和機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺相關(guān)的數(shù)學(xué)

1、和機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺相關(guān)的數(shù)學(xué)（from LinDahua） 已有 3821 次閱讀 2010-1-6 12:57 |個(gè)人分類:生活點(diǎn)滴|系統(tǒng)分類:科研筆記|關(guān)鍵詞:機(jī)器學(xué)習(xí)，計(jì)算機(jī)視覺，數(shù)學(xué) From:  1. 線性代數(shù) (Linear Algebra)：我想國(guó)內(nèi)的大學(xué)生都會(huì)學(xué)過這門課程，但是，未必每一位老師都能貫徹它的精要。這門學(xué)科對(duì)于Learning是必備的基礎(chǔ)，對(duì)它的透徹掌握是必不可少的。我在科大一年級(jí)的時(shí)候就學(xué)習(xí)了這門課，后來到了香港后，又重新把線性代數(shù)讀了一遍，所讀的是Introduction to Linear Algebra (3rd Ed.)  by G

2、ilbert Strang.這本書是MIT的線性代數(shù)課使用的教材，也是被很多其它大學(xué)選用的經(jīng)典教材。它的難度適中，講解清晰，重要的是對(duì)許多核心的概念討論得比較透徹。我個(gè)人覺得，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，最重要的不是去熟練矩陣運(yùn)算和解方程的方法這些在實(shí)際工作中MATLAB可以代勞，關(guān)鍵的是要深入理解幾個(gè)基礎(chǔ)而又重要的概念：子空間(Subspace)，正交(Orthogonality)，特征值和特征向量(Eigenvalues and eigenvectors)，和線性變換(Linear transform)。從我的角度看來，一本線代教科書的質(zhì)量，就在于它能否給這些根本概念以足夠的重視，能否把它們的聯(lián)系講清楚

3、。Strang的這本書在這方面是做得很好的。而且，這本書有個(gè)得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)。書的作者長(zhǎng)期在MIT講授線性代數(shù)課(18.06)，課程的video在MIT的Open courseware網(wǎng)站上有提供。有時(shí)間的朋友可以一邊看著名師授課的錄像，一邊對(duì)照課本學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)。/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/CourseHome/index.htm 2. 概率和統(tǒng)計(jì) (Probability and Statistics):概率論和統(tǒng)計(jì)的入門教科書很多，我目前也沒有特別的推薦。我在這里想介紹的是一本關(guān)于多元統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)教科書：Appli

4、ed Multivariate Statistical Analysis (5th Ed.)  by Richard A. Johnson and Dean W. Wichern這本書是我在剛接觸向量統(tǒng)計(jì)的時(shí)候用于學(xué)習(xí)的，我在香港時(shí)做研究的基礎(chǔ)就是從此打下了。實(shí)驗(yàn)室的一些同學(xué)也借用這本書學(xué)習(xí)向量統(tǒng)計(jì)。這本書沒有特別追求數(shù)學(xué)上的深度，而是以通俗易懂的方式講述主要的基本概念，讀起來很舒服，內(nèi)容也很實(shí)用。對(duì)于Linear regression, factor analysis, principal component analysis (PCA), and canonical compon

5、ent analysis (CCA)這些Learning中的基本方法也展開了初步的論述。之后就可以進(jìn)一步深入學(xué)習(xí)貝葉斯統(tǒng)計(jì)和Graphical models。一本理想的書是Introduction to Graphical Models (draft version).  by M. Jordan and C. Bishop.我不知道這本書是不是已經(jīng)出版了（不要和Learning in Graphical Models混淆，那是個(gè)論文集，不適合初學(xué)）。這本書從基本的貝葉斯統(tǒng)計(jì)模型出發(fā)一直深入到復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)和推斷，深入淺出，statistical learning的許多重要方面

6、都在此書有清楚論述和詳細(xì)講解。MIT內(nèi)部可以access，至于外面，好像也是有電子版的。3. 分析 (Analysis)：我想大家基本都在大學(xué)就學(xué)過微積分或者數(shù)學(xué)分析，深度和廣度則隨各個(gè)學(xué)校而異了。這個(gè)領(lǐng)域是很多學(xué)科的基礎(chǔ)，值得推薦的教科書莫過于Principles of Mathematical Analysis, by Walter Rudin有點(diǎn)老，但是絕對(duì)經(jīng)典，深入透徹。缺點(diǎn)就是比較艱深這是Rudin的書的一貫風(fēng)格，適合于有一定基礎(chǔ)后回頭去看。在分析這個(gè)方向，接下來就是泛函分析(Functional Analysis)。Introductory Functional Analysis

7、with Applications, by Erwin Kreyszig.適合作為泛函的基礎(chǔ)教材，容易切入而不失全面。我特別喜歡它對(duì)于譜論和算子理論的特別關(guān)注，這對(duì)于做learning的研究是特別重要的。Rudin也有一本關(guān)于functional analysis的書，那本書在數(shù)學(xué)上可能更為深刻，但是不易于上手，所講內(nèi)容和learning的切合度不如此書。在分析這個(gè)方向，還有一個(gè)重要的學(xué)科是測(cè)度理論(Measure theory)，但是我看過的書里面目前還沒有感覺有特別值得介紹的。4. 拓?fù)?(Topology)：在我讀過的基本拓?fù)鋾饔刑厣?，但是綜合而言，我最推崇：Topology (2nd

8、 Ed.)  by James Munkres這本書是Munkres教授長(zhǎng)期執(zhí)教MIT拓?fù)湔n的心血所凝。對(duì)于一般拓?fù)鋵W(xué)(General topology)有全面介紹，而對(duì)于代數(shù)拓?fù)?Algebraic topology)也有適度的探討。此書不需要特別的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以開始學(xué)習(xí)，由淺入深，從最基本的集合論概念（很多書不屑講這個(gè)）到Nagata-Smirnov Theorem和Tychonoff theorem等較深的定理（很多書避開了這個(gè)）都覆蓋了。講述方式思想性很強(qiáng)，對(duì)于很多定理，除了給出證明過程和引導(dǎo)你思考其背后的原理脈絡(luò)，很多令人贊嘆的亮點(diǎn)我常讀得忘卻饑餓，不愿釋手。很多習(xí)題很有水

