旋轉(zhuǎn)教材分析

1、第二十三章 旋轉(zhuǎn) 教材分析 2007.9.13一、本章地位 本章學(xué)習(xí)第三種圖形變換旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)變換在平面幾何中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在解（證）有關(guān)等腰三角形（主要是等腰直角三角形、等邊三角形）以及正方形等問(wèn)題時(shí)，更是經(jīng)常用到的思維方法. 此前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了平移、軸對(duì)稱兩種圖形變換，對(duì)圖形變換已具有一定的認(rèn)識(shí)，通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)圖形變換的認(rèn)識(shí)會(huì)更完整，同時(shí)，也能對(duì)平移、軸對(duì)稱有更深的認(rèn)識(shí).二、課程學(xué)習(xí)目標(biāo) 1、課標(biāo)要求通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)了解平行四邊形、圓是中心對(duì)稱圖形能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)

2、后的圖形欣賞旋轉(zhuǎn)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用探索圖形之間的變化關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）靈活運(yùn)用軸對(duì)稱、平移和旋轉(zhuǎn)的組合進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)2、2007年中考說(shuō)明中對(duì)旋轉(zhuǎn)的要求基本要求：通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)，理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等的性質(zhì)；會(huì)識(shí)別中心對(duì)稱圖形.略高要求：能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形，能依據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圖形，指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角.較高要求：能運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的計(jì)算問(wèn)題；運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)；與其他變換共同解決實(shí)際問(wèn)題.旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)平移及其性質(zhì)軸對(duì)稱及其性質(zhì)中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)圖案設(shè)計(jì)

3、三、知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖四、課時(shí)安排 23.1圖形的旋轉(zhuǎn) 2課時(shí)23.2中心對(duì)稱 3課時(shí)23.3課題學(xué)習(xí) 圖案設(shè)計(jì) 2課時(shí) （建議1課時(shí)）小結(jié) 1課時(shí) （建議2課時(shí)）五、學(xué)法教法建議 1、明確學(xué)習(xí)圖形變換的大致思路 通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形變換； 探索圖形變換的性質(zhì)； 依據(jù)圖形變換的性質(zhì)進(jìn)行作圖、計(jì)算和證明；利用圖形變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)； 用坐標(biāo)表示圖形變換.本章“旋轉(zhuǎn)”的學(xué)習(xí)也是從以上幾個(gè)方面展開(kāi)的. 關(guān)于，本章只涉及用坐標(biāo)表示中心對(duì)稱. 2、注意聯(lián)系實(shí)際旋轉(zhuǎn)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，為此，在教學(xué)中應(yīng)列舉了大量實(shí)例來(lái)使學(xué)生認(rèn)識(shí)和感受它們，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)旋轉(zhuǎn)的理解. 利用圖形變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)、解決實(shí)際問(wèn)題又加強(qiáng)了圖形變

4、換與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系 3、注意培養(yǎng)動(dòng)手操作的意識(shí) 教材在探索旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（P63探究）、中心對(duì)稱的性質(zhì)（P69探究）以及如何設(shè)計(jì)圖案最美觀（P78數(shù)學(xué)活動(dòng)1）等問(wèn)題時(shí)，安排了轉(zhuǎn)動(dòng)硬紙板、轉(zhuǎn)動(dòng)三角板、轉(zhuǎn)動(dòng)模板等應(yīng)用動(dòng)手操作來(lái)探索結(jié)論的內(nèi)容. 動(dòng)手操作是解決問(wèn)題的一種方法，應(yīng)加強(qiáng)學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行動(dòng)手操作的意識(shí).4、注意探索結(jié)論教材在發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中心對(duì)稱的性質(zhì)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征、圖形之間的變換關(guān)系、如何設(shè)計(jì)圖案最美觀、從坐標(biāo)的角度揭示中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的關(guān)系等問(wèn)題中，設(shè)置了探究活動(dòng)，注意結(jié)論的探索過(guò)程. 在教學(xué)中，應(yīng)充分利用這些資源，進(jìn)行開(kāi)放式探究，重視培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、說(shuō)理等綜合能力.

