同濟大學(高等數(shù)學)第十章重積分

1、第十章 重積分一元函數(shù)積分學中，我們曾經用和式的極限來定義一元函數(shù)在區(qū)間上的定積分，并已經建立了定積分理論，本章將把這一方法推廣到多元函數(shù)的情形，便得到重積分的概念. 本章主要講述多重積分的概念、性質、計算方法以及應用.第1節(jié)二重積分的概念與性質1.1 二重積分的概念下面我們通過計算曲頂柱體的體積和平面薄片的質量，引出二重積分的定義.1.1.1. 曲頂柱體的體積 曲頂柱體是指這樣的立體，它的底是平面上的一個有界閉區(qū)域，其側面是以的邊界為準線的母線平行于軸的柱面，其頂部是在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且所表示的曲面（圖101）.圖101現(xiàn)在討論如何求曲頂柱體的體積.分析這個問題，我們看到它與求曲邊梯形的面

2、積問題是類似的.可以用與定積分類似的方法（即分割、近似代替、求和、取極限的方法）來解決（圖102）.圖102(1)分割閉區(qū)域為個小閉區(qū)域同時也用表示第個小閉區(qū)域的面積，用表示區(qū)域的直徑（一個閉區(qū)域的直徑是指閉區(qū)域上任意兩點間距離的最大值），相應地此曲頂柱體被分為個小曲頂柱體.(2)在每個小閉區(qū)域上任取一點對第個小曲頂柱體的體積，用高為而底為的平頂柱體的體積來近似代替.(3)這個平頂柱體的體積之和就是曲頂柱體體積的近似值.(4)用表示個小閉區(qū)域的直徑的最大值，即.當 (可理解為收縮為一點)時，上述和式的極限，就是曲頂柱體的體積：1.1.2 平面薄片的質量設薄片在平面占有平面閉區(qū)域，它在點處的面密

3、度是.設且在上連續(xù)，求薄片的質量(見圖10-3).圖10-3先分割閉區(qū)域D為個小閉區(qū)域在每個小閉區(qū)域上任取一點近似地，以點處的面密度代替小閉區(qū)域上各點處的面密度，則得到第i塊小薄片的質量的近似值為，于是整個薄片質量的近似值是用表示個小閉區(qū)域的直徑的最大值，當無限細分，即當時，上述和式的極限就是薄片的質量，即.以上兩個具體問題的實際意義雖然不同，但所求量都歸結為同一形式的和的極限.抽象出來就得到下述二重積分的定義.定義1 設是平面上的有界閉區(qū)域，二元函數(shù)在上有界.將分為個小區(qū)域同時用表示該小區(qū)域的面積，記的直徑為，并令.在上任取一點，作乘積并作和式.若時，的極限存在(它不依賴于的分法及點的取法)

4、，則稱這個極限值為函數(shù)在上的二重積分，記作，即， (10-1-1)其中叫做積分區(qū)域，叫做被積函數(shù)，叫做面積元素，叫做被積表達式，與叫做積分變量，叫做積分和.在直角坐標系中，我們常用平行于軸和軸的直線(=常數(shù)和=常數(shù))把區(qū)域分割成小矩形，它的邊長是和，從而，因此在直角坐標系中的面積元素可寫成，二重積分也可記作.有了二重積分的定義，前面的體積和質量都可以用二重積分來表示.曲頂柱體的體積V是函數(shù)在區(qū)域上的二重積分；薄片的質量是面密度在區(qū)域上的二重積分.因為總可以把被積函數(shù)看作空間的一曲面，所以當為正時，二重積分的幾何意義就是曲頂柱體的體積；當為負時，柱體就在平面下方，二重積分就是曲頂柱體體積的負值.

5、 如果在某部分區(qū)域上是正的，而在其余的部分區(qū)域上是負的，那么在上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和.如果在區(qū)域上的二重積分存在(即和式的極限(10-1-1)存在)，則稱在上可積.什么樣的函數(shù)是可積的呢？與一元函數(shù)定積分的情形一樣，我們只敘述有關結論，而不作證明.如果是閉區(qū)域上連續(xù)，或分塊連續(xù)的函數(shù)，則在上可積.我們總假定在閉區(qū)域上連續(xù)，所以在上的二重積分都是存在的，以后就不再一一加以說明.1.1.3 二重積分的性質設二元函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，于是這些函數(shù)的二重積分存在.利用二重積分的定義，可以證明它的若干基本性質.下面列舉這些性質.性質1 常數(shù)因子可提到積分號外面.設是常數(shù)，則.性質

