中考數(shù)學(xué)壓軸題大集合(共28頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、函數(shù)與幾何綜合的壓軸題1.（2004安徽蕪湖）如圖，在平面直角坐標系中，AB、CD都垂直于x軸，垂足分別為B、D且AD與B相交于E點.已知：A(-2,-6),C(1,-3)(1) 求證：E點在y軸上；(2) 如果有一拋物線經(jīng)過A，E，C三點，求此拋物線方程.(3) 如果AB位置不變，再將DC水平向右移動k(k>0)個單位，此時AD與BC相交于E點，如圖，求AEC的面積S關(guān)于k的函數(shù)解析式.圖C（1+k，-3）A（2，-6）BDOxEyC（1，-3）A（2，-6）BDOxEy圖 解 （1）（本小題介紹二種方法，供參考）方法一：過E作EOx軸，垂足OABEODC

2、又DO+BO=DBAB=6，DC=3，EO=2又，DO=DO，即O與O重合，E在y軸上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直線方程：y=2x-2再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直線方程：y=-x-2 聯(lián)立得E點坐標（0，-2），即E點在y軸上（2）設(shè)拋物線的方程y=ax2+bx+c(a0)過A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三點，得方程組解得a=-1,b=0,c=-2拋物線方程y=-x2-2（3）（本小題給出三種方法，供參考）由（1）當DC水平向右平移k后，過AD與BC的交點E作EFx軸垂足為F。同（1）可得： 得：EF=2方法一：又EFAB，SAEC= SA

3、DC- SEDC=DB=3+kS=3+k為所求函數(shù)解析式方法二： BADC，SBCA=SBDASAEC= SBDES=3+k為所求函數(shù)解析式.證法三：SDECSAEC=DEAE=DCAB=12同理：SDECSDEB=12,又SDECSABE=DC2AB2=14S=3+k為所求函數(shù)解析式.2. （2004廣東茂名）已知：如圖，在直線坐標系中，以點M（1，0）為圓心、直徑AC為的圓與y軸交于A、D兩點.（1）求點A的坐標； （2）設(shè)過點A的直線yxb與x軸交于點B.探究：直線AB是否M的切線？并對你的結(jié)論加以證明； （3）連接BC，記ABC的外接圓面積為S1、M面積為S2，若，拋物線yax2bxc

4、經(jīng)過B、M兩點，且它的頂點到軸的距離為.求這條拋物線的解析式. 解（1）解：由已知AM，OM1， 在RtAOM中，AO， 點A的坐標為A（0，1）（2）證：直線yxb過點A（0，1）10b即b1yx1令y0則x1B（1，0），AB在ABM中，AB，AM，BM2 ABM是直角三角形，BAM90°直線AB是M的切線（3）解法一：由得BAC90°，AB，AC2， BC BAC90°ABC的外接圓的直徑為BC，ABCDxM·y 而，設(shè)經(jīng)過點B（1，0）、M（1，0）的拋物線的解析式為：ya（1）（x1），（a0）即yax2a，a±5，a±5拋

5、物線的解析式為y5x25或y5x25 解法二：（接上） 求得h5 由已知所求拋物線經(jīng)過點B（1，0）、M（1、0），則拋物線的對稱軸是y軸，由題意得拋物線的頂點坐標為（0，±5）拋物線的解析式為ya（x0）2±5 又B（1,0）、M（1,0）在拋物線上，a±50， a±5拋物線的解析式為 y5x25或y5x25 解法三：（接上）求得h5因為拋物線的方程為yax2bxc（a0）由已知得拋物線的解析式為 y5x25或y5x25. 3.(2004湖北荊門)如圖，在直角坐標系中，以點P（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A、B兩點，拋物線過點A、B，且頂點C

6、在P上.(1)求P上劣弧的長；(2)求拋物線的解析式；ABCOxy·P（1，1）(3)在拋物線上是否存在一點D，使線段OC與PD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.解 （1）如圖，連結(jié)PB，過P作PMx軸，垂足為M.在RtPMB中，PB=2,PM=1, MPB60°，APB120°ABCOxyP（1，1）·M 的長 （2）在RtPMB中，PB=2,PM=1,則MBMA.又OM=1，A（1，0），B（1，0），由拋物線及圓的對稱性得知點C在直線PM上，則C(1，3). 點A、B、C在拋物線上，則解之得拋物線解析式為 （3）假設(shè)存在點D，