5、5、注意概念之間的聯(lián)系 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)變換與學(xué)習(xí)平移、軸對(duì)稱的過(guò)程基本一致，主要都是研究變換過(guò)程中的不變量，是研究幾何問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)幾何結(jié)論的有效工具. 平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)都是全等變換，只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小. 由于變換方式的不同，故變換前后具有各自的性質(zhì).平移軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)相同點(diǎn)都是全等變換，即變換前后的圖形全等.不同點(diǎn)定義把一個(gè)圖形沿某一方向移動(dòng)一定距離的圖形變換，叫.把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換叫.把一個(gè)圖形繞著某一定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫.圖形要素平移方向平移距離對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度性質(zhì)連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段平行(或共線)且相等.任意一對(duì)

6、對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段被對(duì)稱軸垂直平分.對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角. 即：對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角彼此相等. 旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱中心對(duì)稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)180°)，滿足旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到中心對(duì)稱性質(zhì).旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱圖形性質(zhì)1對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心. 2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱中心所平分.3旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形 中心對(duì)稱與軸對(duì)稱中心對(duì)稱軸對(duì)稱1有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)有一條對(duì)稱軸直線2圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180°圖形沿軸折疊3旋轉(zhuǎn)后與

7、另一圖形重合折疊后與另一圖形重合 中心對(duì)稱與軸對(duì)可以稱類比著學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生掌握新知識(shí)有幫助. 教材中P78的數(shù)學(xué)活動(dòng)2還從坐標(biāo)的角度揭示了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的關(guān)系. 作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C，則點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 由此可知，將一點(diǎn)作上述兩次軸對(duì)稱變換相當(dāng)于作出這個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn). 中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形區(qū)別指兩個(gè)全等圖形之間的相互位置關(guān)系.對(duì)稱中心不定.指一個(gè)圖形本身成中心對(duì)稱.對(duì)稱中心是圖形自身或內(nèi)部的點(diǎn).聯(lián)系如果將中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這個(gè)圖形就是中心對(duì)稱圖形.如果把中心對(duì)稱圖形對(duì)稱的部分看成是兩個(gè)圖形，那么它們又關(guān)于中心對(duì)稱. 兩個(gè)

8、圖形成中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形1關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于某一條直線對(duì)稱2圖形繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180°后，與自身重合圖形沿對(duì)稱軸折疊后，對(duì)稱軸兩旁的部分互相重合以上五點(diǎn)在教學(xué)中要注意隨時(shí)總結(jié)，幫助學(xué)生理清概念之間的關(guān)系.6、注意用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)利用幾何畫(huà)板的旋轉(zhuǎn)功能，可以方便地作出一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)某個(gè)角度后的圖形.利用幾何畫(huà)板的度量功能，可以發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)變換中的不變量；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征. 進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)時(shí)，利用計(jì)算機(jī)，可以讓學(xué)生直觀地看到改變旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角會(huì)出現(xiàn)不同的效果. 同時(shí)利用計(jì)算機(jī)，可以直觀地看到圖形運(yùn)動(dòng)變換的過(guò)程. 7、從變換的角

9、度重新認(rèn)識(shí)幾何圖形，建立圖形變換的意識(shí). 圖形變換是對(duì)幾何圖形認(rèn)識(shí)方法上的一種改變，應(yīng)有意識(shí)地從圖形變換的角度分析圖形. 平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換，都可以在不改變圖形性質(zhì)的前提下，把圖形移動(dòng)，從而使問(wèn)題的條件集中或者使圖形更易于研究. 從圖形變換的角度思考問(wèn)題，可以使問(wèn)題更加明確. 特別是當(dāng)圖形進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變化的時(shí)候，因?yàn)閳D形變換本身就是一種運(yùn)動(dòng)，從變換的角度更容易發(fā)現(xiàn)不變的量，從而更容易解決一般化的問(wèn)題. 圖形變換可以提供添加輔助線構(gòu)造全等的方法，我們平時(shí)常見(jiàn)的輔助線：作平行線、截長(zhǎng)補(bǔ)短、倍長(zhǎng)中線等等，它們的實(shí)質(zhì)就是在作平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換，目的是移動(dòng)圖形，集中條件，解決問(wèn)題.六、相關(guān)例題 1、