6、2 函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各函數(shù)的積分的代數(shù)和，即.性質3 設閉區(qū)域被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則上的二重積分等于各部分閉區(qū)域上的二重積分的和.例如分為區(qū)域和(見圖10-4)，則 . (10-1-2)圖10-4性質3表示二重積分對積分區(qū)域具有可加性.性質4 設在閉區(qū)域上，為的面積，則.從幾何意義上來看這是很明顯的.因為高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積.性質5 設在閉區(qū)域上有，則.由于 又有 .這就是說，函數(shù)二重積分的絕對值必小于或等于該函數(shù)絕對值的二重積分.性質6 設分別為在閉區(qū)域上的最大值和最小值，為的面積，則有.上述不等式是二重積分估值的不等式.因為，所以由性質5有，

7、即 .性質7 設函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則在上至少存在一點使得.這一性質稱為二重積分的中值定理.證 顯然.因在有界閉區(qū)域上連續(xù)，根據(jù)有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)取到最大值、最小值定理，在上必存在一點使等于最大值，又存在一點使等于最小值，則對于上所有點，有由性質1和性質5，可得再由性質4得，或根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，上必存在一點，使得，即， .證畢.二重積分中值定理的幾何意義可敘述如下：當為空間一連續(xù)曲面時，對以為頂?shù)那斨w，必定存在一個以為底，以內某點的函數(shù)值為高的平頂柱體，它的體積就等于這個曲頂柱體的體積.習題101 1.根據(jù)二重積分性質，比較與的大小，其中(1)表示以、為頂點的三

8、角形；(2)表示矩形區(qū)域.2.根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：(1)，；(2)，.3.設為連續(xù)函數(shù)，求,.4.根據(jù)二重積分性質，估計下列積分的值：(1)，；(2)，；(3), .5.設，證明函數(shù)在上不可積.第2節(jié) 二重積分的計算只有少數(shù)二重積分(被積函數(shù)和積分區(qū)域特別簡單)可用定義計算外，一般情況下要用定義計算二重積分相當困難下面我們從二重積分的幾何意義出發(fā)，來介紹計算二重積分的方法，該方法將二重積分的計算問題化為兩次定積分的計算問題2.1 直角坐標系下的計算在幾何上，當被積函數(shù)時，二重積分的值等于以為底，以曲面為頂?shù)那斨w的體積.下面我們用“切片法”來求曲頂柱體的體積.設積分區(qū)域

9、由兩條平行直線及兩條連續(xù)曲線(見圖105)所圍成，其中，則D可表示為.圖105用平行于坐標面的平面去截曲頂柱體，得一截面，它是一個以區(qū)間為底，以為曲邊的曲邊梯形(見圖106)，所以這截面的面積為.圖106由此，我們可以看到這個截面面積是的函數(shù).一般地，過區(qū)間上任一點且平行于坐標面的平面，與曲頂柱體相交所得截面的面積為，其中是積分變量，在積分時保持不變.因此在區(qū)間上，是的函數(shù)，應用計算平行截面面積為已知的立體體積的方法，得曲頂柱體的體積為，即得，或記作.上式右端是一個先對，后對積分的二次積分或累次積分.這里應當注意的是：做第一次積分時，因為是在求處的截面積，所以是之間任何一個固定的值，是積分變量

10、；做第二次積分時，是沿著軸累加這些薄片的體積，所以是積分變量.在上面的討論中，開始假定了，而事實上，沒有這個條件，上面的公式仍然正確.這里把此結論敘述如下：若在閉區(qū)域上連續(xù)，則 . (10-2-1)類似地，若在閉區(qū)域上連續(xù)，積分區(qū)域由兩條平行直線及兩條連續(xù)曲線(見圖107)所圍成，其中，則D可表示為.則有 . (10-2-2)圖107以后我們稱圖10-5所示的積分區(qū)域為型區(qū)域，型區(qū)域D的特點是：穿過D內部且平行于y軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個稱圖107所示的積分區(qū)域為Y型區(qū)域，Y型區(qū)域D的特點是：穿過D內部且平行于x軸的直線與D的邊界的交點不多于兩個.從上述計算公式可以看出將二重積分化為

