二維靜態(tài)電磁場邊值問題的數值計算

1、陜西理工學院畢業(yè)論文二維靜態(tài)電磁場邊值問題的數值計算作者：高漢超(陜西理工學院 物理與電信工程學院 物理1103班 漢中723001)指導教師：潘峰 摘要基于靜態(tài)電磁場邊值的求解問題的實例，分別通過解析法，數值法，有限差分法以及有限元法進行了求解，并得到了電位分布示意圖，求出了數值解，并與解析法得到的精確解進行比較，得出了用數值法求解電磁場問題基本滿足工程需要的結論。采用數值計算時，對如何減小計算機內存，取消冗余數據，也做了進一步的討論。最后闡述了三種方法的各自的特征。 關鍵詞電磁場;邊值;數值解;數值分析;解析法引言    場分布不隨著時間的變化而變化的場被稱為

2、靜態(tài)場，靜態(tài)場的求解對電磁場的分布是至關重要的。事實上知區(qū)域內的電荷分，求解靜態(tài)電磁場就是對已布以及已知區(qū)域邊界電位及電荷分布進行求解，對已知區(qū)域內的場量的分布進行求解，這類問題的求解也被叫做靜電場邊值問題的求解。靜態(tài)場的分布求解是基于已知區(qū)域邊界條件及電荷分布基礎上，對滿足邊界分布的拉普拉斯方程或者泊松方程的求解。通常情況下，求解的方法是數值法和解析法。本文通過對靜態(tài)電磁場邊值的求解，幫助人們加深對電磁場的理解。1.靜態(tài)電磁場邊值求解的解析法  通過解析法對靜態(tài)電磁場的邊值問題進行求解，1864年，Maxwell在前人理論和實驗的基礎上建立了統(tǒng)一的電磁場理論，并用數學模型揭示了自然

3、界一切宏觀電磁現象所遵循的普遍規(guī)律，這就是Maxwell方程組。籠統(tǒng)而言，所有的宏觀電磁問題都可以歸結為Maxwell方程組在各種邊界條件下的求解問題。解析法包括建立和求解偏微分方程或積分方程。嚴格求解偏微分方程的經典方法是分離變量法，即在可分離變量的坐標系中求解Maxwell方程組或其退化形式，最后得到解析解。實際上主要針對在場域邊界上場量的值已知，而對場域內的場的分布進行求解的情況。求解的結果通常是解析表達式的形式，并且一般較為復雜。解析法雖然不能對體現場的分布進行形象的描述，然而，由于其結果能夠對場域內的每一個點的分量都能夠進行精確的表述，就有一個相對的解。ba圖1 金屬槽 探究一無限長

4、直接地金屬槽，其三壁電勢為零，頂蓋與三壁絕緣且電勢為100，其中V0=100V，截面長寬分別為a=10cm和b=5cm，如圖1所示。求金屬槽內的電勢分布4。分析金屬槽無限長，故槽內電勢與坐標z無關。由于槽內各點上電荷密度=0，槽內電勢滿足二維直角坐標系中的拉普拉斯方程及其邊界條件:（1.5）（1.4）（1.2）（1.3）（1.1）應用分離變量法，得到滿足方程(1.1)和邊界條件式(1.2)式(1.4)的解的形式為：（1.6）代入邊界條件（1.5）得（1.7）比較系數得：（1.8）槽內電勢的解析解為（1.9）2.數值法電磁場數值計算是求解電磁場問題重要的方法之一。它將電磁場原本連續(xù)的場域問題轉換

5、成離散系統(tǒng)，并對其求解數值解。通過在場域離散化的模型上求得各個點上的數值解，近似逼近連續(xù)場域的真實解2。數值法的出現，使電磁場問題的分析研究從經典方法進入到離散系統(tǒng)的數值分析方法，從而使許多解析法很難解決的復雜的電磁場問題，有可能通過電磁場的計算機輔助分析獲得高精度的離散解，同時可極大地促進各種電磁場數值計算方法的發(fā)展。有限差分法、有限元法是電磁場數值計算中最常用的兩種方法。上面的例子屬于規(guī)則形狀的第一類邊值問題，通過分離變量法已得到精確的解析解，為了與解析解作比較，以驗證數值計算的精度，還以此為例對槽內電勢進行數值分析。2.1靜態(tài)電磁場邊值求解的有限差分法 有限差分法是將偏微分方程中的偏導函