9、平。5. 流形理論 (Manifold theory)：對(duì)于拓?fù)浜头治鲇幸欢ò盐諘r(shí)，方可開始學(xué)習(xí)流形理論，否則所學(xué)只能流于浮淺。我所使用的書是Introduction to Smooth Manifolds.  by John M. Lee雖然書名有introduction這個(gè)單詞，但是實(shí)際上此書涉入很深，除了講授了基本的manifold, tangent space, bundle, sub-manifold等，還探討了諸如綱理論(Category theory)，德拉姆上同調(diào)(De Rham cohomology)和積分流形等一些比較高級(jí)的專題。對(duì)于李群和李代數(shù)也有相當(dāng)多的討論。

10、行文通俗而又不失嚴(yán)謹(jǐn)，不過對(duì)某些記號(hào)方式需要熟悉一下。雖然李群論是建基于平滑流形的概念之上，不過，也可能從矩陣出發(fā)直接學(xué)習(xí)李群和李代數(shù)這種方法對(duì)于急需使用李群論解決問題的朋友可能更加實(shí)用。而且，對(duì)于一個(gè)問題從不同角度看待也利于加深理解。下面一本書就是這個(gè)方向的典范：Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction.  by Brian C. Hall此書從開始即從矩陣切入，從代數(shù)而非幾何角度引入矩陣?yán)钊旱母拍?。并通過定義運(yùn)算的方式建立exponential mapping，并就此引入李代

11、數(shù)。這種方式比起傳統(tǒng)的通過“左不變向量場(chǎng)(Left-invariant vector field)“的方式定義李代數(shù)更容易為人所接受，也更容易揭示李代數(shù)的意義。最后，也有專門的論述把這種新的定義方式和傳統(tǒng)方式聯(lián)系起來。 無論是研究Vision, Learning還是其它別的學(xué)科，數(shù)學(xué)終究是根基所在。學(xué)好數(shù)學(xué)是做好研究的基石。學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵歸根結(jié)底是自己的努力，但是選擇一本好的書還是大有益處的。不同的人有不同的知識(shí)背景，思維習(xí)慣和研究方向，因此書的選擇也因人而異，只求適合自己，不必強(qiáng)求一致。上面的書僅僅是從我個(gè)人角度的出發(fā)介紹的，我的閱讀經(jīng)歷實(shí)在非常有限，很可能還有比它們更好的書（不妨也告知我一

12、聲，先說聲謝謝了）。 Learning中的代數(shù)結(jié)構(gòu)的建立Learning是一個(gè)融會(huì)多種數(shù)學(xué)于一體的領(lǐng)域。說起與此有關(guān)的數(shù)學(xué)學(xué)科，我們可能會(huì)迅速聯(lián)想到線性代數(shù)以及建立在向量空間基礎(chǔ)上的統(tǒng)計(jì)模型事實(shí)上，主流的論文中確實(shí)在很大程度上基于它們。Rn (n-維實(shí)向量空間) 是我們?cè)趐aper中見到最多的空間，它確實(shí)非常重要和實(shí)用，但是，僅僅依靠它來描述我們的世界并不足夠。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家們給我們提供了豐富得多的工具。“空間”(space)，這是一個(gè)很有意思的名詞，幾乎出現(xiàn)在所有的數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)定義之中。歸納起來，所謂空間就是指一個(gè)集合以及在上面定義的某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。關(guān)于這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的定義或者公理，

13、就成為這個(gè)數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，一切由此而展開。還是從我們最熟悉的空間Rn 說起吧。大家平常使用這個(gè)空間的時(shí)候，除了線性運(yùn)算，其實(shí)還用到了別的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括度量結(jié)構(gòu)和內(nèi)積結(jié)構(gòu)。·                   第一，它是一個(gè)拓?fù)淇臻g(Topological space)。而且從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，具有非常優(yōu)良的性質(zhì)：Normal (implying Hausdorff and Regular), Locally

14、 Compact, Paracompact, with Countable basis, Simply connected (implying connected and path connected), Metrizable.  ·                   第二，它是一個(gè)度量空間(Metric space)。我們可以計(jì)算上面任意兩點(diǎn)的距離。·  

15、0;                第三，它是一個(gè)有限維向量空間(Finite dimensional space)。因此，我們可以對(duì)里面的元素進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算（加法和數(shù)乘），我們還可以賦予它一組有限的基，從而可以用有限維坐標(biāo)表達(dá)每個(gè)元素。·                 

16、;  第四，基于度量結(jié)構(gòu)和線性運(yùn)算結(jié)構(gòu)，可以建立起分析(Analysis)體系。我們可以對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行微分，積分，建立和求解微分方程，以及進(jìn)行傅立葉變換和小波分析。·                   第五，它是一個(gè)希爾伯特空間（也就是完備的內(nèi)積空間）(Hilbert space, Complete inner product space)。它有一套很方便計(jì)算的內(nèi)積(inner product)

17、結(jié)構(gòu)這個(gè)空間的度量結(jié)構(gòu)其實(shí)就是從其內(nèi)積結(jié)構(gòu)誘導(dǎo)出來。更重要的，它是完備的(Complete)代表任何一個(gè)柯西序列(Cauchy sequence)都有極限很多人有意無意中其實(shí)用到了這個(gè)特性，不過習(xí)慣性地認(rèn)為是理所當(dāng)然了。·                   第六，它上面的線性映射構(gòu)成的算子空間仍舊是有限維的一個(gè)非常重要的好處就是，所有的線性映射都可以用矩陣唯一表示。特別的，因?yàn)樗怯邢蘧S完備空間，它的泛函