11、兩次定積分，關鍵是確定積分限，而確定積分限又依賴于區(qū)域D的幾何形狀因此，首先必須正確地畫出D的圖形，將D表示為X型區(qū)域或Y型區(qū)域如果D不能直接表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，則應將D劃分成若干個無公共內點的小區(qū)域，并使每個小區(qū)域能表示成X型區(qū)域或Y型區(qū)域，再利用二重積分對區(qū)域具有可加性相加，區(qū)域D上的二重積分就是這些小區(qū)域上的二重積分之和(圖108) 圖10-8例1 計算二重積分，其中為直線與拋物線所包圍的閉區(qū)域.解 畫出區(qū)域的圖形，求出與兩條曲線的交點，它們是及.區(qū)域(圖109)可表示為：圖109因此由公式(10-2-1)得.本題也可以化為先對，后對的積分，這時區(qū)域可表為：.由公式(10-2-2)

12、得.積分后與上面結果相同.例2 計算二重積分，其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解 畫出積分區(qū)域，易知： (圖10-10)，若利用公式(10-2-1)，得圖10-10.若利用公式(10-2-2)，就有，也可得同樣的結果.例3 計算二重積分,其中是直線和雙曲線所圍之閉區(qū)域.解 求得三線的三個交點分別是及.如果先對積分，那么當時，的下限是雙曲線，而當時，y的下限是直線，因此需要用直線把區(qū)域分為和兩部分(圖1011).；.圖1011于是.如果先對積分，那么，于是.由此可見，對于這種區(qū)域，如果先對積分，就需要把區(qū)域分成幾個區(qū)域來計算.這比先對積分繁瑣多了.所以，把重積分化為累次積分時，需要根據(jù)區(qū)域和被積函

13、數(shù)的特點，選擇適當?shù)拇涡蜻M行積分.例4 設連續(xù)，求證.證 上式左端可表為，其中 (圖1012)區(qū)域也可表為：，圖1012于是改變積分次序，可得由此可得所要證明的等式.例5計算二重積分，其中是直線與拋物線所圍成的區(qū)域.解把區(qū)域表示為型區(qū)域，即.于是注：如果化為型區(qū)域即先對積分，則有.由于的原函數(shù)不能由初等函數(shù)表示，往下計算就困難了，這也說明計算二重積分時，除了要注意積分區(qū)域的特點（區(qū)分是型區(qū)域，還是型區(qū)域）外，還應注意被積函數(shù)的特點，并適當選擇積分次序.2.2 二重積分的換元法與定積分一樣，二重積分也可用換元法求其值，但比定積分復雜得多.我們知道，對定積分作變量替換時，要把變成，變成,積分限也要

14、變成對應的值.同樣，對二重積分作變量替換時，既要把變成，還要把面上的積分區(qū)域變成面上的區(qū)域，并把中的面積元素變成中的面積元素.其中最常用的是極坐標系的情形.2.2.1 極坐標系的情形下面我們討論利用極坐標變換，得出在極坐標系下二重積分的計算方法.把極點放在直角坐標系的原點，極軸與軸重合，那么點的極坐標與該點的直角坐標有如下互換公式： ；.我們知道，有些曲線方程在極坐標系下比較簡單，因此，有些二重積分用極坐標代換后，計算起來比較方便，這里假設在區(qū)域上連續(xù).在直角坐標系中，我們是以平行于軸和軸的兩族直線分割區(qū)域為一系列小矩形，從而得到面積元素.在極坐標系中，與此類似，我們用“”的一族同心圓，以及“

15、”的一族過極點的射線，將區(qū)域分成個小區(qū)域，如圖1013所示.圖1013小區(qū)域面積.記 ，則有,故有.則.這就是直角坐標二重積分變換到極坐標二重積分的公式.在作極坐標變換時，只要將被積函數(shù)中的分別換成，并把直角坐標的面積元素換成極坐標的面積元素即可.但必須指出的是：區(qū)域必須用極坐標系表示.在極坐標系下的二重積分，同樣也可以化為二次積分計算.下面分三種情況討論：(1) 極點在區(qū)域外部，如圖1014所示.圖1014設區(qū)域在兩條射線之間，兩射線和區(qū)域邊界的交點分別為，將區(qū)域的邊界分為兩部分，其方程分別為且均為上的連續(xù)函數(shù).此時.于是(2) 極點在區(qū)域內部，如圖1015所示.若區(qū)域的邊界曲線方程為，這時