6、數用差商形式來表示，將所求電磁場的區(qū)域中計算無限多個點的函數值變?yōu)橛嬎阌邢薅鄠€點上的函數(這一過程稱之為離散化)，求出數值解的方法3。2.1.1有限差分法的計算（2.1） 本文選用MATLAB來編寫程序，MATLAB是近年來十分流行的通用性很強的優(yōu)秀軟件，它的程序簡單明了，容易看懂7。而且MATLAB還具有一些更方便的特殊功能，如有專門實現偏微分方程數值求解的工具箱PDEToolbox等，使用這些工具箱能夠直觀、快速、準確、形象地描述數值計算的結果。 為簡單起見，取步長h=1，x、y方向的網格數為m=10，n=5，共有10×5=50個網孔，11×6=66個節(jié)點，其中槽內節(jié)點

7、(電勢代求點)有9×4=36個，邊界節(jié)點(電勢已知點)66-36=30個。采用1/4有限差分形式：設迭代精度為10-6，利用MATLAB編制的主要計算程序如下:hx=11;hy=6;%設置網絡節(jié)點v1=ones(hy,hx);%設置行列二維數組for j=1:hx%上下兩行的 Dinichlet邊界條件vl(hy,j)=100*sin(pi*(j-1)/(hx-1);v1(1,j)=0;endfor i=1:hy%左右兩列的 Dirichlet邊界條件v1(i,1)=0;v1(i,hx)=0;endv2=v1;maxt=1;t=0;%初次化k=0;while(maxt>1e-6

8、) %由 V1 迭代,算出 V2,迭代精度 0.000001k=k+1;%迭代次數maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j) +v2(i,j-1)/4; %拉氏差分方程式t=abs(v2(i,j+1)-v1(i,j）; if(t>maxt)maxt=t;endend endv1=v2end 計算結果如下:本例采用簡單迭代法，經66次迭代后，電勢數值解收斂于某一固定值，場內所劃分的網格點的電勢的計算結果如表2.1所示，若采用超松迭代法：（2.2）(其中為松弛因子，最佳值為（2.3）式中m，n分別

9、為x、y方向的網格數)，收斂速度將更快。矩形槽內電勢分布三維曲面圖如圖2所示，槽內等勢線、電場線分布如圖3所示。2.1.2用有限差分法所得數值解與精確解析解的比較利用解析解：（2.4）用MATLAB編程求各網格點上電勢的數值解與解析解比較。 比較數值解與精確之間的誤差，其他點數值計算的誤差也都很小，用數值解代替精確的解析解完全滿足工程需要。若進一步細分網格，得到的解與精確解之間的誤差將更小。2.2靜態(tài)電磁場邊值求解的有限元法  在有限差分基礎上，結合洛倫茲變換得到的有限元法，其實質也是一種數值解法。其求解過程為把所求位函數當成是能量泛函的變量，能量泛函在邊界條件下得到極小值，此時的電

10、位函數能夠滿足拉普拉斯方程。也就是說，將靜態(tài)電磁場邊值求解轉化為對泛函極值求解的問題。 其中，表示極化常數。該方法把通過偏微分方程表示的連續(xù)函數的封閉場域進行劃分，分成若干個小的三角形的單元，任何一個單元都通過一個選定的泛函表示。利用對泛函相對變量的極小值的求解，從而得到邊值的近似值。一般求解過程為首先進行區(qū)域離散，然后選址插值函數，建立方程組，最后進行方程組的求解。有限元法是根據變分原理和離散化取得近似解的方法。有限元法不是直接對電磁場的偏微分方程去求解，而是先從偏微分方程邊值問題出發(fā)，找出一個能量泛函的積分式，并令其在滿足第一類邊界條件的前提下取極值，即構成條件變分問題。這個條件