18、空間和它本身是同構(gòu)的，也是Rn。因而，它們的譜結(jié)構(gòu)，也就可以通過矩陣的特征值和特征向量獲得。·                   第七，它是一個(gè)測(cè)度空間可以計(jì)算子集的大小（面積/體積）。正因?yàn)榇耍覀儾趴赡茉谏厦娼⒏怕史植?distribution)這是我們接觸的絕大多數(shù)連續(xù)統(tǒng)計(jì)模型的基礎(chǔ)。我們可以看到，這是一個(gè)非常完美的空間，為我們的應(yīng)用在數(shù)學(xué)上提供了一切的方便，在上面，我們可以理所當(dāng)然地認(rèn)為它具有我

19、們希望的各種良好性質(zhì)，而無須特別的證明；我們可以直接使用它的各種運(yùn)算結(jié)構(gòu)，而不需要從頭建立；而且很多本來不一樣的概念在這里變成等價(jià)的了，我們因此不再需要辨明它們的區(qū)別。以此為界，Learning的主要工作分成兩個(gè)大的范疇：1.    建立一種表達(dá)形式，讓它處于上面討論的Rn空間里面。2.    獲得了有限維向量表達(dá)后，建立各種代數(shù)算法或者統(tǒng)計(jì)模型進(jìn)行分析和處理。這里只討論第一個(gè)范疇。先看看，目前用得比較廣泛的一些方法：1.    直接基于原始數(shù)據(jù)建立表達(dá)。我們關(guān)心的最終目標(biāo)是一個(gè)個(gè)現(xiàn)實(shí)世界中的對(duì)象：一幅圖

20、片，一段語音，一篇文章，一條交易記錄，等等。這些東西大部分本身沒有附著一個(gè)數(shù)值向量的。為了構(gòu)造一個(gè)向量表達(dá)，我們可以把傳感器中記錄的數(shù)值，或者別的什么方式收集的數(shù)值數(shù)據(jù)按照一定的順序羅列出來，就形成一個(gè)向量了。如果有n個(gè)數(shù)字，就認(rèn)為它們?cè)赗n里面。不過，這在數(shù)學(xué)上有一點(diǎn)小問題，在大部分情況下，根據(jù)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的物理原理，這些向量的值域并不能充滿整個(gè)空間。比如圖像的像素值一般是正值，而且在一個(gè)有界閉集之中。這帶來的問題是，對(duì)它們進(jìn)行線性運(yùn)算很可能得到的結(jié)果會(huì)溢出正常的范圍在大部分paper中，可能只是采用某些heuristics的手段進(jìn)行簡(jiǎn)單處理，或者根本不管，很少見到在數(shù)學(xué)上對(duì)此進(jìn)行深入探討的不過

21、如果能解決實(shí)際問題，這也是無可厚非的，畢竟不是所有的工作都需要像純數(shù)學(xué)那樣追求嚴(yán)謹(jǐn)。2.    量化(quantization)。這是在處理連續(xù)信號(hào)時(shí)被廣泛采用的方式。只是習(xí)以為常，一般不提名字而已。比如一個(gè)空間信號(hào)（Vision中的image）或者時(shí)間信號(hào)，它們的domain中的值是不可數(shù)無限大的(uncountably infinite)，不要說表示為有限維向量，即使表達(dá)為無限序列也是不可能的。在這種情況下，一般在有限域內(nèi)，按照一定順序每隔一定距離取一個(gè)點(diǎn)來代表其周圍的點(diǎn)，從而形成有限維的表達(dá)。這就是信號(hào)在時(shí)域或空域的量化。這樣做不可避免要丟失信息。但是，由于

22、小鄰域內(nèi)信號(hào)的高度相關(guān)，信息丟失的程度往往并不顯著。而且，從理論上說，這相當(dāng)于在頻域中的低通過率。對(duì)于有限能量的連續(xù)信號(hào)，不可能在無限高的頻域中依然保持足夠的強(qiáng)度，只要采樣密度足夠，丟失的東西可以任意的少。除了表示信號(hào)，對(duì)于幾何形體的表達(dá)也經(jīng)常使用量化，比如表示curve和surface。3.    找出有限個(gè)數(shù)充分表達(dá)一個(gè)對(duì)象也許不是最困難的。不過,在其上面建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)卻未必了。一般來說，我們要對(duì)其進(jìn)行處理，首先需要一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)用以描述空間上的點(diǎn)是如何聯(lián)系在一起。直接建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)上往往非常困難，也未必實(shí)用。因此，絕大部分工作采取的方式是首先建立度量結(jié)構(gòu)。一

23、個(gè)度量空間，其度量會(huì)自然地誘導(dǎo)出一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不過，很多情況下我們似乎會(huì)無視它的存在。最簡(jiǎn)單的情況，就是使用原始向量表達(dá)的歐氏距離(Euclidean distance)作為metric。不過，由于原始表達(dá)數(shù)值的不同特性，這種方式效果一般不是特別好，未必能有效表達(dá)實(shí)際對(duì)象的相似性（或者不相似性）。因此，很多工作會(huì)有再此基礎(chǔ)上進(jìn)行度量的二次建立。方式是多種多樣的，一種是尋求一個(gè)映射，把原空間的元素變換到一個(gè)新的空間，在那里歐氏距離變得更加合適。這個(gè)映射發(fā)揮的作用包括對(duì)信息進(jìn)行篩選，整合，對(duì)某些部分進(jìn)行加強(qiáng)或者抑制。這就是大部分關(guān)于feature selection，feature extracti

