旋轉教材分析

1、第二十三章 旋轉 教材分析 2007.9.13一、本章地位 本章學習第三種圖形變換旋轉. 旋轉變換在平面幾何中有著廣泛的應用，特別是在解（證）有關等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等邊三角形）以及正方形等問題時，更是經常用到的思維方法. 此前，學生已學習了平移、軸對稱兩種圖形變換，對圖形變換已具有一定的認識，通過本章的學習，學生對圖形變換的認識會更完整，同時，也能對平移、軸對稱有更深的認識.二、課程學習目標 1、課標要求通過具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉

2、后的圖形欣賞旋轉在現實生活中的應用探索圖形之間的變化關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合）靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計2、2007年中考說明中對旋轉的要求基本要求：通過具體實例認識圖形的旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質；會識別中心對稱圖形.略高要求：能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，能依據旋轉后的圖形，指出旋轉中心和旋轉角.較高要求：能運用旋轉的知識解決簡單的計算問題；運用旋轉的知識進行圖案設計；與其他變換共同解決實際問題.旋轉及其性質平移及其性質軸對稱及其性質中心對稱中心對稱圖形關于原點對稱的點的坐標圖案設計

3、三、知識結構框圖四、課時安排 23.1圖形的旋轉 2課時23.2中心對稱 3課時23.3課題學習 圖案設計 2課時 （建議1課時）小結 1課時 （建議2課時）五、學法教法建議 1、明確學習圖形變換的大致思路 通過具體實例認識圖形變換； 探索圖形變換的性質； 依據圖形變換的性質進行作圖、計算和證明；利用圖形變換進行圖案設計； 用坐標表示圖形變換.本章“旋轉”的學習也是從以上幾個方面展開的. 關于，本章只涉及用坐標表示中心對稱. 2、注意聯系實際旋轉與現實生活聯系緊密，為此，在教學中應列舉了大量實例來使學生認識和感受它們，增強學生對旋轉的理解. 利用圖形變換進行圖案設計、解決實際問題又加強了圖形變

4、換與現實生活的聯系 3、注意培養(yǎng)動手操作的意識 教材在探索旋轉的性質（P63探究）、中心對稱的性質（P69探究）以及如何設計圖案最美觀（P78數學活動1）等問題時，安排了轉動硬紙板、轉動三角板、轉動模板等應用動手操作來探索結論的內容. 動手操作是解決問題的一種方法，應加強學生主動進行動手操作的意識.4、注意探索結論教材在發(fā)現旋轉的性質、中心對稱的性質、關于原點對稱的點的坐標特征、圖形之間的變換關系、如何設計圖案最美觀、從坐標的角度揭示中心對稱與軸對稱的關系等問題中，設置了探究活動，注意結論的探索過程. 在教學中，應充分利用這些資源，進行開放式探究，重視培養(yǎng)學生觀察、發(fā)現、歸納、說理等綜合能力.

5、5、注意概念之間的聯系 平移、旋轉、軸對稱學習旋轉變換與學習平移、軸對稱的過程基本一致，主要都是研究變換過程中的不變量，是研究幾何問題、發(fā)現幾何結論的有效工具. 平移、軸對稱、旋轉都是全等變換，只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小. 由于變換方式的不同，故變換前后具有各自的性質.平移軸對稱旋轉相同點都是全等變換，即變換前后的圖形全等.不同點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換，叫.把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換叫.把一個圖形繞著某一定點轉動一個角度的圖形變換叫.圖形要素平移方向平移距離對稱軸旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度性質連接各組對應點的線段平行(或共線)且相等.任意一對

6、對應點所連線段被對稱軸垂直平分.對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角. 即：對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等. 旋轉與中心對稱中心對稱是一種特殊的旋轉(旋轉180°)，滿足旋轉的性質，由旋轉的性質可以得到中心對稱性質.旋轉中心對稱圖形性質1對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.對稱點所連線段都經過對稱中心. 2對應點到旋轉中心的距離相等.對稱點所連線段被對稱中心所平分.3旋轉前、后的圖形全等.關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形 中心對稱與軸對稱中心對稱軸對稱1有一個對稱中心點有一條對稱軸直線2圖形繞中心旋轉180°圖形沿軸折疊3旋轉后與

7、另一圖形重合折疊后與另一圖形重合 中心對稱與軸對可以稱類比著學習，對學生掌握新知識有幫助. 教材中P78的數學活動2還從坐標的角度揭示了中心對稱與軸對稱的關系. 作點A關于x軸的對稱點B，作點B關于y軸的對稱點C，則點A與點C關于原點對稱. 由此可知，將一點作上述兩次軸對稱變換相當于作出這個點關于原點的對稱點. 中心對稱中心對稱圖形區(qū)別指兩個全等圖形之間的相互位置關系.對稱中心不定.指一個圖形本身成中心對稱.對稱中心是圖形自身或內部的點.聯系如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱圖形.如果把中心對稱圖形對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又關于中心對稱. 兩個