16、積分區(qū)域為，且在上連續(xù).圖1015于是.(3) 極點在區(qū)域的邊界上，此時，積分區(qū)域如圖1016所示.圖1016,且在上連續(xù)，則有.在計算二重積分時，是否采用極坐標變換，應根據(jù)積分區(qū)域與被積函數(shù)的形式來決定.一般來說，當積分區(qū)域為圓域或部分圓域，及被積函數(shù)可表示為或等形式時，常采用極坐標變換，簡化二重積分的計算.例6計算二重積分，其中.解在極坐標系中積分區(qū)域為,則有 .例7計算二重積分，其中是單位圓在第象限的部分.解采用極坐標系. 可表示為（圖10-17），圖10-17于是有 .例8計算二重積分，其中是二圓和之間的環(huán)形閉區(qū)域.解區(qū)域：，如圖1018所示.圖1018于是.2.2.2. 直角坐標系的

17、情形我們先來考慮面積元素的變化情況.設函數(shù)組為單值函數(shù)，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，且其雅可比行列式,則由反函數(shù)存在定理，一定存在著上的單值連續(xù)反函數(shù).這時與之間建立了一一對應關系，面上平行于坐標軸的直線在映射之下成為面上的曲線.我們用面上平行于坐標軸的直線將區(qū)域分割成若干個小矩形，則映射將面上的直線網變成面上的曲線網（圖1019）.圖1019在中任取一個典型的小區(qū)域 (面積記為)及其在中對應的小區(qū)域 (面積記為)，如圖1020所示.圖1020設的四條邊界線的交點為和.當很小時，也很小，的面積可用與構成的平行四邊形面積近似.即.而.同理.從而得的絕對值.因此，二重積分作變量替換后，面積元素與的關系

18、為或.由此得如下結論：定理1 若在平面上的閉區(qū)域上連續(xù)，變換，將平面上的閉區(qū)域變成平面上的,且滿足:(1)在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，(2)在上雅可比式；(3)變換是一對一的，則有例9計算二重積分，其中是由軸，軸和直線所圍成的閉區(qū)域.解 令，則.在此變換下，面上閉區(qū)域變?yōu)槊嫔系膶獏^(qū)域(圖1021). 圖1021雅可比式為，則得.例10設為平面內由以下四條拋物線所圍成的區(qū)域：，其中，求的面積.解 由的構造特點，引入兩族拋物線，則由從變到，從變到時，這兩族拋物線交織成區(qū)域（圖1022）.圖1022雅可比行列式為 ，則所求面積.習題102 1.畫出積分區(qū)域，把化為二次積分：(1)； (2).2.改變二

19、次積分的積分次序：(1)； (2)；(3)； (4).3.設連續(xù)，且，其中D是由直線及曲線所圍成的區(qū)域，求4.計算下列二重積分：(1)，；(2)，其中是直線與拋物線所圍成的區(qū)域；(3)，； (4)，是頂點分別為，的三角形閉區(qū)域. 5.求由坐標平面及所圍的角柱體的體積. 6.計算由四個平面所圍的柱體被平面及截得的立體的體積. 7.在極坐標系下計算二重積分：(1), ；(2)， ；(3)，其中為圓域；(4)，其中是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域.8. 將下列積分化為極坐標形式：(1) ; (2) .9.求球體被圓柱面所割下部分的體積.10.作適當坐標變換，計算下列二重積分：(1),由所

20、圍成的平面閉區(qū)域；(2)，；(3), 其中是橢圓所圍成的平面閉區(qū)域；(4), .11.設閉區(qū)域由直線所圍成，求證：12.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(1) 曲線所圍成的第一象限的平面閉區(qū)域；(2) 曲線所圍的閉區(qū)域.第3節(jié)三重積分3.1 三重積分的概念三重積分是二重積分的推廣，它在物理和力學中同樣有著重要的應用.在引入二重積分概念時，我們曾考慮過平面薄片的質量，類似地，現(xiàn)在我們考慮求解空間物體的質量問題.設一物體占有空間區(qū)域，在中每一點處的體密度為，其中是上的正值連續(xù)函數(shù).試求該物體的質量.先將空間區(qū)域任意分割成個小區(qū)域 (同時也用表示第個小區(qū)域的體積).在每個小區(qū)域上任取一點，由于是連