10、利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角，探索圖形之間的變換關(guān)系.圖2例1、如圖1，ACB與ADE都是等腰直角三角形，ACB 和ADE都是直角，點(diǎn)C在AE上，如果ACB經(jīng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后能與ADE重合. 請(qǐng)指出其旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)角度；CAEDB圖1用圖1作為基本圖形，經(jīng)過(guò)怎樣的旋轉(zhuǎn)可以得到圖2？答案：旋轉(zhuǎn)中心：點(diǎn)A； 旋轉(zhuǎn)角度：45°（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)） 以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將圖1順時(shí)針（或逆時(shí)針）旋轉(zhuǎn)90°三次得到圖2.例2、(2006四川眉山)數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們觀察如圖所示的圖形，問(wèn)：它繞著圓心O旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合？甲同學(xué)說(shuō)：45°；乙同學(xué)說(shuō)：60

11、6;；丙同學(xué)說(shuō)：90°；丁同學(xué)說(shuō)：135°. 以上四位同學(xué)的回答中，錯(cuò)誤的是（ B ） A甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁例3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC和DEF為等邊三角形，AB=DE，點(diǎn)B、C、D在x軸上，點(diǎn)A、E、F在y軸上，下面判斷正確的是（ A ） ADEF是ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的 BDEF是ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的CDEF是ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到的DDEF是ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到的 例4、以圖1的邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折180°后，再按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180

12、°，所得到的圖形是（ A ）ABCD圖12、利用旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖.例5、在如圖的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)).畫(huà)出ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的A1B1C1，并求AA1的長(zhǎng). 答案：AA1=例6、(2007江蘇揚(yáng)州)如圖，ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，C(-1，2)ABCOxy將ABC向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，畫(huà)出平移后的A1B1C1；畫(huà)出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的A2B2C2；畫(huà)出ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的A3B3C3；在A1B1C1，A2B2C2，A3B3C3中，_與_成軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是_；_與

13、_成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心的坐標(biāo)是_答案：A2B2C2與A3B3C3成軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是y軸A3B3C3與A1B1C成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(-2，0)例7、如圖，ABC是ABC旋轉(zhuǎn)后得到的圖形，請(qǐng)確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角.答案：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，即OA=O A O點(diǎn)在AA的垂直平分線上同理O點(diǎn)也在BB的垂直平分線上兩條垂直平分線的交點(diǎn)O就是旋轉(zhuǎn)中心，AOA的度數(shù)就是旋轉(zhuǎn)角例8、如圖，已知ABC與DEF關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱，作出對(duì)稱中心.注：確定關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱中心的方法：利用中心對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)所連線段被對(duì)稱中心所平分，所以連接任意一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，取這條線段的中點(diǎn)，則該點(diǎn)即為對(duì)

14、稱中心.利用中心對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，所以連接任意兩對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，則這兩條線段的交點(diǎn)即為對(duì)稱中心.3、中心對(duì)稱圖形的概念.例9、(2006江蘇南京)下列圖形中，是中心對(duì)稱圖形的是（ A ） A.菱形 B.等腰梯形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形例10、(2007湖南郴州)下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是（A） A B C D例11、(2007上海)如圖是正方形網(wǎng)格，請(qǐng)?jiān)谄渲羞x取一個(gè)白色的單位正方形并涂黑，使圖中黑色部分是一個(gè)中心對(duì)稱圖形 答案： 例12、已知：如圖甲，試用一條直線把圖形分成面積相等的兩部分（至少三種方法）. 注：過(guò)中心對(duì)稱圖形的對(duì)稱中心的任意一

15、條直線，將該圖形分成完全相同的兩部分. 當(dāng)然其面積也相等. 解決這類問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是將圖形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)中心對(duì)稱圖形（如果原圖形本身就是中心對(duì)稱圖形，則直接過(guò)對(duì)稱中心作直線即可），再由兩點(diǎn)確定一條直線，過(guò)兩個(gè)對(duì)稱中心畫(huà)直線即滿足條件.4、綜合利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行圖案設(shè)計(jì).例13、請(qǐng)用4塊圖1中的圖形設(shè)計(jì)一個(gè)中心對(duì)稱圖形，把設(shè)計(jì)的圖形畫(huà)在下面10×10的方格中（要求：以點(diǎn)O為對(duì)稱中心）O圖1答案：OMBA22°5、利用圖形變換的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算或證明. 例14、(2007江蘇揚(yáng)州)用等腰直角三角板畫(huà)AOB=45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點(diǎn)M按