7、使OC與PD互相平分，則四邊形OPCD為平行四邊形，且PCOD.又PCy軸，點D在y軸上，OD2，即D（0，2）. 又點D（0，2）在拋物線上，故存在點D（0，2），使線段OC與PD互相平分. 4.（2004湖北襄樊）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，RtABC的直角頂點C（0，）在軸的正半軸上，A、B是軸上是兩點，且OAOB31，以O(shè)A、OB為直徑的圓分別交AC于點E，交BC于點F.直線EF交OC于點Q.（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）請猜想：直線EF與兩圓有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的猜想.AyxBEFO1QOO2C（3）在AOC中，設(shè)點M是AC邊上的一個動點，過M作MNAB交OC于

8、點N.試問：在軸上是否存在點P，使得PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由. 解 (1)在RtABC中，OCAB，AOCCOB.OC2OA·OB.OAOB31,C(0,),BAEFO1QOO2yx2134NMPCOB1.OA3.A(-3,0),B(1,0).設(shè)拋物線的解析式為則解之，得經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為(2)EF與O1、O2都相切.證明：連結(jié)O1E、OE、OF.ECFAEOBFO90°,四邊形EOFC為矩形.QEQO.12.34,2+490°，EF與O1相切.同理：EF理O2相切.(3)作MPOA

9、于P，設(shè)MNa,由題意可得MPMNa. MNOA,CMNCAO.解之，得此時，四邊形OPMN是正方形.考慮到四邊形PMNO此時為正方形，點P在原點時仍可滿足PNN是以MN為一直角邊的等腰直角三角形.故軸上存在點P使得PMN是一個以MN為一直角邊的等腰直角三角形且或5.（2004湖北宜昌）如圖，已知點A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC為對角線的矩形ABCD內(nèi)部(不在各邊上)的個動點，點D在y軸，拋物線yax2+bx+1以P為頂點(1)說明點A、C、E在一條條直線上；(2)能否判斷拋物線yax2+bx+1的開口方向?請說明理由；(3)設(shè)拋物線yax2+bx+1與x軸有交點F、G(F在

10、G的左側(cè))，GAO與FAO的面積差為3，且這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點這時能確定a、b的值嗎?若能，請求出a、b的值；若不能，請確定a、b的取值范圍XOPDCABY(本題圖形僅供分析參考用)解 （1）由題意，A(0，1)、C(4，3)確定的解析式為：y=x+1.將點E的坐標E(，)代入y=x+1中，左邊=，右邊=×+1=，左邊=右邊，點E在直線y=x+1上，即點A、C、E在一條直線上.（2）解法一：由于動點P在矩形ABCD內(nèi)部，點P的縱坐標大于點A的縱坐標，而點A與點P都在拋物線上，且P為頂點，這條拋物線有最高點，拋物線的開口向下解法二：拋物線y=ax2+bx+c的頂點P的縱

11、坐標為，且P在矩形ABCD內(nèi)部，13，由11得0，a0，拋物線的開口向下. XGFOPDECABY（3）連接GA、FA，SGAOSFAO=3 GO·AOFO·AO=3 OA=1，GOFO=6. 設(shè)F（x1,0）、G（x2,0），則x1、x2為方程ax2+bx+c=0的兩個根，且x1x2，又a0，x1·x2=0，x10x2，GO= x2，F(xiàn)O= x1，x2（x1）=6，即x2+x1=6，x2+x1= =6，b= 6a, 拋物線解析式為：y=ax26ax+1, 其頂點P的坐標為（3，19a）, 頂點P在矩形ABCD內(nèi)部， 由方程組y=ax26ax+1y=x+1得：ax

12、2（6a+）x=0119a3, a0. x=0或x=6+.當x=0時，即拋物線與線段AE交于點A，而這條拋物線與線段AE有兩個不同的交點，則有：06+，解得：a綜合得：a b= 6a，b0xy6.（2004湖南長沙）已知兩點O(0，0)、B(0，2)，A過點B且與x軸分別相交于點O、C，A被y軸分成段兩圓弧，其弧長之比為31，直線l與A切于點O，拋物線的頂點在直線l上運動.（1）求A的半徑；（2）若拋物線經(jīng)過O、C兩點，求拋物線的解析式；（3）過l上一點P的直線與A交于C、E兩點，且PCCE，求點E的坐標；（4）若拋物線與x軸分別相交于C、F兩點，其頂點P的橫坐標為m，求PEC的面積關(guān)于m的函

