數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)指導(dǎo)書第8章貝塞爾函數(shù)

1、第8章 貝塞爾函數(shù)本章我們來討論貝塞爾方程的解法以及解的性質(zhì). 下面將要看到，在一般的情況下，貝塞爾方程的解不能用初等函數(shù)表出，從而就導(dǎo)入了一類特殊函數(shù)，稱之為貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)具有一系列性質(zhì)，在求解數(shù)學(xué)物理問題時主要是引用正交性，這個正交性恰好是前面所述的施特姆-劉維爾理論的一個特例.81 貝塞爾方程的求解在7.1中，我們從解決圓盤的瞬時溫度分布問題引出了貝塞爾方程，以表示自變量，表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為 (8.1)其中為任意實數(shù)或復(fù)數(shù). 由于方程的系數(shù)中出現(xiàn)的項，所以在討論時，不妨?xí)合燃俣ㄔO(shè)方程(8.1)有一個級數(shù)解，其形式為， (8.2)其中常數(shù)和可以通過把和它的導(dǎo)數(shù)代入(8.

2、1)來確定.將(8.2)及其導(dǎo)數(shù)代入(8.1)后得化簡后寫成要使上式成為恒等式，必須各個冪的系數(shù)全為零，從而得下列各式：由得，代入得.現(xiàn)暫取，代入得因為，由知而都可以用表示，即由此知(8.2)的一般項為是一個任意常數(shù)，取定后就得(8.1)式的一個特解.我們把取作，這樣選取可使一般項系數(shù)中2的次數(shù)與的次數(shù)相同，并可以運用下列恒等式使分母簡化，這樣選后，一般項的系數(shù)就整齊了 (8.3)以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一個特解用級數(shù)的比值判別法（或稱達(dá)朗倍爾判別法）可以判定這個級數(shù)在整個數(shù)軸上收斂. 這個無窮級數(shù)所確定的函數(shù)，稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，記作 (8.4)至此，我們就求出了貝塞爾

3、方程的一個特解當(dāng)為正整數(shù)或零時，故有 (8.5)取時，用同樣方法可得(8.1)式另一特解 (8.6)比較(8.4)式與(8.6)式可見，只要在(8.4)的右端把換成，即可得到(8.6)式，因此不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，總可以用(8.4)式統(tǒng)一地表達(dá)第一類貝塞爾函數(shù).當(dāng)不為整數(shù)時，這兩個特解與是線性無關(guān)的，由齊次線性微分主程的通解的結(jié)構(gòu)定理知道，(8.1)的通解為 (8.7)其中為兩個任意常數(shù).當(dāng)然，在不為整數(shù)的情況，方程(8.1)的通解除了可以寫成(8.7)式以外還可寫成其他的形式，只要能夠找到該方程另一個與線性無關(guān)的特解，它與就可構(gòu)成(8.1)的通解，這樣的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中

4、取則得到(8.1)的一個特解 整數(shù)） (8.8)顯然，與是線性無關(guān)的，因此，(8.1)的通解可寫成 (8.7)由(8.8)式所確定的函數(shù)稱為第二類貝塞爾函數(shù)，或稱牛曼函數(shù).82 當(dāng)為整數(shù)時貝塞爾方程的通解上一節(jié)說明，當(dāng)不為整數(shù)時，貝塞爾方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)式確定，當(dāng)為整數(shù)時，(8.1)的通解應(yīng)該是什么樣子呢？首先，我們證明當(dāng)為整數(shù)時，與是線性相關(guān)的，事實上，我們不妨設(shè)為正整數(shù)（這不失一般性，因為負(fù)整數(shù)時，會得到同樣的結(jié)果），則在(8.6)中，當(dāng)時均為零，這時級數(shù)從起才開始出現(xiàn)非零項，于是(8.6)可以寫成即與線性相關(guān)，這時與已不能構(gòu)成貝塞爾方程的通解了.為了求出貝塞爾方