8、圖形成中心對稱與中心對稱圖形中心對稱圖形與軸對稱圖形中心對稱圖形軸對稱圖形1關于某一點對稱關于某一條直線對稱2圖形繞對稱中心旋轉180°后，與自身重合圖形沿對稱軸折疊后，對稱軸兩旁的部分互相重合以上五點在教學中要注意隨時總結，幫助學生理清概念之間的關系.6、注意用計算機輔助教學利用幾何畫板的旋轉功能，可以方便地作出一個圖形繞某一點旋轉某個角度后的圖形.利用幾何畫板的度量功能，可以發(fā)現旋轉變換中的不變量；關于原點對稱的點的坐標特征. 進行圖案設計時，利用計算機，可以讓學生直觀地看到改變旋轉中心、旋轉角會出現不同的效果. 同時利用計算機，可以直觀地看到圖形運動變換的過程. 7、從變換的角

9、度重新認識幾何圖形，建立圖形變換的意識. 圖形變換是對幾何圖形認識方法上的一種改變，應有意識地從圖形變換的角度分析圖形. 平移、軸對稱、旋轉變換，都可以在不改變圖形性質的前提下，把圖形移動，從而使問題的條件集中或者使圖形更易于研究. 從圖形變換的角度思考問題，可以使問題更加明確. 特別是當圖形進行運動變化的時候，因為圖形變換本身就是一種運動，從變換的角度更容易發(fā)現不變的量，從而更容易解決一般化的問題. 圖形變換可以提供添加輔助線構造全等的方法，我們平時常見的輔助線：作平行線、截長補短、倍長中線等等，它們的實質就是在作平移、軸對稱、旋轉變換，目的是移動圖形，集中條件，解決問題.六、相關例題 1、

10、利用旋轉的性質確定一個旋轉變換的旋轉中心、旋轉角，探索圖形之間的變換關系.圖2例1、如圖1，ACB與ADE都是等腰直角三角形，ACB 和ADE都是直角，點C在AE上，如果ACB經逆時針旋轉后能與ADE重合. 請指出其旋轉中心與旋轉角度；CAEDB圖1用圖1作為基本圖形，經過怎樣的旋轉可以得到圖2？答案：旋轉中心：點A； 旋轉角度：45°（逆時針旋轉） 以點A為旋轉中心，將圖1順時針（或逆時針）旋轉90°三次得到圖2.例2、(2006四川眉山)數學課上，老師讓同學們觀察如圖所示的圖形，問：它繞著圓心O旋轉多少度后和它自身重合？甲同學說：45°；乙同學說：60

11、6;；丙同學說：90°；丁同學說：135°. 以上四位同學的回答中，錯誤的是（ B ） A甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如圖，在平面直角坐標系中，ABC和DEF為等邊三角形，AB=DE，點B、C、D在x軸上，點A、E、F在y軸上，下面判斷正確的是（ A ） ADEF是ABC繞點O順時針旋轉90°得到的 BDEF是ABC繞點O逆時針旋轉90°得到的CDEF是ABC繞點O順時針旋轉60°得到的DDEF是ABC繞點O順時針旋轉120°得到的 例4、以圖1的邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折180°后，再按順時針方向旋轉180

12、°，所得到的圖形是（ A ）ABCD圖12、利用旋轉、中心對稱的性質作圖.例5、在如圖的方格紙中，每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，ABC的三個頂點都在格點上(每個小方格的頂點叫格點).畫出ABC繞點O順時針旋轉90°后的A1B1C1，并求AA1的長. 答案：AA1=例6、(2007江蘇揚州)如圖，ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)ABCOxy將ABC向右平移個單位長度，畫出平移后的A1B1C1；畫出ABC關于x軸對稱的A2B2C2；畫出ABC關于原點O對稱的A3B3C3；在A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，_與_成軸對稱，對稱軸是_；_與

13、_成中心對稱，對稱中心的坐標是_答案：A2B2C2與A3B3C3成軸對稱，對稱軸是y軸A3B3C3與A1B1C成中心對稱，對稱中心的坐標是(-2，0)例7、如圖，ABC是ABC旋轉后得到的圖形，請確定旋轉中心、旋轉角.答案：對應點到旋轉中心的距離相等，即OA=O A O點在AA的垂直平分線上同理O點也在BB的垂直平分線上兩條垂直平分線的交點O就是旋轉中心，AOA的度數就是旋轉角例8、如圖，已知ABC與DEF關于某一點對稱，作出對稱中心.注：確定關于某點成中心對稱的兩個圖形的對稱中心的方法：利用中心對稱的性質：對稱點所連線段被對稱中心所平分，所以連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，則該點即為對

