華中科技大學(xué)研究生矩陣論Matrix2-1

1、Jordan Canonical Form問題：?jiǎn)栴}：對(duì)線性空間中的線性變換對(duì)線性空間中的線性變換T，求一組基求一組基 1， 2 ， n 和矩陣和矩陣J ，使，使 T: 1， 2 ， n J 簡(jiǎn)單性簡(jiǎn)單性：矩陣：矩陣 J 盡可能簡(jiǎn)單盡可能簡(jiǎn)單 通用性通用性：矩陣：矩陣 J 的結(jié)構(gòu)對(duì)任何變換可行的結(jié)構(gòu)對(duì)任何變換可行思想：思想： 首選首選 J 為對(duì)角形為對(duì)角形 線性線性變換的對(duì)角化問題。變換的對(duì)角化問題。 建立建立 J 一般的結(jié)構(gòu)一般的結(jié)構(gòu) Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論。標(biāo)準(zhǔn)形理論。 Jordan方法及其應(yīng)用方法及其應(yīng)用方法：方法： 矩陣的相似化簡(jiǎn)問題矩陣的相似化簡(jiǎn)問題 Jordan化方法化方法重點(diǎn)：重

2、點(diǎn)：背景：背景：求基求基 i，i=1n, 使得使得 T( 1 2 n) = ( 1 2 n)n21一、變換一、變換T的特征值與特征向量的特征值與特征向量1. 定義定義2.1 (eigenvalue and eigenvector) T( )= 2. 求解分析求解分析(p35 定理定理2.1) T( )= AX= X1. 1 2 n 線性無關(guān)線性無關(guān)2. L i是不變子空間是不變子空間: T i= i i A的特征值就是的特征值就是T的特征值的特征值 A的特征向量是的特征向量是T的特征向量的坐標(biāo)的特征向量的坐標(biāo)iiiinieT)(,()(21OIT)(OTI)(OXIA)(OXAI)(不同基下的

3、矩陣相似不同基下的矩陣相似(Th1.14)相似矩陣有相同的特征值，與基選擇無關(guān)，相似矩陣有相同的特征值，與基選擇無關(guān)，但特征向量一般不同但特征向量一般不同: 設(shè)設(shè) AX = X，B=P-1AP，則有，則有PBP-1X= X，即即 B(P-1X)= (P-1X).T或或A的特征值與特征向量的求法：的特征值與特征向量的求法：(1) 選擇基及選擇基及T在此基下的矩陣在此基下的矩陣A；(2) 求求A的特征值：求的特征值：求特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式的根的根 f ( ) = 0，其中，其中 f ( ) = | I-A |，設(shè)，設(shè) 1, 2 , n為全部特征值；為全部特征值；(3) 求求A關(guān)于關(guān)于 i的特征向量

4、：求方程的特征向量：求方程( iI-A)X=0的非零的非零解解X，它是，它是T的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的坐標(biāo)。的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量的坐標(biāo)。例例1 求求Pnx上上微分變換微分變換d/dx的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。00001000002000010nA(1) 自然基下的矩陣自然基下的矩陣(2) 由由0nAI知知021n(3) 解方程解方程0)0(XA得通解得通解, 032nxxxkx 1即即T)0 , , 0 , 1 (kX 于是，于是，A關(guān)于關(guān)于0的特征向量為的特征向量為, 0,)0 , , 0 , 1 (TkkX從而得從而得T=d/dx的特征向量為的特征向量為. 0,) , ,

5、1 (1kkXxxn-解解 分三步分三步：求變換在給定基下的矩陣：求變換在給定基下的矩陣A；求；求A的特的特征值；求征值；求A的特征向量。的特征向量。例例2 設(shè)設(shè)A、B分別為分別為mn和和nm階矩陣，證明階矩陣，證明AB和和BA有相同的有相同的非零特征值非零特征值。BABIBABInmnm0000BAIBIIBABInmnm00BAIABInmmn即即推出推出因此，因此， AB和和BA有相同的非零特征值。有相同的非零特征值。00BABBAB00證明證明 和和 相似，則相似，則特征向量的空間性質(zhì)特征向量的空間性質(zhì)1) 特征子空間：特征子空間：V = | T = = N(T- I)2) 特征子空間

