八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形復(fù)習(xí)題及答案

1、初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不-定全等。例 1.如圖，A,F,E,B 四點(diǎn)共線，AC _CE， BD _ DF ， AE =BF， AC = BD。求證:.'AC F 三.'BD E 。例2.如圖，在.-：ABC中，BE是/ ABC 的平分線，AD _ BE，垂足為 D。求證:.2 = . 1 宀/C 。例3.如圖，在. :ABC中，AB =BC , . ABC =90 F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上,BE =BF，連接 AE, EF 和 CF。求證：AE 二CF。例 4.如圖，AB / CD

2、, AD /BC，求證： AB 二CD。例5.如圖，AP ,CP分別是.-：ABC外角乙MAC和乙NCA的平分線，它們交于點(diǎn) P。求證:BP為/M BN的平分線。例 6.如圖，D 是.ABC 的邊 BC 上的點(diǎn)，且 CD =AB , . ADB 二/BAD , AE 是.'ABD 的 中線。求證： AC =2AE 。例 7.如圖，在.-ABC 中，AB . AC,.仁/2 ,AB _AC .PB _PC 。P為AD上任意一點(diǎn)。求證同步練習(xí)、選擇題：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是(A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等)B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件，能畫(huà)出唯一AB

3、C的是(A. AB =3， BC =4，CA =8B.C. ZC =60， B = 45 ， AB =4 D.)AB=4 ， BC=3，一 A=30.C = 90 ， AB =63.如圖，已知.1 C =/D :三BA. 4個(gè)Z2-.E二AD，增加下列條件：4.如圖，.1 = . 2，- C，AC。其中能使 ：AB ：AED的條件有(B. 3個(gè)AB 二 AE)BC二D. 1個(gè)ED ；-D， AC , BD交于E點(diǎn)，下列不正確的是A. D AE 二 CBEC. ：D EA不全等于 ：CBEB. CE 二 D ED. ：EAB是等腰三角形5.如圖，已知AB =CD ,A. 67BC =AD ,.

4、B =23 ，則.D 等于（B.)D.無(wú)法確定、填空題:6.女口圖，在厶ABC中，ZC =90 ,.ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D ,且C D: A 2 : 3 AC =10cm，則點(diǎn)D到AB的距離等于 cm ；7.如圖，已知A B = D C ,AD=BC， E,F是BD上的兩點(diǎn)，且BE=DF，若ZAEB =100，厶 ADB =30，則 Z BCF =8將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，B C, B D為折痕，則.C B D的大小為AB E如圖，在等腰 Rt ABC 中，.C =90 ， AC =BC，AD 平分.BAC 交 BC 于 D， DE_AB 于 E，若 AB9. 如圖，點(diǎn) D,

5、E,F,B在同一條直線上,BD =10 , BF =2，貝V EF 二AB /CD , AE/CF，且 AE = CF，若三、解答題：10. 如圖，.IABC為等邊三角形，點(diǎn)M , N分別在BC , AC上，且BM二CN , AM與BN 交于Q點(diǎn)。求.AQN的度數(shù)。A12. 如圖，三ACB =90 ，AC = BC，D 為 AB 上一點(diǎn), 延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。求證：BF二CE。AE _ CD，BF _ CD，交CD答案例1.思路分析：從結(jié)論.'ACF二.'BDE入手，全等條件只有 AC =BD ；由AE二BF兩邊 同時(shí)減去EF得到AF = BE，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件

6、，可以是 CF =D E，也可以是.A二/B。由條件 AC _CE，BD _DF 可得.ACE 二.BDF =90 ，再加上 AE =BF ，AC = BD ， 可以證明CACE二.：BDF，從而得到.A =. B 。解答過(guò)程：T AC _CE， BD _ DF.ACE =. BDF =90在 Rt “CE 與 Rt BD F 中AE =BFAC =BDRt . .：AC E 三 Rt . .：BD F (HL).A = B AE =BF.AE -EF =BF -EF，即 AF = BE在. AC F 與. -BD E 中AF =BET .;._A - . BAC 二 BD."AC