14、稱中心.利用中心對稱的性質：對稱點所連線段都經過對稱中心，所以連接任意兩對對稱點，則這兩條線段的交點即為對稱中心.3、中心對稱圖形的概念.例9、(2006江蘇南京)下列圖形中，是中心對稱圖形的是（ A ） A.菱形 B.等腰梯形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形例10、(2007湖南郴州)下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（A） A B C D例11、(2007上海)如圖是正方形網格，請在其中選取一個白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個中心對稱圖形 答案： 例12、已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）. 注：過中心對稱圖形的對稱中心的任意一

15、條直線，將該圖形分成完全相同的兩部分. 當然其面積也相等. 解決這類問題時，關鍵是將圖形轉化成兩個中心對稱圖形（如果原圖形本身就是中心對稱圖形，則直接過對稱中心作直線即可），再由兩點確定一條直線，過兩個對稱中心畫直線即滿足條件.4、綜合利用平移、軸對稱、旋轉變換進行圖案設計.例13、請用4塊圖1中的圖形設計一個中心對稱圖形，把設計的圖形畫在下面10×10的方格中（要求：以點O為對稱中心）O圖1答案：OMBA22°5、利用圖形變換的性質進行計算或證明. 例14、(2007江蘇揚州)用等腰直角三角板畫AOB=45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點M按

16、逆時針方向旋轉22°，則三角板的斜邊與射線OA的夾角為 22 ° 例15、(2007山東日照)如圖，把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉30°到正方形ABCD，則它們的公共部分的面積等于ABAC(C)B例16、(2007四川成都)如圖，將一塊斜邊長為12cm，B=60°的直角三角板ABC，繞點C沿逆時針方向旋轉90°至ABC的位置，再沿CB向右平移，使點B剛好落在斜邊AB上，那么此三角板向右平移的距離是cm例17、(2007浙江義烏)如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得它們的斜邊長為10cm，較小銳

17、角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖3 圖6中統(tǒng)一用F表示）ABCDEF （圖1） （圖2） （圖3）小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決.將圖3中的ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F 重合，請你求出平移的距離；將圖3中的ABF繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；將圖3中的ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH=DH （圖4） （圖5） （圖6） 答案：平移的距離為5cmcm證AHEDHB1

18、（AAS） AH=DH6、運用圖形變換的思想解決問題.例18如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內作等邊ABD，連結DC，以DC為邊作等邊DCEB、E在C、D的同側，若AB，則BE 1 注：從圖形變換的角度思考問題，可以使問題簡化，一目了然. 例19、如圖，在四邊形ABCD中，ADC=ABC=90°，AD=CD，DPAB于P，若四邊形ABCD的面積是16，求DP的長.例20、(2007朝陽一模)已知：如圖，ABC是等邊三角形，四邊形BDEF是菱形，其中DF=DB，連接AF、CD觀察圖形，猜想AF與CD之間有怎樣的數量關系？直接寫出結論，不必證明；將菱形BDEF繞點B 按順時針

19、方向旋轉，使菱形BDEF的一邊落在等邊ABC內部，在圖中畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標記字母，請問：中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；在上述旋轉過程中，AF、CD所夾銳角的度數是否發(fā)生變化？若不變，請你求出它的度數，并說明你的理由；若改變，請說明它的度數是如何變化的 圖圖答案：AF=CD 變換后的菱形BDEF如圖，結論AF=CD仍然成立 不變化；60° 注：從圖形變換的角度解決運動變化的問題，更容易發(fā)現不變的量，從而容易解決一般化的問題.例21、如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把

20、線段CD繞點D逆時針旋轉90 °到DE位置，連結AE，則AE的長為 . 例22、如圖，設P是等邊三角形ABC內一點，PB=3，PA=4，PC=5，求APB的度數. 答案：APB=150° 注：PA、PB、PC條件分散，想辦法集中條件于一個三角形，進而求度數. 根據旋轉的性質“對應點到旋轉中心的距離相等”，旋轉后可得到等腰三角形，如果旋轉60°，可得到等邊三角形例23、如圖，在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，AD=CD. 求證：BD2=AB2+BC2. 例24、如圖，已知ABC為等腰直角三角形，BAC=900，E、F是BC邊上點，且EAF=45°.求證： 例25、(2007朝陽二模)已知：如圖1，RtABC中，ACB=90°， D為AB中點，DE、DF分別交AC于E,交BC于F，且DEDF.如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；如圖