6、的性質(zhì)：特征子空間的性質(zhì)：(p36，定理定理2.2) V i是不變子空間是不變子空間 i j，則，則 V i V j = 0 若若 i是是ki重特征值，則重特征值，則 1 dimV i ki 推論推論：1) 若若 i是單特征值，則是單特征值，則dimV i =12) V 1+V 2+V s= V 1 V 2V s 3) V 1 V 2V s Vn(F)定理定理2.3 T可以對(duì)角化可以對(duì)角化 T有有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。個(gè)線性無關(guān)的特征向量。 dimV i = n dimV i = ki , i=1, , s1212( )det() ()()skkksfIA定理定理2.4 T可以對(duì)角化可以對(duì)角

7、化 T可以對(duì)角化可以對(duì)角化：存在一組基，使得：存在一組基，使得T在此基下的矩在此基下的矩陣是對(duì)角陣。陣是對(duì)角陣。這等價(jià)于這等價(jià)于T的變換矩陣可以對(duì)角化的變換矩陣可以對(duì)角化（因（因不同基下的矩陣相似不同基下的矩陣相似）。）。1siiknV 1 V 2V s =Vn(F)例題例題 已知已知 1， 2， 3 是線性空間是線性空間V3(F)的基，的基，T是是V3上如下定義的線性變換，上如下定義的線性變換， T( 1) = 1 T( 2) = 2 2 T( 3) = 1 + t 2 + 2 3討論：討論：t 為何值，為何值，T 有對(duì)角矩陣表示有對(duì)角矩陣表示例題例題 設(shè)設(shè) ，求，求R3上正交投影上正交投影

8、P(x) = x- (x, u) u 的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。01121u例例3 n1時(shí)，時(shí)，Pnx上上微分變換微分變換d/dx沒有對(duì)角矩陣表示。沒有對(duì)角矩陣表示。例例4 冪等矩陣和乘方矩陣的冪等矩陣和乘方矩陣的對(duì)角表示特性對(duì)角表示特性。目標(biāo)：目標(biāo)：發(fā)展一個(gè)所有方陣都能與之相似的矩發(fā)展一個(gè)所有方陣都能與之相似的矩陣結(jié)構(gòu)陣結(jié)構(gòu) - Jordan矩陣。矩陣。一、一、 Jordan 矩陣矩陣1.Jordan 塊塊(p40，定義定義2.3) 1.形式形式：2.確定因素：確定因素：3.Jordan 塊矩陣的例子：塊矩陣的例子：111)(J2012201140004001400010001

9、0例題例題1 下列矩陣哪些是下列矩陣哪些是Jordan 21) 形式形式: 由由Jordan塊構(gòu)成塊構(gòu)成2) Jordan矩陣矩陣舉例舉例3) 特點(diǎn)特點(diǎn) 元素的結(jié)構(gòu)元素的結(jié)構(gòu) Jordan矩陣是上三角矩陣矩陣是上三角矩陣 對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣是Jordan 矩陣矩陣)()()(2211mmJJJ2 Jordan 矩陣矩陣3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形定理定理2.5 (存在定理存在定理) 在復(fù)數(shù)域上，每個(gè)方陣在復(fù)數(shù)域上，每個(gè)方陣A都相似于都相似于一個(gè)一個(gè)Jordan陣陣JA。 含義：含義：Jordan 矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。矩陣可以作為相似標(biāo)準(zhǔn)形。 惟一性：惟一性：Jordan 子塊的集合惟一。

10、子塊的集合惟一。 A相似于相似于B JA 相似于相似于JB目標(biāo)：目標(biāo)：求可逆矩陣求可逆矩陣P和和Jordan矩陣矩陣JA ，使，使AP=PJA分析方法：分析方法： 在在定理定理 2.5 的基礎(chǔ)上逆向分析矩陣的基礎(chǔ)上逆向分析矩陣JA和和P的構(gòu)成。的構(gòu)成。求法與步驟：求法與步驟：skskkAIf)()()()(2121矩陣矩陣A和和JA的特征值相等的特征值相等)()()(2211ssAJJJJ)(iiiiJPAPsiJJJdiagJiitiiiiiii , , 2 , 1 ),( , ),( ),()(21為為ki階階Jordan陣。陣。iiijtjJ , , 2 , 1 ),(為為nij階階Jo