21、續(xù)函數(shù)，當區(qū)域充分小時，密度可以近似看成不變的，且等于在點處的密度，因此每一小塊的質量近似等于，物體的質量就近似等于.令小區(qū)域的個數(shù)無限增加，而且每個小區(qū)域無限地收縮為一點，即小區(qū)域的最大直徑時，取極限即得該物體的質量.由二重積分的定義可類似給出三重積分的定義：定義1 設是空間的有界閉區(qū)域，是上的有界函數(shù)，任意將分成個小區(qū)域，同時用表示該小區(qū)域的體積，記的直徑為，并令，在上任取一點，作乘積，把這些乘積加起來得和式，若極限存在(它不依賴于區(qū)域的分法及點的取法)，則稱這個極限值為函數(shù)在空間區(qū)域上的三重積分，記作,即 ,其中叫做被積函數(shù)，叫做積分區(qū)域，叫做體積元素.在直角坐標系中，若對區(qū)域用平行于三

22、個坐標面的平面來分割，于是把區(qū)域分成一些小長方體.和二重積分完全類似，此時三重積分可用符號來表示，即在直角坐標系中體積元素可記為.有了三重積分的定義，物體的質量就可用密度函數(shù)在區(qū)域上的三重積分表示，即,如果在區(qū)域上，并且的體積記作，那么由三重積分定義可知.這就是說，三重積分在數(shù)值上等于區(qū)域的體積.三重積分的存在性和基本性質，與二重積分相類似，此處不再重述.3.2 三重積分的計算為簡單起見，在直角坐標系下，我們采用微元分析法來給出計算三重積分的公式.三重積分表示占空間區(qū)域的物體的質量.設是柱形區(qū)域，其上、下分別由連續(xù)曲面所圍成，它們在平面上的投影是有界閉區(qū)域；的側面由柱面所圍成，其母線平行于軸，

23、準線是的邊界線.這時，區(qū)域可表示為先在區(qū)域內點處取一面積微元，對應地有中的一個小條，再用與面平行的平面去截此小條，得到小薄片(圖1023).圖1023于是以為底，以為高的小薄片的質量為.把這些小薄片沿軸方向積分，得小條的質量為.然后，再在區(qū)域上積分，就得到物體的質量.也就是說，得到了三重積分的計算公式 =. (10-3-1)例1 計算三重積分，其中是三個坐標面與平面所圍成的區(qū)域（圖1024）.圖1024解 積分區(qū)域在平面的投影區(qū)域是由坐標軸與直線圍成的區(qū)域：，所以 .例2 計算三重積分，其中（見圖1025）.圖1025解 區(qū)域在平面上的投影區(qū)域.對于中任意一點，相應地豎坐標從變到.因此，由公式

24、(10-3-1)，得.三重積分化為累次積分時，除上面所說的方法外，還可以用先求二重積分再求定積分的方法計算.若積分區(qū)域如圖10-26所示，它在軸的投影區(qū)間為，對于區(qū)間內的任意一點，過作平行于面的平面，該平面與區(qū)域相交為一平面區(qū)域，記作D(z).這時三重積分可以化為先對區(qū)域求二重積分，再對在上求定積分，得 . (10-3-2)圖1026我們可利用公式(10-3-2)重新計算例2中的積分.區(qū)域在軸上的投影區(qū)間為，對于該區(qū)間中任意一點z，相應地有一平面區(qū)域與與之對應.由公式(10-3-2)，得.求內層積分時，可以看作常數(shù)：并且是個圓，其面積為，所以.例3 計算三重積分，其中.解 我們利用公式(10-

25、3-2)將三重積分化為累次積分.區(qū)域在軸上的投影區(qū)間為，對于區(qū)間內任意一點，相應地有一平面區(qū)域：與之相應，該區(qū)域是一橢圓(圖1027)，其面積為.所以.圖10273.3 三重積分的換元法對于三重積分作變量替換：它給出了空間到空間的一個映射，若有連續(xù)的一階偏導數(shù)，且,則建立了空間中區(qū)域和空間中相應區(qū)域的一一對應，與二重積分換元法類似，我們有.于是，有換元公式.作為變量替換的實例，我們給出應用最為廣泛的兩種變換：柱面坐標變換及球面坐標變換.3.3.1 柱面坐標變換三重積分在柱面坐標系中的計算法如下：變換稱為柱面坐標變換，空間點與建立了一一對應關系，把稱為點的柱面坐標.不難看出，柱面坐標實際是極坐標