13、數(shù)解析式.解 (1)由弧長之比為31，可得BAO90º 再由ABAOr，且OB2，得r(2)A的切線l過原點，可設(shè)l為ykx任取l上一點(b，kb)，由l與y軸夾角為45º可得：bkb或bkb，得k1或k1，直線l的解析式為yx或yx 又由r，易得C(2，0)或C(2，0) 由此可設(shè)拋物線解析式為yax(x2)或yax(x2)再把頂點坐標代入l的解析式中得a1拋物線為yx22x或yx22x6分(3)當l的解析式為yx時，由P在l上，可設(shè)P(m，m)(m0)過P作PPx軸于P，OP|m|，PP|m|，OP2m2，又由切割線定理可得：OP2PC·PE,且PCCE，得P

14、CPEmPP7分C與P為同一點，即PEx軸于C，m2，E(2，2)8分同理，當l的解析式為yx時，m2，E(2，2) (4)若C(2，0)，此時l為yx，P與點O、點C不重合，m0且m2，當m0時，F(xiàn)C2(2m)，高為|yp|即為m，S同理當0m2時，Sm22m；當m2時，Sm22m；S 又若C(2，0)，此時l為yx，同理可得；SAAB(2,0)CC(2,0)lOPEPxy（2,0）PClOyxCFFFPP7.（2006江蘇連云港）如圖，直線與函數(shù)的圖像交于A、B兩點，且與x、y軸分別交于C、D兩點（1）若的面積是的面積的倍，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；yx（2）在（1）的條件下，是否存在和，使得

15、以為直徑的圓經(jīng)過點若存在，求出和的值；若不存在，請說明理由解（1）設(shè)，(其中)，由，得··(····)， 又，即， 由可得，代入可得 yx ， ，即 又方程的判別式，所求的函數(shù)關(guān)系式為 （2）假設(shè)存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過點 則，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、與都與互余， RtRt， ， ， 即 由（1）知，代入得，或，又，或，存在,，使得以為直徑的圓經(jīng)過點，且或 8.（2004江蘇鎮(zhèn)江）已知拋物線與x軸交于兩點、，與y軸交于點C，且AB=6. （1）求拋物線和直線BC的解析式. （2）在給定的直角坐標系中，畫拋物線和直線BC.

16、（3）若過A、B、C三點，求的半徑. （4）拋物線上是否存在點M，過點M作軸于點N，使被直線BC分成面積比為的兩部分？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.解（1）由題意得： xyO解得 經(jīng)檢驗m=1，拋物線的解析式為：或：由得，或 拋物線的解析式為 由得A（5，0），B（1，0），C（0，5）.設(shè)直線BC的解析式為則直線BC的解析式為 (2)圖象略.（3）法一：在中，.又的半徑 法二：由題意，圓心P在AB的中垂線上，即在拋物線的對稱軸直線上，設(shè)P（2，h）（h0）， 連結(jié)PB、PC，則，由，即，解得h=2. 的半徑.法三：延長CP交于點F.為的直徑，又 又的半徑為 （4）設(shè)MN交直

17、線BC于點E，點M的坐標為則點E的坐標為若則解得（不合題意舍去）， 若則解得（不合題意舍去），存在點M，點M的坐標為或（15，280）. 9. 如圖，M與x軸交于A、B兩點，其坐標分別為、，直徑CDx軸于N，直線CE切M于點C，直線FG切M于點F，交CE于G，已知點G的橫坐標為3.(1) 若拋物線經(jīng)過A、B、D三點，求m的值及點D的坐標.(2) 求直線DF的解析式.(3) 是否存在過點G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個交點的橫坐標之和等于4？若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由.（第9題圖）AyxONMGFEDCB解 (1) 拋物線過A、B兩點， ，m=3. 拋物線為.