11、rdan塊。塊。Jordan鏈條鏈條Pij = ，y2，ynj ，確定，確定Pij及其及其列數(shù)，即列數(shù)，即Jordan塊塊Jij的階數(shù)的階數(shù)nj1)()()(0)(232jjnniiiiyyIAyyIAyIAIA特征向量特征向量廣義特征向量廣義特征向量再細(xì)分矩陣再細(xì)分矩陣Pi 和和 Ji，在，在Jordan塊上，有塊上，有iiijijijtjJPAP, 2 , 1),(Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算步驟（標(biāo)準(zhǔn)型的計(jì)算步驟（Jordan化方法）：化方法）：求求A的特征值，由特征值的特征值，由特征值 i 的的代數(shù)重?cái)?shù)代數(shù)重?cái)?shù)ki確定主對(duì)角確定主對(duì)角線元素是的線元素是的 i 的的 Jordan 矩陣矩陣J

12、( i) 的的階數(shù)階數(shù)；解方程解方程(A iI)X = 0，求，求A關(guān)于關(guān)于 i的線性無關(guān)特征向的線性無關(guān)特征向量（量（解空間的基解空間的基），由特征值），由特征值 i 對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特特征向量的個(gè)數(shù)征向量的個(gè)數(shù)ti （即（即幾何重?cái)?shù)幾何重?cái)?shù)dimV i ）確定）確定 J( i) 中中Jordan 塊的塊的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)；由特征向量求得的由特征向量求得的Jordan 鏈條的長度確定鏈條的長度確定Jordan塊塊的的階數(shù)階數(shù)；鏈條中的向量合起來構(gòu)成可逆矩陣鏈條中的向量合起來構(gòu)成可逆矩陣P，Jordan塊構(gòu)塊構(gòu)成成JA 。例題例題1, 2 (p44，例題例題5；p45，例題例題6) 給

13、定給定A，求可逆，求可逆陣陣P和和JA使使 P-1AP = JA。例題例題3 將矩陣將矩陣A化為化為Jordan 矩陣。矩陣。0100120000110043A解解 1. 得四重根得四重根1000110000100011AJ, 0) 1(4AI. 1 2. 解方程解方程 得通解得通解, 0)(XAI.) 1 , 1, 0 , 0()0 , 0 , 1 , 2(21TTllX1000110001100001 or 知有兩個(gè)知有兩個(gè)Jordan塊！塊！2)(4 AIrt;)0 , 0 , 0 , 1()0 , 0 , 1 , 2(11TT).,(,)0 , 1, 0 , 0() 1 , 1, 0

14、, 0(221122PTT (可推知可推知JA)！例題例題4 (p46，例題例題7) 設(shè)設(shè)P3x上線性變換上線性變換T在自在自然基下的矩陣為然基下的矩陣為A，求，求P3x的基使得的基使得T在此基在此基下的矩陣為下的矩陣為Jordan矩陣。其中矩陣。其中.211212112A解解 分析：因分析：因P-1AP=JA, 故故由由Th1.14知，知，P為自然基到待求基的過渡矩為自然基到待求基的過渡矩陣。求得陣。求得P，便可得到所求！，便可得到所求！2)(3 ; 0) 1(3AIrtAI.100110001AJ的通解：的通解：0)(XAI.) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21TTllX

15、此例，分別以兩個(gè)特解出發(fā)均無解！此例，分別以兩個(gè)特解出發(fā)均無解！故而需以通解代入，再求得一個(gè)廣義特征值。故而需以通解代入，再求得一個(gè)廣義特征值。例題例題5(p47，例題例題8) 設(shè)設(shè)A為階方陣，證明矩陣為階方陣，證明矩陣A和和AT 相似。相似。證明思想：證明思想： 證明證明A和和AT 相似相似 證明證明 Jordan 矩陣矩陣JA和和JAT相似，相似， 證明證明 JA和和JAT的的Jordan 塊塊J和和JT相似。相似。證明方法：證明方法： 取逆向（反）單位矩陣取逆向（反）單位矩陣S，證明：證明：S-1=S，SJS=JT （backward identity）111S2.3 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)