5、程的通解，還要求出一個與線性無關(guān)的特解.取哪一個特解？自然我們想到第二類貝塞爾函數(shù).不過當(dāng)為整數(shù)時(8.8)的右端沒有意義，要想把整數(shù)階貝塞爾方程的通解也寫成(8.7)的形式，必須先修改第二類貝塞爾函數(shù)的定義. 在為整數(shù)的情況，我們定義第二類貝塞爾函數(shù)為 （=整數(shù)）. （8.9）由于當(dāng)為整數(shù)時，所以上式右端的極限是形式的不定型的極限，應(yīng)用洛必塔法則并經(jīng)過冗長的推導(dǎo)（可參閱A.薩波洛夫斯基著特殊函數(shù)，魏執(zhí)權(quán)等譯，中國工業(yè)出版社出版），最后得到 (8.10)其中稱為歐拉常數(shù).根據(jù)這個函數(shù)的定義，它確是貝塞爾方程的一個特解，而且與是線性無關(guān)的（因為當(dāng)時，為有限值，而為無窮大）.綜合上面所述，不論是否

6、為整數(shù)，貝塞爾方程(8.1)的通解都可表示為，其中為任意常數(shù)，為任意實數(shù).83 貝塞爾函數(shù)的遞推公式不同階的貝塞爾函數(shù)之間不是彼此孤立的，而是有一定的聯(lián)系，本節(jié)我們來建立反映這種聯(lián)系的遞推公式.首先考察零階與一階貝塞爾函數(shù)之間的關(guān)系.在(8.5)中令及得：取出第一個級數(shù)的第項求導(dǎo)數(shù)，得 這個式子正好是中含這一項的負(fù)值，且知的第一項導(dǎo)數(shù)為零，故得關(guān)系式 (8.11)將乘以并求導(dǎo)數(shù)，又得 即 (8.12)以上結(jié)果可以推廣，現(xiàn)將乘以求導(dǎo)數(shù)，得 即 (8.13)同理可得 (8.14)將(8.13)和(8.14)兩式展開，并經(jīng)過化簡，則分別得及將這兩式相減及相加，分別得到 (8.15) (8.16)以上

7、幾式便是貝塞爾函數(shù)的遞推公式.它們在有關(guān)貝塞爾函數(shù)的分析運算中甚為有用.特別值得一提的是，應(yīng)有(8.15)式可以用較低階的貝塞爾函數(shù)把較高階的貝塞爾函數(shù)表示出來.因此如果我們已有零階與一階貝塞爾函數(shù)表，則利用此表和(8.15)，即可計算任意正整數(shù)階的貝塞爾函數(shù)的數(shù)值.第二類貝塞爾函數(shù)也滿足與第一類貝塞爾函數(shù)相類似的遞推公式. (8.17)作為遞推公式的一個應(yīng)用，我們來考慮半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)，先計算由(8.4)可得而 從而 (8.18)同理，可求得 (8.19)利用遞推公式(8.15)得到.同理可得一般言之，有 (8.20)從(8.20)可能看出，半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)都是初等函數(shù).84 貝塞爾

8、函數(shù)的零點與模值貝塞爾方程的固有值與固有函數(shù)都與貝塞爾函數(shù)的零點有密切關(guān)系.同時，為了將一個函數(shù)按貝塞爾函數(shù)展開，需要用到貝塞爾函數(shù)的模值.本節(jié)我們來敘述貝塞爾函數(shù)零點的有關(guān)結(jié)論并計算貝塞爾函數(shù)的模值.6.4.1 貝塞爾函數(shù)的零點第一類貝塞爾函數(shù)的零點的幾個重要結(jié)論：有無窮多個單重實零點，且這無窮多個零點在軸上關(guān)于原點是對稱分布著的.因而必有無窮多個正的零點；的零點與的零點是彼此相間分布的，即的任意兩個相鄰零點之間必存在一個且僅有一個的零點；圖8-1以表示的正零點，則時無限地接近于，即幾乎是以為周期的周期函數(shù). 與的圖形見圖8-1.為了便于工程技術(shù)上的應(yīng)用，貝塞爾函數(shù)零點的數(shù)值已被詳細(xì)計算出來