24、on，或者subspace learning的文章所要做的。另外一種方式，就是直接調(diào)節(jié)距離的計(jì)算方式（有些文章稱之為metric learning）。這兩種方式未必是不同的。如果映射是單射，那么它相當(dāng)于在原空間建立了一個(gè)不同的度量。反過來，通過改變距離計(jì)算方式建立的度量在特定的條件下對(duì)應(yīng)于某種映射。4.    大家可能注意到，上面提到的度量建立方法，比如歐氏距離，它需要對(duì)元素進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算。對(duì)于普通的向量空間，線性運(yùn)算是天然賦予的，我們無須專門建立，所以可以直接進(jìn)行度量的構(gòu)造這也是大部分工作的基礎(chǔ)?？墒?，有些事物其原始表達(dá)不是一個(gè)n-tuple，它可能是一個(gè)set，

25、一個(gè)graph，或者別的什么特別的object。怎么建立代數(shù)運(yùn)算呢？一種方法是直接建立。就是給這些東西定義自己的加法和數(shù)乘。這往往不是那么直接（能很容易建立的線性運(yùn)算結(jié)構(gòu)早已經(jīng)被建立好并廣泛應(yīng)用了），可能需要涉及很深的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且要有對(duì)問題本身的深入了解和數(shù)學(xué)上的洞察力。不過，一個(gè)新的代數(shù)結(jié)構(gòu)一旦建立起來，其它的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，包括拓?fù)?，度量，分析，以及?nèi)積結(jié)構(gòu)也隨之能被自然地誘導(dǎo)出來，我們也就具有了對(duì)這個(gè)對(duì)象空間進(jìn)行各種數(shù)學(xué)運(yùn)算和操作的基礎(chǔ)。加法和數(shù)乘看上去簡(jiǎn)單，但是如果我們對(duì)于本來不知道如何進(jìn)行加法和數(shù)乘的空間建立了這兩樣?xùn)|西，其理論上的貢獻(xiàn)是非常大的。（一個(gè)小問題：大家常用各種graphic

26、al model，但是，每次這些model都是分別formulate，然后推導(dǎo)出estimation和evaluation的步驟方法。是否可能對(duì)"the space of graphical model"或者它的某個(gè)特定子集建立某種代數(shù)結(jié)構(gòu)呢？（不一定是線性空間，比如群，環(huán)，廣群， etc）從而使得它們?cè)诖鷶?shù)意義上統(tǒng)一起來，而相應(yīng)的estimation或者evaluation也可以用過代數(shù)運(yùn)算derive。這不是我的研究范圍，也超出了我目前的能力和知識(shí)水平，只是我相信它在理論上的重要意義，留作一個(gè)遠(yuǎn)景的問題。事實(shí)上，數(shù)學(xué)中確實(shí)有一個(gè)分支叫做 Algebraic statis

27、tics 可能在探討類似的問題，不過我現(xiàn)在對(duì)此了解非常有限。）5.    回到我們的正題，除了直接建立運(yùn)算定義，另外一種方式就是嵌入(embedding)到某個(gè)向量空間，從而繼承其運(yùn)算結(jié)構(gòu)為我所用。當(dāng)然這種嵌入也不是亂來，它需要保持原來這些對(duì)象的某種關(guān)系。最常見的就是保距嵌入(isometric embedding)，我們首先建立度量結(jié)構(gòu)（繞過向量表達(dá)，直接對(duì)兩個(gè)對(duì)象的距離通過某種方法進(jìn)行計(jì)算），然后把這個(gè)空間嵌入到目標(biāo)空間，通常是有限維向量空間，要求保持度量不變?！扒度搿笔且环N在數(shù)學(xué)上應(yīng)用廣泛的手段，其主要目標(biāo)就是通過嵌入到一個(gè)屬性良好，結(jié)構(gòu)豐富的空間，從而利用

28、其某種結(jié)構(gòu)或者運(yùn)算體系。在拓?fù)鋵W(xué)中，嵌入到metric space是對(duì)某個(gè)拓?fù)淇臻g建立度量的重要手段。而在這里，我們是已有度量的情況下，通過嵌入獲取線性運(yùn)算的結(jié)構(gòu)。除此以來，還有一種就是前些年比較熱的manifold embedding，這個(gè)是通過保持局部結(jié)構(gòu)的嵌入，獲取全局結(jié)構(gòu)，后面還會(huì)提到。6.    接下來的一個(gè)重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)，就是內(nèi)積(inner product)結(jié)構(gòu)。內(nèi)積結(jié)構(gòu)一旦建立，會(huì)直接誘導(dǎo)出一種性質(zhì)良好的度量，就是范數(shù)(norm)，并且進(jìn)而誘導(dǎo)出拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。一般來說，內(nèi)積需要建立在線性空間的基礎(chǔ)上，否則連一個(gè)二元運(yùn)算是否是內(nèi)積都無法驗(yàn)證。不過，ker

29、nel理論指出，對(duì)于一個(gè)空間，只要定義一個(gè)正定核(positive kernel)一個(gè)符合正定條件的二元運(yùn)算，就必然存在一個(gè)希爾伯特空間，其內(nèi)積運(yùn)算等效于核運(yùn)算。這個(gè)結(jié)論的重要意義在于，我們可以繞開線性空間，通過首先定義kernel的方式，誘導(dǎo)出一個(gè)線性空間(叫做再生核希爾伯特空間 Reproducing Kernel Hilbert Space)，從而我們就自然獲得我們所需要的度量結(jié)構(gòu)和線性運(yùn)算結(jié)構(gòu)。這是kernel theory的基礎(chǔ)。在很多教科書中，以二次核為例子，把二維空間變成三維，然后告訴大家kernel用于升維。對(duì)于這種說法，我一直認(rèn)為在一定程度上是誤導(dǎo)的。事實(shí)上，kernel的最