16、式 (minimal polynomials) 討論討論 n 階階矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式的相關(guān)問題：的相關(guān)問題： 矩陣多項(xiàng)式（重點(diǎn)是矩陣多項(xiàng)式（重點(diǎn)是計(jì)算計(jì)算） 矩陣的化零多項(xiàng)式（矩陣的化零多項(xiàng)式（Cayley 定理）定理） 最小多項(xiàng)式最小多項(xiàng)式 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用（標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用（簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算） 相似不變性相似不變性 Jordan化的方法化的方法一、矩陣多項(xiàng)式一、矩陣多項(xiàng)式1. 定義定義0111)(aaaagmmmmIaAaAaAaAgmmmm0111)(kAAAA21)()()()(21kAgAgAgAg性質(zhì)性質(zhì)（定理（定理2.6）AX = 0 X g(A)X = g( 0 )XP

17、-1 AP = B P -1 g(A)P = g(B)3 矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式 g(A) 的計(jì)算的計(jì)算rrJ111)( )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgrmrg(J) 的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 由第一行的元素生成由第一行的元素生成1 2211) () () ( PJJJPAnnkk1 21)( )( )( ) ( PJgJgJgPAgnnkJordan塊塊3 矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式 g(A) 的計(jì)算的計(jì)算rrrrUIJ111)(mkkkJaJg0)(kiiikikkrrkUCUIJ0)( mkkiiikikkUCa00mimiki

18、ikikkUCa0)(mimikiikkUikkai0)!(!(!1)!( !ikikCikmimikikkiiUaddi0)(!1miiiUgi0)()(!13 矩陣多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式 g(A) 的計(jì)算的計(jì)算mkkkJaJg0)(miiiUgi0)()(!1rriiU1001010000100 )()(! 2)()()()()!1()(! 2)()()()() 1(ggggggrggggJgr例題例題1 設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)P44，例例5中的矩陣中的矩陣A，計(jì)算計(jì)算g(A)。解解154)(23g12121211367233PPA111523151)2()2()2()1 ()(PPPggggPAg代入代入P

19、可得所求。可得所求。二、矩陣的化零多項(xiàng)式二、矩陣的化零多項(xiàng)式 (Annihilating polynomials of Matrices)問題：?jiǎn)栴}：設(shè)設(shè)A Fnn ，A 0，問是否存在非零多項(xiàng)式問是否存在非零多項(xiàng)式g( )，使得使得 g(A) = 0 ？1.化零多項(xiàng)式化零多項(xiàng)式（P.52） 如果如果 g(A) = 0，則稱則稱g( )為矩陣為矩陣A的的化零多項(xiàng)式。化零多項(xiàng)式。 要點(diǎn)：要點(diǎn)：若若A有化零多項(xiàng)式，則有無窮多化零多項(xiàng)式；有化零多項(xiàng)式，則有無窮多化零多項(xiàng)式；g(A) = 0 的決定因素和存在性問題。的決定因素和存在性問題。 Cayley-Hamilton 定理定理（P.52， 定理定

20、理 2.7）： 設(shè)設(shè) A Fnn，f ( ) = det( IA)，則則 f (A) = 0。證明：證明：Jordan化方法推知，對(duì)任意化方法推知，對(duì)任意Jordan塊均有塊均有 f(Ji) = 0，從而有，從而有 f(A) = 0。二、矩陣的化零多項(xiàng)式二、矩陣的化零多項(xiàng)式 (Annihilating polynomials of Matrices)Cayley 定理的應(yīng)用舉例：定理的應(yīng)用舉例：使使Ak ( k n)降階至不超過降階至不超過n-1次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式(除除法余項(xiàng)法余項(xiàng))。由由 f (A) = 0, 知知A的逆矩陣可以用多項(xiàng)式表示。的逆矩陣可以用多項(xiàng)式表示。對(duì)線性變換對(duì)線性變換T