7、F 三. BD E (SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論 入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手， 看可以得出什么結(jié)論。 再對(duì)比“所需條件” 和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明.2 =4 . C比較困難，我們可以間接證明，即找到.：，證明.2 .乙且攵.厶 . C。也可以看成將.2 “轉(zhuǎn)移”至U厶。那么.在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將AD延長(zhǎng)交BC于F ,則構(gòu)造了厶FBD ,可以通過(guò)證明三

8、角形全等來(lái)證明/2= / DFB，可以由三角形外角定理得/DFB= / 1 + Z C。解答過(guò)程：延長(zhǎng)AD交BC于F在.IABD 與, ：FBD 中.ABD = FBDBD =BD. .'ABD 三. ：FBD (ASA 一乙2 = .D F B.AD B = . FD B =90又 ZDFB 厶 . C- Z2. C。解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角 形。以線段AE為邊的.:ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到,C BF的位置，而線段 CF正好是 .C B F的邊，故只

9、要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程:/ABC =90 '， F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn).ABC =. CBF =90在. ABE與,C BF中AB =BCI比ABC =. CBFBE =BF.：ABE =CBF (SAS)AE 二CF 。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和 對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過(guò)連接四邊形的對(duì)角線，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為全等三角形的問(wèn)題。解答

10、過(guò)程：連接AC- AB C D， AD / BC 1- .2， 34在. ':AB C 與 UCDA 中"=/2AC =CA一/4 =. 3-"BC 三. ；：CDA (ASA) A B =C D。解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“ BP為.MBN的平分線”，可以利用點(diǎn)P到BM ,BN的距離相 等來(lái)證明，故應(yīng)過(guò)點(diǎn) P向BM , BN作垂線；另一方面，為了利用已知條件“ AP,CP分別是 -MAC和.NCA的平分線”，也需要作出點(diǎn)P到兩外角兩邊的距離。解答過(guò)程：過(guò)P作PD _BM 于D， PE _ AC于E， PF

11、_ BN于FAP 平分.MAC , PD _ BM 于 D , PE _ AC 于 E .PD =PECP 平分.N CA , PE _ AC 于 E , PF _ BN 于 FPE =PF PD =PE , PE =PF.PD =PF PD =PF，且 PD _ BM 于 D , PF _ BN 于 FBP為/M BN的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來(lái)解答問(wèn)題。例6.思路分析：要證明“ AC =2AE ”，不妨構(gòu)造出一條等于 2AE的線段，然后證其等于 AC。因此，延長(zhǎng)AE至F，使

12、EF二AE。解答過(guò)程：延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F，使EF二AE，連接DF在. -ABE 與.FD E 中AE =FE./AEB =. FEDBE =DE. ：ABE 三. FDE (SAS)-Zb Zedf- . ADF =. ADB "EDF ，AD C = . BAD 宀/B又；.ADB 二.BAD-Zad f =. ad c- AB =DF ， AB =C D.D F = D C在AADF與JAD C中AD 二 AD ?/ADF =. ADCDF =DCAD F = . AD C (SAS).AF = AC又；AF =2AE.AC =2AE 。I lF解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)

13、造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等， 甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證AB _AC .PB _PC，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來(lái)證 明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來(lái)證明，從而想到構(gòu)造線段 AB _AC。而構(gòu)造AB _AC可以采用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過(guò)程：法一：在AB上截取AN二AC，連接PN在 ,AP N與AP C中AN 二 ACI也二.2AP 二 AP.APN 三.APC (SAS)PN = PC 在 .'BPN 中， PB -PN :：: BNPB -PC :：: AB -AC ，即 AB AC>PB PC。法二：延長(zhǎng)AC至M

14、，使AM = AB，連接PM 在AABP與.'AM P中AB =AMT；_仁/2AP 二 APABP 三. AMP (SAS).PB 二PM丁在 iPC M 中，CM >PM -PC.AB - AC PB -PC 。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。具體 作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線段的剩余線段等于另外的較短線段， 稱為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：I. A2. C3. B4. C5. C二、填空題：6. 47. 708. 909. 1010. 6三、解答題：II. 解：幕厶ABC為等邊三角形AB =BC，£ ABC =NC =60在.：ABM 與 :BCN 中AB =BCIv ； _A