實(shí)變函數(shù)論主要知識(shí)點(diǎn)

1、 實(shí)變函數(shù)論主要知識(shí)點(diǎn) 第一章 集 合1、 集合的并、交、差運(yùn)算；余集和De Morgan公式；上極限和下極限；練習(xí)： 證明；證明；2、 對(duì)等與基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習(xí)： 證明；證明；3、 可數(shù)集的定義與常見的例；性質(zhì)“有限個(gè)可數(shù)集合的直積是可數(shù)集合”與應(yīng)用；可數(shù)集合的基數(shù)；練習(xí)： 證明直線上增函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)最多只有可數(shù)多個(gè)；證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體所成的集合為一可數(shù)集； ；0,1中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論；4、 不可數(shù)集合、連續(xù)基數(shù)的定義及性質(zhì)；練習(xí)： ； （P為Cantor集）； 第二章 點(diǎn) 集 1、 度量空間，n維歐氏空間中有關(guān)概念度量空間(Metric Space)，在數(shù)學(xué)中是指一個(gè)集

2、合，并且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的。n維歐氏空間: 設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間（或稱為向量空間），若V上定義著正定對(duì)稱雙線性型g（g稱為內(nèi)積），則V稱為（對(duì)于g的）內(nèi)積空間或歐幾里德空間（有時(shí)僅當(dāng)V是有限維時(shí)，才稱為歐幾里德空間）。具體來說，g是V上的二元實(shí)值函數(shù)，滿足如下關(guān)系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立。這里x,y,z是V中任意向量，k是任意實(shí)數(shù)。2、 ，聚點(diǎn)、界點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)的概念、性質(zhì)及判定（求法）；開核，導(dǎo)集，閉

3、包的概念、性質(zhì)及判定（求法）；聚點(diǎn):有點(diǎn)集E，若在復(fù)平面上的一點(diǎn)z的任意鄰域都有E的無窮多個(gè)點(diǎn)，則 稱z為E的聚點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn):如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)E，則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)。3、開集、閉集、完備集的概念、性質(zhì)；直線上開集的構(gòu)造；4、Cantor集的構(gòu)造和性質(zhì)；5、練習(xí)： ， ， ；= ；第三章 測(cè) 度 論1、 外測(cè)度的定義和基本性質(zhì)（非負(fù)性，單調(diào)性，次可數(shù)可加性）；2、 可測(cè)集的定義與性質(zhì)（可測(cè)集類關(guān)于可數(shù)并，可數(shù)交，差，余集，單調(diào)集列的極限運(yùn)算封閉）；可數(shù)可加性（注意條件）；3、 零測(cè)度集的例子和性質(zhì)； 4、 可測(cè)集的例子和性質(zhì)；練習(xí)： ， ；零測(cè)度集的任何子集仍為零測(cè)度集；有限或可數(shù)個(gè)零測(cè)

4、度集之和仍為零測(cè)度集；0,1中有理數(shù)集的相關(guān)結(jié)論；5、存在不可測(cè)集合；第四章 可 測(cè) 函 數(shù)1、可測(cè)函數(shù)的定義，不可測(cè)函數(shù)的例子；練習(xí)： 第四章習(xí)題3；2、可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系；可測(cè)函數(shù)與連續(xù)函數(shù)的關(guān)系（魯津定理）；3、葉果洛夫定理及其逆定理；練習(xí)： 第四章習(xí)題7；4、依測(cè)度收斂的定義、簡(jiǎn)單的證明；5、具體函數(shù)列依測(cè)度收斂的驗(yàn)證；6、依測(cè)度收斂與幾乎處處收斂的關(guān)系，兩者互不包含的例子；第五章 積 分 論1、非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)L積分的定義；練習(xí)： Direchlet函數(shù)在上的L積分2、可測(cè)函數(shù)L積分的定義（積分確定；可積）；基本性質(zhì)（§5.4 定理1和定理2諸條）；3、Lebesgue控制收斂定理的內(nèi)容和簡(jiǎn)單應(yīng)用；4、L積分的絕對(duì)連續(xù)性和可數(shù)可加性（了解）；5、Riemann可積的充要條件；練習(xí)： 上的Direchlet函數(shù)不是R-可積的；6、Lebesgue可積的充要條件：若是可測(cè)集合上的有界函數(shù)，則在上L-可積在上可測(cè)；練習(xí)： 上的Direchlet函數(shù)是L-可積的；設(shè) ，則在上是否可積，是否可積，若可積，求出積分值。例1、求由曲線所圍圖形公共部分的面積解：兩曲線的交點(diǎn)+ 例2.邊長(zhǎng)為a和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液體中,薄片長(zhǎng)邊a與液面平行位于