xùn)練2 2x y1. A 2.A3帀+ 春=14.