圖形的相似知識點總結(jié)及練習

1、圖形的相似知識點總結(jié)及練習相似三角形基本知識點總結(jié)及練習 知識點一：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、兩條線段的比：選用同一長度單位量得兩條線段量得ab、cd的長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是ab:cdm：n例：已知線段ab=2.5m,線段cd=400cm，求線段ab與cd的比。2.比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位，還要注意順序。）例：b,a,d,c是成比例線段，其中a=2cm,b=3cm,c=6c

2、m,求線段d的長度。（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項的積等于兩內(nèi)項積）2.反比性質(zhì)： (把比的前項、后項交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項或外項)：4.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：(1)此性質(zhì)的證明運用了“設法” ，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法 (2)應用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立例：已知5.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）知識點二：平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例。用符號語言表

3、示：ad/be/cf,abbc=deef,bcac=efdf,abac=dedf 2.推論:平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截得的對應線段成比例。 （1） 是“a”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)?？?，關(guān)鍵在于找?guī)缀握Z言：由debc可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.例：如圖，在四邊形abcd中，ad/bc,ef/bc,aggc=23，則dfdc=_。知識點三：相似形多邊形1.定義：各角分別相等、各邊成比列的兩個多邊形叫做相似多邊形。2.相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊成比例。3.判定：如果兩個多邊形的對應邊成比列，對應角相等，那么這

4、兩個多邊形相似。（注意：判斷兩個多邊形相似時，一要看各個角是否對應相等，二要看各條邊是否對應成比列，這兩個條件缺一不可。）4.任意兩個等邊三角形相似，任意兩個正方形相似，任意兩個正n邊形相似。例1：下列判斷正確的是（ ）a.兩個矩形一定相似 。 b.兩個平行四邊形一定相似。c.兩個正方形一定相似。 d.兩個菱形一定相似。例2：小明將一張報紙對折，發(fā)現(xiàn)對折后的半張報紙與整張報紙相似，你能算出報紙的長與寬的比嗎？知識點四：黃金分割(1) 定義：在線段ab上，點c把線段ab分成兩條線段ac和bc，如果，即ac2=ab×bc，那么稱線段ab被點c黃金分割，點c叫做線段ab的黃金分割點，ac與

5、ab的比叫做黃金比。所以：0.618。 例：已知線段ab=10cm,點c是ab的 黃金分割點，且acbc ，求ac和bc的長。(2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段ab.求作：點c使c是線段ab的黃金分割點.作法：過點b作bdab，使bd=12ab；連結(jié)ad，在da上截取de=db；在ab上截取ac=ae，則點c就是所求作的線段ab的黃金分割點.黃金分割的比值為：.（3）黃金矩形：在矩形中，如果寬與長的比是黃金比，那么這個矩形叫做黃金矩形。（4）黃金三角形：頂角為36。的等腰三角形叫做黃金三角形，因為該三角形的底邊比上腰長等于5-12例：如圖，abc中，a=36°，ab=ac，bd是角

6、平分線(1)求證：ad2=cd·ac；(2)若ac=a，求ad 知識點五：相似三角形1、 相似三角形（1）定義：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形相似。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個全等三角形一定相似（相似比為1）。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。（2）性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。（3）相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。 如abc與def相似，記作abc def。相似比為k。（4）判定：定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預備定理：平行于三角

7、形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 2.三角形相似的判定定理：判定定理1：兩角對應相等的兩個三角形相似。(此定理用的最多)幾何語言：在abc和def中如果<a=<d,<b=<e，那么abcdef判定定理2：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。幾何語言：（如上圖）在abc和def f中如果<a=<d,且abde=acdf，那么abcdef判定定理3：三邊對應成比例的兩個三角形相似。幾何語言：（如上圖）在abc和def中如果abde=acdf=bcef，那么abcdef例1：如圖，（1）若_,則abcaef；（2）若e_，則abcaef

8、。直角三角形相似判定定理:.有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。 3.補充：直角三角形中的相似問題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：cd²=ad·bd， ac²=ad·ab，bc²=bd·ba（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）.例：如圖，在rtabc中，acb=90°，cdab于d，(1)求證：ac2=ad·ab；bc2=bd·ba；(2)求證：cd2=ad·ad；(3)求證：ac·bc=ab

9、·cd4.相似圖形中常見的基本圖形：5.相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對應角相等、對應邊成比例. 相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比(對應邊的比). 相似三角形對應面積的比等于相似比的平方.兩個相似三角形的相似比等于面積比的算術(shù)平方根任意兩個相似多邊形的周長比都等于相似比，面積比都等于相似比的平方。例1：已知abcdef，bd和eg是它們的對應中線，acdf=35，eg=10cm，求bd的長。例2：如果兩個相似三角形的面積比為16:25，那么這兩個相似三角形對應邊的比是_。例3：如圖，在abc中，點d、e分別是ab和ac上的點，de/bc,ad=3bd,sa