11、變分問題是和偏微分方程邊值問題等價的。有限元法便是以條件變分問題為對象來求解電磁場問題。國際學術界對有限元法的理論、計算及各方面的應用做了大量的工作，許多問題都有現成的程序，可用的商業(yè)軟件相對較多8，如美國Ansoft公司的Maxwel和國外的MATLAB。MATLAB軟件是計算速度快，開放性強的大型通用有限元軟件，可用來求解不同情況下的靜態(tài)電磁場問題。對于上面的那個例子，用MATLAB軟件分析槽內電勢分布。計算步驟如下:1)網格設置;2)區(qū)域設置;3)應用模式設置;4)輸入邊界條件;5)方程參數設定;6)網格剖分;7)圖形解顯示參數設置；8）解方程，注意:指定頂蓋邊界條件時（2.5）要先進行

12、離散化;8)后處理。槽內電勢分布結果如圖4所示。圖4槽內等電勢線分布(有限元法)比較圖3、圖4，可以看出用有限差分和有限元這兩種方法對槽內電勢分布的計算結果基本相同。查看本例的數值解容易發(fā)現，矩形場域中的電勢分布是左右對稱的，說明計算的場域范圍還可以縮小1倍，即取矩形域左邊或右邊的一半進行分析和計算即可。這樣可以減小計算機內存，取消冗余數據。3討論解析法，有限差分法，有限元法三種方法對求解電磁場邊值的情況 上述三種方法雖然求解電磁場邊值的思想不同，但是通過等電位分布示意圖可以看書，不同方法得到的靜態(tài)場邊值問題的等電網分布非常相似，能夠對場量分布進行較為真實的反映。對于解析法來說，不是求得某些數

13、值，而是獲得了關于x，y的電位函數，在電位函數中帶入離散的x，y，得到電位分布示意圖；而有限元和有限差分法本身的數值解是離散的，當劃分的網格數量足夠多，同時迭代的次數足夠的情況下，其解和解析法的解接近，同樣能夠對電位分布進行形象表示。不過，有限差分法只有在幾何邊界條件規(guī)則的情況下使用，而有限元法則對于不規(guī)則的幾何邊界同樣使用。本文靜態(tài)電磁場邊值的求解為電磁場的應用提供了一定的依據。 4結束語 計算電磁學之所以能取代經典電磁學而成為現代電磁理論研究的主流，主要得益于計算機硬件和軟件的飛速發(fā)展以及計算數學的豐碩成果。計算機內存容量不斷增大，計算速度不斷提高，軟件功能不斷強大，計算方法不斷

14、改進，再加上并行計算機的使用，使得我們能解決的電磁學問題越來越大、越來越復雜，相對于經典電磁學而言，數值方法幾乎不再受限于邊界的約束，能解決各種類型的復雜問題9。當然，經典電磁理論的研究也一直在進行著，它是計算電磁學的理論基礎，沒有它，計算電磁學也不可能得到蓬勃的發(fā)展。參 考 文 獻1馬海斌.王麗黎.趙仙紅.電磁場理論M.北京郵電大學出版社2茍曉凡.楊勇.鄭曉靜.磁體磁場分布的解析表達式J.應用數學和力學.2009.24(3):271-2783宋燎平.王平.張海峰.等.靜態(tài)電磁場邊值問題計算方法J.大學物理.2010.6(20):17-214馮慈璋，馬西奎.工程電磁場導論M. 北京:高等教育出

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17、式J.應用數學和力學，2004,25(3):271-278.Discussion of the interaction bet ween permanent magnet and moving non2ferromagnetic conductorGao HanchaoGrade11,Class3,School of physics and Telecommunication Engineering，Physics Specialty，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，Shanxi）Tutor：Pan Feng Abstract

18、: The interaction between t he permanent magnet and t he moving conductor is analyzed in detail , and a novel noncontact driving mode is discovered. A magnet can be driven to rotate around it s cent ral axis bymoving a non ferromagnetic conductor under it . From t he molecular current viewpoint , an analytic expression exactly describing t he magnetic field dist ribution of a rectangular