26、的推廣.這里為點在面上的投影的極坐標.（圖1028）.圖1028柱面坐標系的三組坐標面為(1)，以為軸的圓柱面；(2)，過軸的半平面；(3)，平行于面的平面.由于，則在柱面坐標變換下，體積元素之間的關系式為：.于是，柱面坐標變換下三重積分換元公式為： . (10-3-3)至于變換為柱面坐標后的三重積分計算，則可化為三次積分來進行.通常把積分區(qū)域向面投影得投影區(qū)域，以確定的取值范圍，的范圍確定同直角坐標系情形.例4 計算三重積分，其中是由錐面與平面所圍成的區(qū)域.解 在柱面坐標系下，積分區(qū)域表示為 (圖1029).圖1029所以有.例5 計算三重積分，其中是由曲線繞軸旋轉一周而成的曲面與兩平面所圍

27、之區(qū)域.解 曲線繞旋轉，所得旋轉面方程為.設由旋轉曲面與平面所圍成的區(qū)域為，該區(qū)域在平面上的投影為,.由旋轉曲面與所圍成的區(qū)域為,在平面上的投影為，.則有,如圖1030所示.圖1030 .3.3.2 球面坐標變換三重積分在球面坐標系中的計算法如下：變換稱為球面坐標變換，空間點與建立了一一對應關系，把稱為點的球面坐標(圖10-31)，其中 .圖10-31球面坐標系的三組坐標面為：(1)，以原點為中心的球面；(2)，以原點為頂點，軸為軸，半頂角為的圓錐面；(3)，過軸的半平面.由于球面坐標變換的雅可比行列式為，則在球面坐標變換下，體積元素之間的關系式為:.于是，球面坐標變換下三重積分的換元公式為.

28、 (10-3-4)例6 計算三重積分，其中表示圓錐面與球面所圍的較大部分立體.解 在球面坐標變換下，球面方程變形為，錐面為(圖1032).這時積分區(qū)域表示為，圖1032所以.例7 計算三重積分，其中是由曲面，所圍成的區(qū)域.解 積分區(qū)域用球面坐標系表示顯然容易，但球面坐標變換應為，這時，積分區(qū)域表示為 (圖1033).圖1033所以.值得注意的是，三重積分的計算是選擇直角坐標，還是柱面坐標或球面坐標轉化成三次積分，通常要綜合考慮積分域和被積函數(shù)的特點.一般說來，積分域的邊界面中有柱面或圓錐面時，常采用柱面坐標系；有球面或圓錐面時，常采用球面坐標系.另外，與二重積分類似，三重積分也可利用在對稱區(qū)域

29、上被積函數(shù)關于變量成奇偶函數(shù)以簡化計算.習題10-31.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域分別是.(1) 由雙曲拋物面及平面所圍成的閉區(qū)域；(2) 由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.2.在直角坐標系下計算三重積分：(1)，其中；(2),其中是由曲面與平面，和所圍成的閉區(qū)域；(3)，其中為平面所圍的四面體；(4)，其中為和所圍成的閉區(qū)域.3.利用柱面坐標計算下列三重積分：(1)，其中是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.4.利用球面坐標計算下列三重積分：(1)，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中為由與所圍區(qū)域.5.選用適當?shù)淖鴺擞嬎阆铝腥胤e分：(1)，其中為柱面及

30、平面所圍成的在第一卦限內的閉區(qū)域；(2)，其中是由球面所圍成的閉區(qū)域.6.利用三重積分計算由下列曲面所圍成的立體的體積：(1)及；(2).第4節(jié)重積分的應用我們利用定積分的元素法解決了許多求總量的問題，這種元素法也可以推廣到重積分的應用中，如果所考察的某個量對于閉區(qū)域具有可加性(即：當閉區(qū)域分成許多小閉區(qū)域時，所求量相應地分成許多部分量，且等于部分量之和)，并且在閉區(qū)域內任取一個直徑很小的閉區(qū)域時，相應的部分量可近似地表示為的形式，其中為內的某一點，這個稱為所求量的元素而記作，以它為被積表達式，在閉區(qū)域上積分 , (10-4-1)這就是所求量的積分表達式，顯然當區(qū)域為平面閉區(qū)域，為內點(x，y

31、)時，即為面積微元，則(10-4-1)式可表示為.當區(qū)域為空間閉區(qū)域，為內點時，即為體積微元，則(10-4-1)式可表示為.下面討論重積分的一些應用.4.1 空間曲面的面積設曲面的方程為，曲面在坐標面上的投影區(qū)域為，在上具有連續(xù)偏導數(shù)和,我們要計算曲面的面積.在上任取一面積微元，在內任取一點，對應曲面上的點在平面上的投影即點，點處曲面有切平面設為(圖1034)，以小區(qū)域的邊界為準線，作母線平行于軸的柱面，這柱面在曲面上截下一小片曲面，其面積記為，柱面在切平面上截下一小片平面，其面積記為，由于的直徑很小，切平面上的那一小片平面的面積可近似代替曲面上相應的那一小片曲面的面積，即.圖1034設點處曲

