復(fù)變函數(shù)與積分變換(修訂版-復(fù)旦大學(xué))第六章課后的習(xí)題答案-(1)

1、精品資料歡迎下載習(xí)題六1. 求映射 w 1 下，下列曲線的像 . z(1) x2y2ax(a0 ，為實數(shù) )解： w112x22y2 i= u+i vzxi yxyxyuxy2x1 ,x2axa所以 w1將 x2y2ax 映成直線 u1.za(2) y kx. ( k 為實數(shù) )解：w1xy2 izx2y2x2yuxvykx222222xyxyxyvku故 w1 將 ykx 映成直線 vku .z2. 下列區(qū)域在指定的映射下映成什么？（ 1） Im( z)0,w(1i) z ；解： w(1i)( xiy)(xy)i( x+y)u x y, v x y.u v2 y 0.所以 Im( w)Re(

2、w) .故 w(1i)z 將 Im( z)0, 映成 Im( w)Re(w) .(2) Re(z)>0. 0<Im(z)<1,wi.z解：設(shè)= +iy,x>0,0<y<1.zxiii( xi y)yxwz x iyx2y2x2y2x2y2 iRe( w)>0. Im(w)>0.若 w=u+i v, 則yu2 , xvu2vu2v2因為 0<y<1, 則 0u2uv21,(u1) 2v2122故wi將 Re(z)>0, 0<Im(z)<1. 映為zRe(w)>0,Im(w)>0,w11( 以（1,0 ）為圓

3、心、1 為半徑的圓 )2222精品資料歡迎下載3. 求 w=z2 在 z=i 處的伸縮率和旋轉(zhuǎn)角， 問 w=z2 將經(jīng)過點 z=i 且平行于實軸正向的曲線的切線方向映成 w平面上哪一個方向？并作圖 .解：因為w=2, 所以w(i)=2i, |w|=2,旋轉(zhuǎn)角 argw= .z2于是 ,經(jīng)過點 i且平行實軸正向的向量映成w平面上過點 -1，且方向垂直向上的向量. 如圖所示 .4.一個解析函數(shù)，所構(gòu)成的映射在什么條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)角的不變性？映射w=z2 在z 平面上每一點都具有這個性質(zhì)嗎？答：一個解析函數(shù)所構(gòu)成的映射在導(dǎo)數(shù)不為零的條件下具有伸縮率和旋轉(zhuǎn)不變性映射w=z2在 z=0 處導(dǎo)數(shù)為零

4、，所以在z=0 處不具備這個性質(zhì).5.求將區(qū)域0<x<1 變?yōu)楸旧淼恼w線性質(zhì)變換wz的一般形式 .6. 試求所有使點 1不動的分式線性變換 .解：設(shè)所求分式線性變換為wazb ( ad- bc 0) 由 11 . 得czdabd1b a ccd因為 w即 w1a( z1)cd ,czda(z1)c( z1) ,czd由 11 代入上式，得 2 2 aca d .cddc因此 w1( z1)( zczd令 d q ，得 cw1(z 1)(1 q) / (z q)w1(z 1)(1 q) / (z q) 2d1c1)dzc(z1)(1q)a z1( z1)( q1)z1其中 a 為復(fù)

5、數(shù) .反之也成立，故所求分式線性映射為w1az1 ， a 為復(fù)數(shù) .w1z17. 若分式線性映射， wazb 將圓周 | z|=1映射成直線則其余數(shù)應(yīng)滿足什么條件？czd解：若 wazb 將圓周 | z|=1映成直線，則 zd 映成 w.czdc精品資料歡迎下載而 zd落在單位圓周| z|=1, 所以d1 ,| c|=| d|.cc故系數(shù)應(yīng)滿足 ad- bc0, 且 | c|=| d|.8. 試確定映射， w z 1 作用下，下列集合的像 . z 1(1)Re( z)0 ;(2) |z|=2; (3) Im(z)>0.解： (1) Re(z)=0 是虛軸，即z=i y 代入得 .iy1(

6、1i y)21y2w11y21y2iy寫成參數(shù)方程為u1y2，v2 y1y21 y2消去 y 得，像曲線方程為單位圓, 即u2+v2=1.(2) |z|=2. 是一圓圍，令z2ei ,0i2 yy 21,y.2ei12. 代入得 wi化為參數(shù)方程 .2e1u3u4sin024cos5 4cos5消去得，像曲線方程為一阿波羅斯圓. 即(u5) 2v2(4)233(3)當(dāng) Im( z)>0時，即 w1zIm( w1) 0,w1w1令 w=u+i v 得Im( w1)Im( (u1)iv)2vv20 .w1(u1)i v(u 1)2即 v>0, 故 Im( z)>0 的像為 Im(

7、 w)>0.9. 求出一個將右半平面 Re(z)>0 映射成單位圓 | w|<1 的分式線性變換 .解：設(shè)映射將右半平面z0 映射成 w=0，則 z0 關(guān)于軸對稱點z0 的像為 w，所以所求分式線性變換形式為wkzz0其中 k 為常數(shù) .zz0又因為wkzz0 , 而虛軸上的點z對應(yīng) |=1, 不妨設(shè)z=0，則zz0wwkzz0| k | 1i(R)zz0k e故 wizz0(Re( z0 )0) .ezz010. 映射 wei1z將 | z | 1 映射成 | w |1, 實數(shù) 的幾何意義顯什么？z解：因為w (z)ei(1 z)( z)()ei1|2(1z) 2(1z)