18、 又拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點. D點坐標為. (2) 由題意知：AB=4.CDx軸，NA=NB=2. ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，NC×4=2×2. NC=1.C點坐標為. 設(shè)直線DF交CE于P，連結(jié)CF，則CFP=90°.2+3=1+4=90°.GC、GF是切線，F(xiàn)BAyxONMGEDCP1234GC=GF. 3=4.1=2. GF=GP.GC=GP.可得CP=8.P點坐標為 設(shè)直線DF的解析式為則 解得直線DF的解析式為： (3) 假設(shè)存在過點G的直線為，則，. 由方程組 得 由題意得，

19、. 當時，方程無實數(shù)根，方程組無實數(shù)解.滿足條件的直線不存在. 10.（2004山西）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，6），并與x軸交于點B（1，0）和點C，頂點為P.（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并在下面的坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象；（2）設(shè)D為線段OC上的一點，滿足DPCBAC，求點D的坐標；（3）在x軸上是否存在一點M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.解 （1）解：二次函數(shù)的圖象過點A（3，6），B（1，0）xOy得解得這個二次函數(shù)的解析式為：由解析式可求P（1，2），C（3，0）畫出二次函數(shù)的圖像 （2）解法一：易

20、證：ACBPCD45°又已知：DPCBACDPCBAC易求 解法二：過A作AEx軸，垂足為E.設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于F.亦可證AEBPFD、.易求：AE6，EB2，PF2 （3）存在.（1°）過M作MHAC，MGPC垂足分別為H、G，設(shè)AC交y軸于S，CP的延長線交y軸于TSCT是等腰直角三角形，M是SCT的內(nèi)切圓圓心，MGMHOM又且OMMCOC（2°）在x軸的負半軸上，存在一點M同理OMOCMC，得 M即在x軸上存在滿足條件的兩個點.MT11-1-24-323056E-1-223ACxyBDMFSGHP11.（2004浙江紹興）在平面直角坐標系中，A（1，0

21、），B（3，0）.（1）若拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點（0，3），求此拋物線的頂點坐標；（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點的拋物線如果與y軸負半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么ACM與ACB的面積比不變，請你求出這個比值；ABCMOxy（3）若對稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點E，F(xiàn)，與y軸交于點C，過C作CPx軸交l于點P，M為此拋物線的頂點.若四邊形PEMF是有一個內(nèi)角為60°的菱形，求次拋物線的解析式.解 （1），頂點坐標為（1，4）.（2）由題意，設(shè)ya（x1）（x3），即yax22ax3a， A（1，0），B（3，0），C（0，3a），M（1，4a）， S

22、ACB×4×6，而a0， SACB6A、作MDx軸于D，又SACMSACO SOCMD SAMD·1·3a（3a4a）·2·4aa， SACM：SACB1：6.（3）當拋物線開口向上時，設(shè)ya（x1）2k，即yax22axak，有菱形可知，ak0，k0， k， yax22ax， .記l與x軸交點為D，若PEM60°，則FEM30°，MDDE·tan30°， k，a， 拋物線的解析式為.若PEM120°，則FEM60°，MDDE·tan60°， k，a， 拋

23、物線的解析式為.當拋物線開口向下時，同理可得，.12.（2005北京）已知：在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，拋物線經(jīng)過O、A兩點。（1）試用含a的代數(shù)式表示b；（2）設(shè)拋物線的頂點為D，以D為圓心，DA為半徑的圓被x軸分為劣弧和優(yōu)弧兩部分。若將劣弧沿x軸翻折，翻折后的劣弧落在D內(nèi)，它所在的圓恰與OD相切，求D半徑的長及拋物線的解析式；（3）設(shè)點B是滿足（2）中條件的優(yōu)弧上的一個動點，拋物線在x軸上方的部分上是否存在這樣的點P，使得？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。解 （1）解法一：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A 點A的坐標為（4，0） 拋物線經(jīng)過O、A兩點

24、解法二：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A 點A的坐標為（4，0） 拋物線經(jīng)過O、A兩點 拋物線的對稱軸為直線 （2）由拋物線的對稱性可知，DODA 點O在D上，且DOADAO 又由（1）知拋物線的解析式為 點D的坐標為（） 當時， 如圖1，設(shè)D被x軸分得的劣弧為，它沿x軸翻折后所得劣弧為，顯然所在的圓與D關(guān)于x軸對稱，設(shè)它的圓心為D' 點D'與點D也關(guān)于x軸對稱 點O在D'上，且D與D'相切 點O為切點 D'OOD DOAD'OA45° ADO為等腰直角三角形 點D的縱坐標為 拋物線的解析式為 當時， 同理可得： 拋物線的解析式為 綜上，D