32、面的法線(指向朝上)與軸正向的夾角為，則根據(jù)投影定理有.因為 ，所以 ,這就是曲面的面積元素.以它為被積表達式在閉區(qū)域上積分，得或,這就是曲面面積的計算公式.設曲面方程為或，則可把曲面投影到面上(或面上)，得投影區(qū)域(或)，類似可得,或.例1 求半徑為的球的表面積.解 取上半球面方程為，則它在面上的投影區(qū)域可表示為.由 ，,得 .因為這函數(shù)在閉區(qū)域上無界，不能直接應用曲面面積公式，由廣義積分得.用極坐標，得.例2 求旋轉拋物面被圓柱面所截下部分的曲面面積.解 曲面的圖形如圖1035所示.圖1035曲面的方程為，它在坐標面上的投影區(qū)域為，即.由 ，得 用極坐標，則.4.2 質心設在平面上有個質點

33、，它們分別位于點處，質量分別為.由力學知識知道，該質點系的質心的坐標為, ,其中為該質點系的總質量. ，分別為該質點系對軸和軸的靜矩.設有一平面薄片占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，在上連續(xù)，現(xiàn)在要找該薄片的重心坐標.在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域 (這個小閉域的面積也記作)，是這個閉區(qū)域上的一個點.由于直徑很小，且在上連續(xù)，所以薄片中相應于的部分的質量近似等于，這部分質量可近似看作集中在點上，于是可寫出靜矩元素及分別為：.以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域上積分，便得.又由第一節(jié)知道，薄片的質量為.所以，薄片的重心的坐標為如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把提到積分記號外面并從分

34、子、分母中約去，于是便得到均勻薄片質心的坐標為， (10-4-2)其中為閉區(qū)域的面積.這時薄片的質心完全由閉區(qū)域的形狀所決定.我們把均勻平面薄片的質心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心.因此平面圖形的形心，就可用公式(10-4-2)計算.例3 求在之間的均勻半圓環(huán)薄片的質心(圖1036).圖1036解 因為閉區(qū)域對稱于軸，所以質心必位于軸上，于是，的面積為.而，所以，由公式(10-4-2)得，即質心為.4.3 轉動慣量設在平面上有個質點，它們分別位于點處，質量分別為.由力學知識知道，該質點系對于軸和軸的轉動慣量依次為：.設有一薄片，占有面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù).現(xiàn)在要求該薄

35、片對于軸的轉動慣量以及對于軸的轉動慣量.應用元素法.在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域(這個小閉區(qū)域的面積也記作)，是這小閉區(qū)域上的一個點.因為的直徑很小，且在上連續(xù)，所以薄片中相應于部分的質量近似等于，這部分質量可近似看作集中在點上，于是可寫出薄片對于軸以及對于軸的轉動慣量元素：.以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域上積分，便得. (10-4-3)例4 求由及軸所圍成的均質薄片(面密度為1)關于軸的轉動慣量(圖1037).圖1037解 區(qū)域由不等式所確定.根據(jù)轉動慣量的計算公式，得 .類似的，占有空間有界閉區(qū)域，在點處的密度為（假定在上連續(xù)）的物體對于軸的轉動慣量為： 4.4 引力設有一平面薄片，

36、占有平面上的閉區(qū)域，在點處的面密度為，假定在上連續(xù).現(xiàn)在要計算該薄片對位于軸上的點處的單位質量的質點的引力.我們應用元素法來求引力.在閉區(qū)域上任取一直徑很小的閉區(qū)域 (這小閉區(qū)域的面積也記作)，是上的一個點.薄片中相應于的部分的質量近似等于，這部分質量可近似看作集中在點處，于是，按兩質點間的引力公式，可得出薄片中相應于的部分對該質點的引力的大小近似地為，引力的方向與一致，其中，為引力常數(shù).于是薄片對該質點的引力在三個坐標軸上的投影的元素為：， .以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域上積分，便得到 ， (10-4-4).例5 求面密度為常量、半徑為的勻質圓形薄片：對位于軸上點處單位質量的質點的引力.