8、2精品資料歡迎下載從而 w ( ) ei1| |2ei1(1| |2)21| |2所以 argw ()argeiarg (1 |2 )故表示 weizz在單位圓內(nèi)處的旋轉(zhuǎn)角 arg w () .111.求將上半平面 Im( z)>0,映射成 | w|<1 單位圓的分式線性變換w=f ( z) ，并滿足條件(1)f (i)=0,arg f(i) =0; (2)f (1)=1,f (i)=1 .5解：將上半平面 Im(z)>0, 映為單位圓 |<1 的一般分式線性映射為=z(Im( )>0).ww kz(1)由 f(i)=0得=i ，又由 argf (i)0 , 即

9、f (z)ei2i,(z i) 21f (i)i(2)0 ，得e，所以22wizi .zi(2)由 f (1)=1,得 k=1；由 f (i)=1 , 得 k=i聯(lián)立解得155(i)w3z+(52i) .( 52i) z312.求將 | z|<1映射成 | w|<1的分式線性變換w=f (z)，并滿足條件：(1)f ( 21 )=0,f (-1)=1.(2)f ( 21 )=0,arg f( 21),2(3)f ( a)= a, arg f( a).解：將單位圓 | z|<1映成單位圓 | w|<1的分式線性映射，為weizz, |<1.1(1)由 f( 21)=

10、0 ，知1 . 又由 f (-1)=1，知2ei11ei( 1) 1 ei121.12z12z1故 w121zz.22精品資料歡迎下載(2)由 f (21 )=0 ，知1 ，又 wei54z2(2z) 2f(1i4arg f (12 )e32 )，2i2z12z1于是w2).e(zi12z2(3)先求=( z) ，使 z=a0 ， arg(a), 且 | z|<1 映成 | |<1.則可知=( z) = eiz a1a z再求 w=g() ，使=0 w=a,arg g (0)0,且|<1 映成 | w|<1.先求其反函數(shù)=( w) , 它使 |w|<1 映為 |&

11、lt;1,w=a 映為 =0，且arg (w)arg(1/ g (0) 0,則= (w) = w a . 1 a w因此，所求w由等式給出 .1w a= eiza.a w1a z13. 求將頂點在0，1，i 的三角形式的內(nèi)部映射為頂點依次為0，2，1+i的三角形的內(nèi)部的分式線性映射 .解：直接用交比不變性公式即可求得w 0 1 i 0 = z0 i 0w21i2z2i 1ww. 1i2 =z. i121iz 1i4zw.(i1)z(1i)14.求出將圓環(huán)域2<| z|<5映射為圓環(huán)域4<| w|<10且使f (5)=-4的分式線性映射.解：因為z=5,-5,-2,2映為

12、w=-4,4,10,-10,由交比不變性，有25 2525 =25104104104104故 w=f ( z) 應(yīng)為z5 25 = w4104z525 w4 105精品資料歡迎下載即w4 =z5w20 .w4z5z討論求得映射是否合乎要求，由于w=f ( z) 將 | z|=2映為 | w|=10 ，且將 z=5 映為 w=-4. 所以| z|>2 映為 | w|<10. 又 w=f ( z) 將 | z|=5 映為 | w|=4 ，將 z=2 映為 w=-10 ，所以將 | z|<5 映為 | w|>4 ，由此確認(rèn)，此函數(shù)合乎要求 .215. 映射 wz2 將 z 平

13、面上的曲線 x1y2 1 映射到 w平面上的什么曲線？24解：略 .16. 映射 w=ez 將下列區(qū)域映為什么圖形 .(1) 直線網(wǎng) Re( z)= C1,Im( z)= C2;(2) 帶形區(qū)域Im( z),0;2(3) 半帶形區(qū)域Re( z)0,0Im( z),02.解：（ 1） 令 z=x+i y, Re(z)= C ,1= 1+iyw = eC1iy, Im(2z Cez)= C, 則z=x+i Cw = exi C2e2z映成圓周C1；直線 Im( z)= C2 映為射線C2 .故 w = e將直線 Re( z)e（2） 令 z=x+i y，y, 則 w = ezex i yex ei

14、y,y故 w = ez 將帶形區(qū)域Im( z)映為arg( w)的張角為的角形區(qū)域 .（3） 令 z=x+i y， x>0， 0<y<,02. 則w=ezexeiy(x0,0 y)ex1,0 argw故 w = ez 將半帶形區(qū)域Re(z)>0,0<Im( z)<, 02映為| w|>1,0arg w(02).17. 求將單位圓的外部| z|>1 保形映射為全平面除去線段-1<Re( w)<1,Im(w)=0 的映射 .解：先用映射w11將 | z|>11再用分式線性映射 .z映為 | w|<1,w2iw11 將 | w1

15、|<1映為上半平面Im( w2)>0,然后用冪函數(shù) w3w22 映為有割痕為正w11實軸的全平面，最后用分式線性映射ww3 1 將區(qū)域映為有割痕 -1,1的全平面 .w31精品資料歡迎下載i w112w1w 21故 w1w113222w31w21w11i1w111z2111z111.z12(z)12z1z1118. 求出將割去負(fù)實軸Re(z)0,Im( z)=0的帶形區(qū)域2Im( z)2映射為半帶形區(qū)域Im( w),Re()>0 的映射 .w解：用w1z1；再用 w2 lnw11 將半平面e將區(qū)域映為有割痕 (0,1)的右半平面 Re( w)>0w11映為有割痕 (-,-1的單位圓外域；又用w3iw2 將區(qū)域映為去上半單位圓內(nèi)部的上半平面；再用w4ln w3將區(qū)域映為半帶形0<Im( w4)< ,Re( w4)>0 ；最后用w映為2w4 i所求區(qū)域，故wez1lnz.e119. 求將 Im(z)<1 去掉單位圓 | |<1保形映射為上半平面Im( )>0的映射 .zw解：略 .20. 映射 wcos z 將半帶形區(qū)域 0<Re(z)&l