30、首要意義是內(nèi)積的建立（或者改造），從而誘導(dǎo)出更利于表達(dá)的度量和運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對(duì)于一個(gè)問題而言，選擇一個(gè)切合問題的kernel比起關(guān)注“升維”來得更為重要。kernel被視為非線性化的重要手段，用于處理非高斯的數(shù)據(jù)分布。這是有道理的。通過nonlinear kernel改造的內(nèi)積空間，其結(jié)構(gòu)和原空間的結(jié)構(gòu)確實(shí)不是線性關(guān)聯(lián)，從這個(gè)意義上說，它實(shí)施了非線性化。不過，我們還應(yīng)該明白，它的最終目標(biāo)還是要回到線性空間，新的內(nèi)積空間仍舊是一個(gè)線性空間，它一旦建立，其后的運(yùn)算都是線性的，因此，kernel的使用就是為了尋求一個(gè)新的線性空間，使得線性運(yùn)算更加合理非線性化的改造最終仍舊是要為線性運(yùn)算服務(wù)。值得一提的是

31、，kernelization本質(zhì)上說還是一種嵌入過程：對(duì)于一個(gè)空間先建立內(nèi)積結(jié)構(gòu)，并且以保持內(nèi)積結(jié)構(gòu)不變的方式嵌入到一個(gè)高維的線性空間，從而繼承其線性運(yùn)算體系。7.    上面說到的都是從全局的方式建立代數(shù)結(jié)構(gòu)的過程，但是那必須以某種全局結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)（無論預(yù)先定義的是運(yùn)算，度量還是內(nèi)積，都必須適用于全空間。）但是，全局結(jié)構(gòu)未必存在或者適合，而局部結(jié)構(gòu)往往簡(jiǎn)單方便得多。這里就形成一種策略，以局部而達(dá)全局這就是流形(manifold)的思想，而其則根源于拓?fù)鋵W(xué)。從拓?fù)鋵W(xué)的角度說，流形就是一個(gè)非常優(yōu)良的拓?fù)淇臻g：符合Hausdorff分離公理（任何不同的兩點(diǎn)都可以通過不相

32、交的鄰域分離），符合第二可數(shù)公理（具有可數(shù)的拓?fù)浠?，并且更重要的是，局部同胚于Rn。因此，一個(gè)正則(Regular)流形基本就具有了各種最良好的拓?fù)涮匦?。而局部同胚于Rn，代表了它至少在局部上可以繼承Rn的各種結(jié)構(gòu)，比如線性運(yùn)算和內(nèi)積，從而建立分析體系。事實(shí)上，拓?fù)淞餍卫^承這些結(jié)構(gòu)后形成的體系，正是現(xiàn)代流形理論研究的重點(diǎn)。繼承了分析體系的流形，就形成了微分流形(Differential manifold)，這是現(xiàn)代微分幾何的核心。而微分流形各點(diǎn)上的切空間(Tangent Space)，則獲得了線性運(yùn)算的體系。而進(jìn)一步繼承了局部?jī)?nèi)積結(jié)構(gòu)的流形，則形成黎曼流形(Riemann manifold)

33、，而流形的全局度量體系測(cè)地距離(geodesics)正是通過對(duì)局部度量的延伸來獲得。進(jìn)一步的，當(dāng)流行本身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和切空間上的線性結(jié)構(gòu)發(fā)生關(guān)系也就獲得一簇拓?fù)潢P(guān)聯(lián)的線性空間向量叢(Vector bundle)。雖然manifold theory作為現(xiàn)代幾何學(xué)的核心，是一個(gè)博大精深的領(lǐng)域，但是它在learning中的應(yīng)用則顯得非常狹窄。事實(shí)上，對(duì)于manifold，很多做learning的朋友首先反應(yīng)的是ISOMAP, LLE, eigenmap之類的算法。這些都屬于embedding。當(dāng)然，這確實(shí)是流形理論的一個(gè)重要方面。嚴(yán)格來說，這要求是從原空間到其映像的微分同胚映射，因此，嵌入后的空間在局

34、部上具有相同的分析結(jié)構(gòu)，同時(shí)也獲得了各種好處全局的線性運(yùn)算和度量。不過，這個(gè)概念在learning的應(yīng)用中被相當(dāng)程度的放寬了微分同胚并不能被完全保證，而整個(gè)分析結(jié)構(gòu)也不能被完全保持。大家更關(guān)注的是保持局部結(jié)構(gòu)中的某個(gè)方面不過這在實(shí)際應(yīng)用中的折衷方案也是可以理解的。事實(shí)表明，當(dāng)原空間中的數(shù)據(jù)足夠密集的情況下，這些算法工作良好。Learning中流形應(yīng)用的真正問題在于它被過濫地運(yùn)用于稀疏空間(Sparse space)，事實(shí)上在高維空間中撒進(jìn)去幾千乃至幾十萬點(diǎn)，即使最相鄰的幾點(diǎn)也難稱為局部了，局部的范圍和全局的范圍其實(shí)已經(jīng)沒有了根本差別，連局部的概念都立不住腳的時(shí)候，后面基于其展開的一切工作也都沒

35、有太大的意義。事實(shí)上，稀疏空間有其本身的規(guī)律和法則，通過局部形成全局的流形思想從本質(zhì)上是不適合于此的。雖然，流形是一種非常美的理論，但是再漂亮的理論也需要用得其所它應(yīng)該用于解決具有密集數(shù)據(jù)分布的低維空間。至于，一些paper所報(bào)告的在高維空間（比如人臉）運(yùn)用流形方法獲得性能提升，其實(shí)未必是因?yàn)椤傲餍巍北旧硭鸬淖饔?，而很可能是其它方面的因素?.    流形在實(shí)際應(yīng)用中起重要作用的還有兩個(gè)方面：一個(gè)是研究幾何形體的性質(zhì)（我們暫且不談這個(gè)），還有就是它和代數(shù)結(jié)構(gòu)的結(jié)合形成的李群(Lie group)和李代數(shù)(Lie algebra)。當(dāng)我們研究的對(duì)象是變換本身的時(shí)候