37、解 由積分區(qū)域的對稱性易知，.記面密度為常量，這時，故所求引力為.習 題 10-41.求曲面含在圓柱面內部的那部分面積.2.求球面含在圓柱面內部的那部分面積.3.求錐面被柱面所割下部分的曲面面積.4.求密度均勻的上半橢球體的質心.5.求位于兩圓和之間的均勻薄片的質心.6.設薄片所占的閉區(qū)域由，所圍成，求均勻薄片的質心. 7.設有一等腰直角三角形薄片，腰長為，各點處的面密度等于該點到直角頂點的距離的平方，求這薄片的質心.8.設均勻薄片(面密度為常數(shù)1)所占閉區(qū)域如下，求指定的轉動慣量：(1)，求；(2)由拋物線與直線所圍成，求和；9.求密度均勻的半徑為的圓形平面薄板關于其切線的轉動慣量.10.求

38、均勻薄片對于軸上一點處的單位質量的引力.11.求均勻柱體對于點處的單位質量的引力.第5節(jié) MATLBD軟件應用本節(jié)討論如何利用MATLAB軟件求二重積分和三重積分的積分值.5.1 計算二重積分MATLAB軟件沒有提供命令來直接計算二元函數(shù)的積分,因此需要把二重積分轉化為二次積分來計算.例1 計算積分.解 輸入命令： 輸出結果為：例2 計算二重積分，其中積分區(qū)域是圓在第一象限中的區(qū)域. 解 輸入命令： 輸出結果為：5.2 計算三重積分三重積分的計算最終是化成累次積分來完成的，因此只要能正確的得出各累次積分的積分限，便可在MATLAB中通過多次使用int命令來求得計算結果。但三重積分的積分域是一個

39、三維空間區(qū)域，當其形狀較復雜時，要確定各累次積分的積分限會遇到一定困難，此時，可以借助MATLAB的三維繪圖命令，先在屏幕上繪出的三維立體圖，然后執(zhí)行命令rotate3d on ,便可拖動鼠標使的圖形在屏幕上作任意的三維旋轉，并且可用下述命令將的圖形向三個坐標平面進行投影：View (0,0),向XOZ平面投影；View (90,0),向YOZ平面投影；View (0,90),向XOY平面投影.綜合運用上述方法，一般應能正確得出各累次積分的積分限.例3 計算，其中是由圓錐曲面與平面z=1圍成的閉區(qū)域解 首先用MATLAB來繪制的三維圖形，畫圓錐曲面的命令可以是：syms x y zz=sqrt

40、(x2+y2); ezsurf(z,-1.5,1.5) 畫第二個曲面之前，為保持先畫的圖形不會被清除，需要執(zhí)行命令hold on然后用下述命令就可以將平面z=1與圓錐面的圖形畫在一個圖形窗口內：x1,y1=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); z1=ones(size(x1); surf(x1,y1,z1) 于是得到的三維圖形如下圖:由該圖很容易將原三重積分化成累次積分：于是可用下述命令求解此三重積分：clear allsyms x y zf=z; f1=int(f,z.,sqrt(x2+ y2),1); f2=int(f1,x,-sqrt(1- y2), sqrt(1- y2);

41、int(f2,y,-1,1) ans= 1/4*pi.計算結果為.總習題10（A）1. 填空題：（1）交換下列二次積分的積分次序_；_；_；_.（2）積分的值等于_ _.（3）設，試利用二重積分的性質估計的值為 .（4）設區(qū)域是有軸、軸與直線所圍成，根據(jù)二重積分的性質，試比較積分與的大小_.（5）設，則積分_.2. 利用極坐標計算下列各題：（1），其中是由圓周及坐標軸所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域；（2），其中是由圓周及直線所圍成的在第一象限的閉區(qū)域.3.計算下列二重積分：(1) ，其中是頂點分別為和的梯形閉區(qū)域;(2），其中是圓周所圍成的閉區(qū)域；(3），其中是圓環(huán)形閉區(qū)域;(4），其中是圓環(huán)形閉區(qū)域.4. 設平面薄片所占的閉區(qū)域由直線，和軸所圍成，它的面密度，求該薄片的質量.5. 計算以面上的圓周圍成的閉區(qū)域為底，而以曲面為頂?shù)那斨w的體積.6.選用適當?shù)淖鴺擞嬎闳胤e分，其中是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域.7. 利用三重積分計算下列曲面所圍成的立體的體積(1）及.(2）及