9、，并列成表格.下表給出了的前9個正零點的近似值. nm01234512.4053.8325.1366.3807.5888.77125.5207.0168.4179.76111.06512.33938.65410.17311.62013.01514.37315.700411.79213.32414.79616.22317.61618.980514.93116.47117.96019.40920.82722.218618.07119.61621.11722.58324.01925.430721.21222.76024.27025.74827.19928.627824.35225.90427.421

10、28.90830.37131.812927.49329.04730.56932.06533.53734.9896.4.2 貝塞爾函數(shù)的模值所謂貝塞爾函數(shù)的模值就是指定積分的平方根，其中是的正零點，a為一正常數(shù).為了計算這個積分，以，分別表示下列函數(shù)， 為任意參數(shù)）.則，分別滿足方程以乘第一個方程減去以乘第二個方程，然后對從0到a積分，得由此可得當(dāng)時，上式右端是型，利用洛必塔法則計算這個極限，得這個公式在下節(jié)計算傅里葉-貝塞爾級數(shù)的系數(shù)時就要用到.85 貝塞爾方程的邊值問題在7.1中，我們已將求解圓盤的溫度分布問題通過分離變量法轉(zhuǎn)化成求解貝塞爾方程的固有值問題.方程(8.21)的通解為由條件(8

11、.23)可得 ，即利用條件(8.22)得即應(yīng)該是的零點，以的正零點，則方程(8.21)的固有值為 （），與這些固有值相對應(yīng)的邊值問題（8.21）（8.23）的固有函數(shù)是根據(jù)施特姆-劉維爾理論，關(guān)于權(quán)函數(shù)是正交的，即同時，下述展開定理成立：任何一個下兩次可微的函數(shù)，若在處有界，而且在處等于零，則它可以展開為絕對一致收斂的傅里葉-貝塞爾級數(shù)： （8.25）其中系數(shù)可用下述方法確定：在展開式(8.25)的兩端同乘以并對從0到a積分，由正交關(guān)系式(8.24)得利用前面計算過的貝塞爾函數(shù)的模值公式得到 （8.26）下面我們舉兩個例子，說明用貝塞爾函數(shù)求解定解問題的全過程.例1 設(shè)有半徑為1的薄均勻圓盤，

12、邊界上溫度為零，初始時刻圓盤內(nèi)溫度分布為，其中是圓盤內(nèi)任一點的極半徑，求圓內(nèi)溫度分布規(guī)律.解 根據(jù)問題的要求，即可歸結(jié)為求解下列定解問題： 采用極坐標(biāo)系，并考慮到定解條件與無關(guān)，所以溫度只能是的函數(shù)，于是上述問題可寫為 此外，由物理意義，還有條件令 代入方程(8.27)得或 由此得 (8.30) (8.31)方程(8.31)的解為，因為，時只能小于零，令則此時方程(8.30)的通解為由的有界性，可知，再由(8.28)得，即是的零點，以表示的正零點，則綜合以上結(jié)果可得從而 利用疊加原理，可得原問題的解為由條件(8.29)從而 因 即 故得 另外 從而 所以，所求定解問題的解為 (8.32)其中是

13、的正零點.例2 求下列定解問題 的解.解 用分離變量法來解，令采用例1中同樣的運算，可以得到 (8.36) (8.37)由在處的有界性，可知即 (8.38)再根據(jù)邊界條件(8.34)中第一式，得因不能為零，故有利用貝塞爾函數(shù)的遞推公式(8.11)可得即是的正零點，以表示的所有正零點，則即 (8.39)將(8.39)分別代入(8.38),(8.37)，得從而 利用疊加原理可得原定解問題的解為將條件(8.35)代入上式得 (8.40) (8.41)由(8.40)得 由(8.41)并利用下面的結(jié)果（見習(xí)題八第14題）：如果是的正零點，則得到所以最后得到定解問題的解為 (8.42)習(xí) 題 八1、當(dāng)為正整數(shù)時，討論的收斂范圍.2、寫出是正整數(shù)）的組數(shù)表示式的前5項.3、證明其中.4、.5、6、證明為方程的解.7、證明8、試證是方程的一個解.9、試證是方程的一個解.10、設(shè)是方程的正根，將函數(shù)展開成貝塞爾函數(shù)的級數(shù).11、設(shè)是的正根，將函數(shù)展開成