25、半徑的長為，拋物線的解析式為或 （3）拋物線在x軸上方的部分上存在點P，使得 設(shè)點P的坐標為（x，y），且y0 當點P在拋物線上時（如圖2） 點B是D的優(yōu)弧上的一點 過點P作PEx軸于點E 由解得：（舍去） 點P的坐標為 當點P在拋物線上時（如圖3） 同理可得， 由解得：（舍去） 點P的坐標為 綜上，存在滿足條件的點P，點P的坐標為 或13.（2005北京豐臺）在直角坐標系中，經(jīng)過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B。 （1）如圖，過點A作的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，求直線AC的解析式； （2）若經(jīng)過點M（2，2），設(shè)的內(nèi)切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否

26、會發(fā)生變化，如果不變，求出其值，如果變化，求其變化的范圍。解 （1）如圖1，過O作于G，則 設(shè) （3，0） AB是的直徑 切于A， 在中 設(shè)直線AC的解析式為，則 直線AC的解析式為 （2）結(jié)論：的值不會發(fā)生變化 設(shè)的內(nèi)切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖2所示圖2 則 在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN 平分 的值不會發(fā)生變化，其值為4。14.（2005福建廈門）已知：O是坐標原點，P（m，n）(m0)是函數(shù)y (k0)上的點，過點P作直線PAOP于P，直線PA與x軸的正半軸交于點A（a，0）(am). 設(shè)OPA的面積為s，且s1. （1）當n1時，求點A的

27、坐標； （2）若OPAP，求k的值； (3 ) 設(shè)n是小于20的整數(shù)，且k，求OP2的最小值. 解 過點P作PQx軸于Q，則PQn，OQm(1) 當n1時， s a (2) 解1： OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 1·an 即n44n240 k24k40 k2 解2： OPAP PAOP OPA是等腰直角三角形 mn 設(shè)OPQ的面積為s1則：s1 ·mn(1)即：n44n240 k24k40 k2 (3) 解1： PAOP， PQOA OPQOAP 設(shè)：OPQ的面積為s1，則 即： 化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去)

28、 當n是小于20的整數(shù)時，k2. OP2n2m2n2又m0，k2， n是大于0且小于20的整數(shù)當n1時，OP25當n2時，OP25當n3時，OP2329 當n是大于3且小于20的整數(shù)時，即當n4、5、6、19時，OP2得值分別是：42、52、62、192192182325 OP2的最小值是5. 解2： OP2n2m2n2 n2 (n)4 當n 時，即當n時，OP2最?。挥謓是整數(shù)，而當n1時，OP25；n2時，OP25 OP2的最小值是5. 解3： PAOP， PQOA OPQP AQ 化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 解4： PAOP， PQOA O

29、PQP AQ 化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 解5： PAOP， PQOA OPQOAP OP2OQ·OA化簡得：2n42k2k n44k0 （k2）（2kn4）0k2或k(舍去) 15.（2005湖北黃岡課改）如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別坐勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動。（1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、

30、C三點的拋物線的解析式。QAPOC（8，6）B（18，6）A（18，0）xy（2）試在中的拋物線上找一點D，使得以O(shè)、A、D為頂點的三角形與AOC全等，請直接寫出點D的坐標。（3）設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒。如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍。（4）設(shè)從出發(fā)起，運動了t秒。當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由。解 （1）O、C兩點的坐標分別為O，C設(shè)OC的解析式為，將兩點坐標代入得：， A，O是軸上兩點，故可設(shè)拋物線的解析式為再將C代入得： （2

31、）D（3）當Q在OC上運動時，可設(shè)Q，依題意有：，Q，當Q在CB上時，Q點所走過的路程為，OC10，CQQ點的橫坐標為，Q， （4）梯形OABC的周長為44，當Q點OC上時，P運動的路程為，則Q運動的路程為OPQ中，OP邊上的高為：梯形OABC的面積，依題意有：整理得：，這樣的不存在當Q在BC上時，Q走過的路程為，CQ的長為：梯形OCQP的面積3684×這樣的值不存在綜上所述，不存在這樣的值，使得P，Q兩點同時平分梯形的周長和面積16.（2005湖北荊門）已知：如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，ACB90°，（1）求m的值及拋物線頂點坐標；（2）過A、B、C的三點的M交y軸于另一點D，連結(jié)DM并延長交M于點E，過E點的M的切線分別交x