36、，它們構(gòu)成的空間是有其特殊性的，比如所有子空間投影形成了Grassmann流形，所有的可逆線性算子，或者仿射算子，也形成各自的流形。對(duì)他們的最重要操作是變換的結(jié)合，而不是加法數(shù)乘，因此，它們上面定義的更合適的代數(shù)結(jié)構(gòu)應(yīng)該是群和不是線性空間。而群和微分流形的結(jié)合體李群則成為它們最合適的描述體系而其切空間則構(gòu)成了一種加強(qiáng)的線性空間：李代數(shù)，用于描述其局部變化特性。李代數(shù)和李群的關(guān)系是非常漂亮的。它把變換的微變化轉(zhuǎn)換成了線性空間的代數(shù)運(yùn)算，使得移植傳統(tǒng)的基于線性空間的模型和算法到李空間變得可能。而且李代數(shù)中的矩陣比起變換本身的矩陣甚至更能反映變換的特性。幾何變換的李代數(shù)矩陣的譜結(jié)構(gòu)就能非常方便地用于

37、分析變換的幾何特性。最后，回頭總結(jié)一下關(guān)于嵌入這個(gè)應(yīng)用廣泛的策略，在learning中的isometry, kernel和manifold embedding都屬于此范疇，它們分別通過保持原空間的度量結(jié)構(gòu)，內(nèi)積結(jié)構(gòu)和局部結(jié)構(gòu)來獲得到目標(biāo)（通常是向量空間）的嵌入，從而獲得全局的坐標(biāo)表達(dá)，線性運(yùn)算和度量，進(jìn)而能被各種線性算法和模型所應(yīng)用。在獲得這一系列好處的同時(shí)，也有值得我們注意的地方。首先，嵌入只是一種數(shù)學(xué)手段，并不能取代對(duì)問題本身的研究和分析。一種不恰當(dāng)?shù)脑冀Y(jié)構(gòu)或者嵌入策略，很多時(shí)候甚至適得其反比如稀疏空間的流形嵌入，或者選取不恰當(dāng)?shù)膋ernel。另外，嵌入適合于分析，而未必適合于重建或者合

38、成。這是因?yàn)榍度胧且粋€(gè)單射(injection)，目標(biāo)空間不是每一個(gè)點(diǎn)都和原空間能有效對(duì)應(yīng)的。嵌入之后的運(yùn)算往往就打破了原空間施加的限制。比如兩個(gè)元素即使都是從原空間映射過來，它們的和卻未必有原像，這時(shí)就不能直接地回到原空間了。當(dāng)然可以考慮在原空間找一個(gè)點(diǎn)它的映射與之最近，不過這在實(shí)際中的有效性是值得商榷的。和Learning有關(guān)的數(shù)學(xué)世界是非常廣博的，我隨著學(xué)習(xí)和研究的深入，越來越發(fā)現(xiàn)在一些我平常不注意的數(shù)學(xué)分支中有著適合于問題的結(jié)構(gòu)和方法。比如，廣群(groupoid)和廣代數(shù)(algebroid)能克服李群和李代數(shù)在表示連續(xù)變換過程中的一些困難這些困難困擾了我很長(zhǎng)時(shí)間。解決問題和建立數(shù)學(xué)

39、模型是相輔相成的，一方面，一個(gè)清晰的問題將使我們有明確的目標(biāo)去尋求合適的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，另一方面，對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的深入理解對(duì)于指導(dǎo)問題的解決也是有重要作用的。對(duì)于解決一個(gè)問題來說，數(shù)學(xué)工具的選擇最重要的是適合，而不是高深，但是如果在現(xiàn)有數(shù)學(xué)方法陷入困難的時(shí)候，尋求更高級(jí)別的數(shù)學(xué)的幫助，往往能柳暗花明。數(shù)學(xué)家長(zhǎng)時(shí)間的努力解決的很多問題，并不都是理論游戲，他們的解決方案中很多時(shí)候蘊(yùn)含著我們需要的東西，而且可能導(dǎo)致對(duì)更多問題的解決但是我們需要時(shí)間去學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)它們。拓?fù)洌河巫哂谥庇^與抽象之間近日來，抽空再讀了一遍點(diǎn)集拓?fù)?Point Set Topology)，這是我第三次重新學(xué)習(xí)這個(gè)理論了。我看電視劇和小說，

40、極少能有興致看第二遍，但是，對(duì)于數(shù)學(xué)，每看一次都有新的啟發(fā)和收獲。代數(shù)，分析，和拓?fù)?，被稱為是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大柱石。最初讀拓?fù)?，是在兩三年前，由于學(xué)習(xí)流形理論的需要?？墒牵S著知識(shí)的積累，發(fā)現(xiàn)它是很多理論的根基?？梢哉f，沒有拓?fù)?，就沒有現(xiàn)代意義的分析與幾何。我們?cè)诟鞣N數(shù)學(xué)分支中接觸到的最基本的概念，比如，極限，連續(xù)，距離（度量），邊界，路徑，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，都源于拓?fù)?。拓?fù)鋵W(xué)是一門非常奇妙的學(xué)科，它把最直觀的現(xiàn)象和最抽象的概念聯(lián)系在一起了。拓?fù)涿枋龅氖瞧毡槭褂玫母拍睿ū热玳_集，閉集，連續(xù)），我們對(duì)這些概念習(xí)以為常，理所當(dāng)然地使用著，可是，真要定義它，則需要對(duì)它們本質(zhì)的最深刻的洞察。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)