10、bc=48求sade相似的應用：位似（1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。（2）性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比（相似比）。位似圖形上任意位似對應點和位似中心在同一條直線上。位似圖形上的對應線段平行或在同一條直線上。位似圖形是特殊的相似圖形，所以它

11、具有相似圖形的一切性質(zhì)。畫位似圖形的一般步驟： （1）確定位似中心（位似中心可能在圖形內(nèi)部也可能在圖形外部也可能在圖形 上）（2）確定原圖形的關(guān)鍵點（通常是多邊形的頂點）（3）確定位似比 （4）根據(jù)位似比，找出新圖形的關(guān)鍵點，最后將各點順次連接。坐標變換與圖形的關(guān)系：在直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫、縱坐標都乘以同一個數(shù)k（k0），所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，他們的相似比為k。例1：下列說法中正確的有（ ）（1）位似多邊形一定是相似多邊形。（2）相似多邊形一定是位似多邊形（3）兩個位似多邊形每一對對應點到位似中心的距離之比為23，則兩個多邊形的面積之比為49。（4）兩

12、個位似多邊形的對應邊互相平行或在同一直線上。例2：若abc與def關(guān)于點o位似，其位似比是1:2，ao=5，則對應點a、之間的距離是 。例3：在平面直角坐標系中，已知a(6，3)、b(6，0)兩點，以坐標原點o為位似中心，相似比為13，把線段ab縮短后得到線段a1b1，則a1b1，的長度等于 。歷年中考試題練習一、選擇題1、如圖1,已知ad與bc相交于點o,ab/cd,如果b=40°,d=30°,則aoc的大小為（ ）a.60° b.70° c.80° d.120°bacdeabcdo圖12、如圖，已知d、e分別是的ab、 ac邊上的

13、點，且 那么等于（ ） a1 : 9 b1 : 3 c1 : 8 d1 : 3、如圖，是由經(jīng)過位似變換得到的，點是位似中心，分別是的中點，則與的面積比是（ ） abcd 第3題圖 第4題圖4、如上圖，直角梯形abcd中，bcd90°，adbc，bccd，e為梯形內(nèi)一點，且bec90°，將bec繞c點旋轉(zhuǎn)90°使bc與dc重合，得到dcf，連ef交cd于m已知bc5，cf3，則dm:mc的值為 （）a.5:3 b.3:5 c.4:3 d.3:45、如圖，在中，、分別是、邊的中點，若，則等于（ ） a5 b4 第5題 a b c d e ac3 d26、已知，相似比為

14、3，且的周長為18，則的周長為（ ）a2b3c6d547、如圖,rtabc中,abac,ab=3,ac=4,p是bc邊上一點,作peab于e,pdac于d,設bp=x,則pd+pe=（ ）a. b. c. d. 8、 如圖，在rtabc內(nèi)有邊長分別為的三個正方形，則滿足的關(guān)系式是（ ）a、 b、 c、 d、ehfgcba9、如圖，abc是等邊三角形，被一平行于bc的矩形所截，ab被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是abc的面積的 （ ） 10、下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（ ）（第10題）abcd二、填空題1、如圖，兩點分別在的邊上，與不平行，當滿足 條件（寫出一個即可）時， 第3

15、題圖2、如果兩個相似三角形的相似比是，那么這兩個三角形面積的比是 3、如圖，在rtabc中，c為直角，cdab于點d,bc=3,ab=5,寫出其中的一對相似三角形是 和 ；并寫出它的面積比 . 4、兩個相似三角形的面積比s1:s2與它們對應高之比h1:h2之間的關(guān)系為 5、如圖4，已知abbd，edbd，c是線段bd的中點，且acce，ed=1，bd=4，那么ab= 第9題圖圖9、如圖，要測量a、b兩點間距離，在o點打樁，取oa的中點 c，ob的中點d，測得cd=30米，則ab=_米 11、在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米，則樹的高度為_ _米 三、解答題1、如圖，在abc中，bc>ac， 點d在bc上，且dcac,acb的平分線cf交ad于f，點e是ab的中點，連結(jié)ef.（1）求證：efbc.（2）若四邊形bdfe的面積為6，求abd的面積. 2、如圖，四邊形abcd、defg都是正方形，連接ae、cg,ae與cg相交于點m，cg與ad