21、，f (T) = 0，即即 f (T) 為零變換。為零變換。g( ) = q( )f( )+r( )0)(0111IaAaAaAAfnnn)(0111IaAaAaAnnn0)(11221101IaAaAaAaAnnnIaIaAaAAannn012110)(0三、最小多項(xiàng)式三、最小多項(xiàng)式1 定義定義(P.54，定義定義2.5) mA( ) 是最小多項(xiàng)式是最小多項(xiàng)式mA(A) = 0 mA( ) 在化零多項(xiàng)式中次數(shù)最低在化零多項(xiàng)式中次數(shù)最低 mA( ) 最高次項(xiàng)系數(shù)是最高次項(xiàng)系數(shù)是1 mA( ) 整除任何化零多項(xiàng)式整除任何化零多項(xiàng)式mA( )的結(jié)構(gòu)：的結(jié)構(gòu)： 設(shè)設(shè) f ( ) = IA =srsr

22、r)()()(2121定理定理2.8 mA( ) = ststt)()()(2121iirt 1定理定理2.9 mA( ) = 是是 i對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的Jordan塊的塊的指數(shù)指數(shù)(最高階數(shù)最高階數(shù))。snsnn)()()(2121inf ( )與與mA( )譜相同譜相同 3 線性變換有對(duì)角矩陣表示的條件線性變換有對(duì)角矩陣表示的條件討論線性變換的最小多項(xiàng)式討論線性變換的最小多項(xiàng)式 定理定理2.10：線性變換線性變換T可以對(duì)角化的充要條件可以對(duì)角化的充要條件是是T的最小多項(xiàng)式是的最小多項(xiàng)式是一次因子的乘積一次因子的乘積。 推論：推論：若若A有一個(gè)化零多項(xiàng)式由一次因子構(gòu)有一個(gè)化零多項(xiàng)式由一次因子構(gòu)成，

23、則成，則A可對(duì)角化?？蓪?duì)角化。例題例題1 設(shè)設(shè)A R44 ，mA( ) =2)2)(1(求矩陣求矩陣A的所有可能的的所有可能的Jordan矩陣。矩陣。例題例題2 設(shè)設(shè)是矩陣是矩陣A的化零多項(xiàng)式，證明：的化零多項(xiàng)式，證明：A相似于對(duì)角矩陣。相似于對(duì)角矩陣。)4)(2)(1()(g2 , 121nn因因mA( )整除整除g( )，故，故mA( )的因子均為一次！得證。的因子均為一次！得證。不可對(duì)角化！不可對(duì)角化！ 3 線性變換有對(duì)角矩陣表示的條件線性變換有對(duì)角矩陣表示的條件討論線性變換的最小多項(xiàng)式討論線性變換的最小多項(xiàng)式例題例題3 （P.56，例例10）求求mA( )。 解解2)2)(1()(AI

24、f2)2)(1( )2)(1()(ormT2)2)(1()( 0)2)(TmIAIA例題例題4 （P.56，例例11）求求mA( )。 解解2)2)(1)(1(AI134)2(IArn23 n2)2)(1)(1( )(TmA不可對(duì)角化！不可對(duì)角化！A不可對(duì)角化！不可對(duì)角化！121nn矩陣相似問題中的一些結(jié)果矩陣相似問題中的一些結(jié)果矩陣具有：矩陣具有：相同的特征值和特征多項(xiàng)式；相同的特征值和特征多項(xiàng)式；相同的化零多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式相同的化零多項(xiàng)式和最小多項(xiàng)式相同的行列式、跡和秩；相同的行列式、跡和秩；.)( ;2121nnAtrA. ,1BAPPRBAnn).()(1BgPAgP)2( )()(1nmggaAIniii的階niinnnnnii1111) 1()()(022111)(aaaannnnnn矩陣相似問題中的一些結(jié)果矩陣相似問題中的一些結(jié)果冪等矩陣冪等矩陣、冪零矩陣和乘方矩陣冪零矩陣和乘方矩陣冪等矩陣（冪等矩陣（idempotent）：）：A2 = A冪零矩陣（冪零矩陣（nilpotent）：）