16、逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)22°，則三角板的斜邊與射線OA的夾角為 22 ° 例15、(2007山東日照)如圖，把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到正方形ABCD，則它們的公共部分的面積等于ABAC(C)B例16、(2007四川成都)如圖，將一塊斜邊長(zhǎng)為12cm，B=60°的直角三角板ABC，繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至ABC的位置，再沿CB向右平移，使點(diǎn)B剛好落在斜邊AB上，那么此三角板向右平移的距離是cm例17、(2007浙江義烏)如圖1，小明將一張矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得它們的斜邊長(zhǎng)為10cm，較小銳

17、角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點(diǎn)B、C、F、D在同一條直線上，且點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（在圖3 圖6中統(tǒng)一用F表示）ABCDEF （圖1） （圖2） （圖3）小明在對(duì)這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時(shí)遇到了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解決.將圖3中的ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點(diǎn)B與點(diǎn)F 重合，請(qǐng)你求出平移的距離；將圖3中的ABF繞點(diǎn)F順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°到圖5的位置，A1F交DE于點(diǎn)G，請(qǐng)你求出線段FG的長(zhǎng)度；將圖3中的ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點(diǎn)H，請(qǐng)證明：AH=DH （圖4） （圖5） （圖6） 答案：平移的距離為5cmcm證AHEDHB1

18、（AAS） AH=DH6、運(yùn)用圖形變換的思想解決問(wèn)題.例18如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊向內(nèi)作等邊ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊DCEB、E在C、D的同側(cè)，若AB，則BE 1 注：從圖形變換的角度思考問(wèn)題，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化，一目了然. 例19、如圖，在四邊形ABCD中，ADC=ABC=90°，AD=CD，DPAB于P，若四邊形ABCD的面積是16，求DP的長(zhǎng).例20、(2007朝陽(yáng)一模)已知：如圖，ABC是等邊三角形，四邊形BDEF是菱形，其中DF=DB，連接AF、CD觀察圖形，猜想AF與CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明；將菱形BDEF繞點(diǎn)B 按順時(shí)針

19、方向旋轉(zhuǎn)，使菱形BDEF的一邊落在等邊ABC內(nèi)部，在圖中畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形，并對(duì)照已知圖形標(biāo)記字母，請(qǐng)問(wèn)：中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AF、CD所夾銳角的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)你求出它的度數(shù)，并說(shuō)明你的理由；若改變，請(qǐng)說(shuō)明它的度數(shù)是如何變化的 圖圖答案：AF=CD 變換后的菱形BDEF如圖，結(jié)論AF=CD仍然成立 不變化；60° 注：從圖形變換的角度解決運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題，更容易發(fā)現(xiàn)不變的量，從而容易解決一般化的問(wèn)題.例21、如圖，已知梯形ABCD中，ADBC，B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把

20、線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 °到DE位置，連結(jié)AE，則AE的長(zhǎng)為 . 例22、如圖，設(shè)P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PB=3，PA=4，PC=5，求APB的度數(shù). 答案：APB=150° 注：PA、PB、PC條件分散，想辦法集中條件于一個(gè)三角形，進(jìn)而求度數(shù). 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等”，旋轉(zhuǎn)后可得到等腰三角形，如果旋轉(zhuǎn)60°，可得到等邊三角形例23、如圖，在四邊形ABCD中，ABC30°，ADC60°，AD=CD. 求證：BD2=AB2+BC2. 例24、如圖，已知ABC為等腰直角三角形，BAC=900，E、F是BC邊上點(diǎn)，且EAF=45°.求證： 例25、(2007朝陽(yáng)二模)已知：如圖1，RtABC中，ACB=90°， D為AB中點(diǎn)，DE、DF分別交AC于E,交BC于F，且DEDF.如果CA=CB，求證：AE2+BF2=EF2；如圖