41、間的努力，得到了這些概念的現(xiàn)代定義。這里面很多第一眼看上去，會(huì)感覺驚奇怎么會(huì)定義成這個(gè)樣子。首先是開集。在學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)時(shí)，我們都學(xué)習(xí)開區(qū)間 (a, b)?？墒牵@只是在一條線上的，怎么推廣到二維空間，或者更高維空間，或者別的形體上呢？最直觀的想法，就是“一個(gè)不包含邊界的集合”?？墒牵瑔栴}來了，給一個(gè)集合，何謂“邊界”？在拓?fù)鋵W(xué)里面，開集(Open Set)是最根本的概念，它是定義在集合運(yùn)算的基礎(chǔ)上的。它要求開集符合這樣的條件：開集的任意并集和有限交集仍為開集。我最初的時(shí)候，對(duì)于這樣的定義方式，確實(shí)百思不解。不過，讀下去，看了和做了很多證明后，發(fā)現(xiàn)，這樣的定義一個(gè)很重要的意義在于：它保證了開集中

42、每個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)鄰域包含在這個(gè)集合內(nèi)所有點(diǎn)都和外界（補(bǔ)集）保持距離。這樣的理解應(yīng)該比使用集合運(yùn)算的定義有更明晰的幾何意義。但是，直觀的東西不容易直接形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x，使用集合運(yùn)算則更為嚴(yán)格。而集合運(yùn)算定義中，任意并集的封閉性是對(duì)這個(gè)幾何特點(diǎn)的內(nèi)在保證。另外一個(gè)例子就是“連續(xù)函數(shù)”(Continuous Function)。在學(xué)微積分時(shí)，一個(gè)耳熟能詳?shù)亩x是“對(duì)任意的epsilon > 0，存在delta > 0，使得?！?，背后最直觀的意思就是“足夠近的點(diǎn)保證映射到任意小的范圍內(nèi)”?？墒?，epsilon, delta都依賴于實(shí)空間，不在實(shí)空間的映射又怎么辦呢？拓?fù)涞亩x是“如果一個(gè)映射的

43、值域中任何開集的原象都是開集，那么它連續(xù)。”這里就沒有epsilon什么事了?！伴_集的原象是開集”這里的關(guān)鍵在于，在拓?fù)鋵W(xué)中，開集的最重要意義就是要傳遞“鄰域”的意思開集本身就是所含點(diǎn)的鄰域。這樣連續(xù)定義成這樣就順理成章了。稍微把說法調(diào)節(jié)一下，上面的定義就變成了“對(duì)于f(x)的任意鄰域U，都有x的一個(gè)鄰域V，使得V里面的點(diǎn)都映射到U中。” 這里面，我們可以感受到為什么開集在拓?fù)鋵W(xué)中有根本性的意義。既然開集傳達(dá)“鄰域”的意思，那么，它最重要的作用就是要表達(dá)哪些點(diǎn)靠得比較近。給出一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，就是要指出哪些是開集，從而指出哪些點(diǎn)靠得比較近，這樣就形成了一個(gè)聚集結(jié)構(gòu)這就是拓?fù)?。可是這也可以通過距離來

44、描述，為什么要用開集呢，反而不直觀了。某種意義上說，拓?fù)涫恰岸ㄐ浴钡?，距離度量是“定量”的。隨著連續(xù)變形，距離會(huì)不斷變化，但是靠近的點(diǎn)還是靠近，因此本身固有的拓?fù)涮匦圆粫?huì)改變。拓?fù)鋵W(xué)研究的就是這種本質(zhì)特性連續(xù)變化中的不變性。在拓?fù)涞幕靖拍钪?，最令人費(fèi)解的，莫過于“緊性”(Compactness)。它描述一個(gè)空間或者一個(gè)集合“緊不緊”。正式的定義是“如果一個(gè)集合的任意開覆蓋都有有限子覆蓋，那么它是緊的”。乍一看，實(shí)在有點(diǎn)莫名其妙。它究竟想描述一個(gè)什么東西呢？和“緊”這個(gè)形容詞又怎么扯上關(guān)系呢？一個(gè)直觀一點(diǎn)的理解，幾個(gè)集合是“緊”的，就是說，無限個(gè)點(diǎn)撒進(jìn)去，不可能充分散開。無論鄰域多么小，必然有

45、一些鄰域里面有無限個(gè)點(diǎn)。上面關(guān)于compactness的這個(gè)定義的玄機(jī)就在有限和無限的轉(zhuǎn)換中。一個(gè)緊的集合，被無限多的小鄰域覆蓋著，但是，總能找到其中的有限個(gè)就能蓋全。那么，后果是什么呢？無限個(gè)點(diǎn)撒進(jìn)去，總有一個(gè)鄰域包著無數(shù)個(gè)點(diǎn)。鄰域們?cè)僭趺葱《际沁@樣這就保證了無限序列中存在極限點(diǎn)。Compact這個(gè)概念雖然有點(diǎn)不那么直觀，可是在分析中有著無比重要的作用。因?yàn)樗P(guān)系到極限的存在性這是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。了解泛函分析的朋友都知道，序列是否收斂，很多時(shí)候就看它了。微積分中，一個(gè)重要的定理有界數(shù)列必然包含收斂子列，就是根源于此。在學(xué)習(xí)拓?fù)?，或者其它現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論之前，我們的數(shù)學(xué)一直都在有限維歐氏空間之中，

46、那是一個(gè)完美的世界，具有一切良好的屬性，Hausdorff, Locally compact, Simply connected，Completed，還有一套線性代數(shù)結(jié)構(gòu)，還有良好定義的度量，范數(shù)，與內(nèi)積?？墒?，隨著研究的加深，終究還是要走出這個(gè)圈子。這個(gè)時(shí)候，本來理所當(dāng)然的東西，變得不那么必然了。·                   兩個(gè)點(diǎn)必然能分開？你要證明空間是Hausdorff的。·&#

47、160;                  有界數(shù)列必然存在極限點(diǎn)？這只在locally compact的空間如此。·                   一個(gè)連續(xù)體內(nèi)任意兩點(diǎn)必然有路徑連接？這可未必。一切看上去有悖常理，而又確實(shí)存在。從線

48、性代數(shù)到一般的群，從有限維到無限維，從度量空間到拓?fù)淇臻g，整個(gè)認(rèn)識(shí)都需要重新清理。而且，這些絕非僅是數(shù)學(xué)家的概念游戲，因?yàn)槲覀兊氖澜绮皇怯邢蘧S向量能充分表達(dá)的。當(dāng)我們研究一些不是向量能表達(dá)的東西的時(shí)候，度量，代數(shù)，以及分析的概念，都要重新建立，而起點(diǎn)就在拓?fù)?。和機(jī)器學(xué)習(xí)和計(jì)算機(jī)視覺相關(guān)的數(shù)學(xué)（轉(zhuǎn)載）（以下轉(zhuǎn)自一位MIT牛人的空間文章，寫得很實(shí)際：）作者：Dahua感覺數(shù)學(xué)似乎總是不夠的。這些日子為了解決research中的一些問題，又在圖書館捧起了數(shù)學(xué)的教科書。從大學(xué)到現(xiàn)在，課堂上學(xué)的和自學(xué)的數(shù)學(xué)其實(shí)不算少了，可是在研究的過程中總是發(fā)現(xiàn)需要補(bǔ)充新的數(shù)學(xué)知識(shí)。Learning和Vision都是很

49、多種數(shù)學(xué)的交匯場(chǎng)?？粗煌睦碚擉w系的交匯，對(duì)于一個(gè)researcher來說，往往是非常exciting的enjoyable的事情。不過，這也代表著要充分了解這個(gè)領(lǐng)域并且取得有意義的進(jìn)展是很艱苦的。記得在兩年前的一次blog里面，提到過和learning有關(guān)的數(shù)學(xué)。今天看來，我對(duì)于數(shù)學(xué)在這個(gè)領(lǐng)域的作用有了新的思考。對(duì)于Learning的研究， 1、Linear Algebra (線性代數(shù)) 和 Statistics (統(tǒng)計(jì)學(xué)) 是最重要和不可缺少的。這代表了Machine Learning中最主流的兩大類方法的基礎(chǔ)。一種是以研究函數(shù)和變換為重點(diǎn)的代數(shù)方法，比如Dimension reducti

50、on，feature extraction，Kernel等，一種是以研究統(tǒng)計(jì)模型和樣本分布為重點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)方法，比如Graphical model, Information theoretical models等。它們側(cè)重雖有不同，但是常常是共同使用的，對(duì)于代數(shù)方法，往往需要統(tǒng)計(jì)上的解釋，對(duì)于統(tǒng)計(jì)模型，其具體計(jì)算則需要代數(shù)的幫助。以代數(shù)和統(tǒng)計(jì)為出發(fā)點(diǎn)，繼續(xù)往深處走，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)需要更多的數(shù)學(xué)。 2、Calculus (微積分)，只是數(shù)學(xué)分析體系的基礎(chǔ)。其基礎(chǔ)性作用不言而喻。Learning研究的大部分問題是在連續(xù)的度量空間進(jìn)行的，無論代數(shù)還是統(tǒng)計(jì)，在研究?jī)?yōu)化問題的時(shí)候，對(duì)一個(gè)映射的微分或者梯度的分析

51、總是不可避免。而在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，Marginalization和積分更是密不可分不過，以解析形式把積分導(dǎo)出來的情況則不多見。3、Partial Differential Equation （偏微分方程)，這主要用于描述動(dòng)態(tài)過程，或者仿動(dòng)態(tài)過程。這個(gè)學(xué)科在Vision中用得比Learning多，主要用于描述連續(xù)場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)或者擴(kuò)散過程。比如Level set, Optical flow都是這方面的典型例子。4、Functional Analysis (泛函分析)，通俗地，可以理解為微積分從有限維空間到無限維空間的拓展當(dāng)然了，它實(shí)際上遠(yuǎn)不止于此。在這個(gè)地方，函數(shù)以及其所作用的對(duì)象之間存在的對(duì)偶關(guān)系扮演了非

52、常重要的角色。Learning發(fā)展至今，也在向無限維延伸從研究有限維向量的問題到以無限維的函數(shù)為研究對(duì)象。Kernel Learning 和 Gaussian Process 是其中典型的例子其中的核心概念都是Kernel。很多做Learning的人把Kernel簡(jiǎn)單理解為Kernel trick的運(yùn)用，這就把kernel的意義嚴(yán)重弱化了。在泛函里面，Kernel (Inner Product)是建立整個(gè)博大的代數(shù)體系的根本，從metric, transform到spectrum都根源于此。5、Measure Theory (測(cè)度理論)，這是和實(shí)分析關(guān)系非常密切的學(xué)科。但是測(cè)度理論并不限于此。從某種意義上說，Real Analysis可以從Lebesgue Measure（勒貝格測(cè)度）推演，不過其實(shí)還有很多別的測(cè)度體系概率本身就是一種測(cè)度。測(cè)度理論對(duì)于Learning的意義是根本的，現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)整個(gè)就是建立在測(cè)度理論的基礎(chǔ)之上雖然初級(jí)的概率論教科書一般不這樣引入。在看一些統(tǒng)計(jì)方面的文章的時(shí)候，你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們會(huì)把統(tǒng)計(jì)的公式改用測(cè)度來表達(dá)，這樣做有兩個(gè)好處：所有的推導(dǎo)和結(jié)論不用分別給連續(xù)分布和離散分布各自寫一遍了，這兩種東西都可以用同一的測(cè)度形式表達(dá)：連續(xù)分布的積分基于Leb