數(shù)學(xué)物理方程第四章

1、數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法第四章第四章 拉普拉斯方程的格林函數(shù)法拉普拉斯方程的格林函數(shù)法一 拉普拉斯方程邊值問題的提法1 第一邊值問題（狄氏問題）2 第二邊值問題（牛曼問題）ufufn3 內(nèi)問題與外問題4 調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法二 格林公式及其結(jié)論2()dddVSVvuvVuSuv Vn 22()d()dVSvuuvvuVuvSnn 格林公式的結(jié)論：1 調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式拉普拉斯方程的基本解222221111lnlnrxyzkrx

2、y三維二維數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法2 牛曼內(nèi)問題有解的必要條件3 平均值公式4 拉普拉斯方程解的唯一性問題調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過積分表達(dá)式用這個函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來表示。0111()( )d4Suu MuSn rrn ufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnn d0SuSn取1v d0Sf S 021()d4aku Mu Sa狄氏問題的解唯一確定，牛曼問題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的。數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法三 格林函數(shù) r)(2Mu1()4

3、u Mr02)(rr Mu01()4MMu Mr0原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量 ， r0點(diǎn)電荷密度M),(zyx處點(diǎn)電位00M),(000zyx0r即 處點(diǎn)電荷電量00rr 點(diǎn)電荷密度M),(zyx處點(diǎn)電位1M101rr F112)(rr FMu11()4MMFu Mr2M202rr F222)(rr FMu22()4MMFu Mr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0( )F2()( )u MF 001()( )d4MMu MFVr20u 數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法),(0MMG純點(diǎn)源產(chǎn)生的場（不計初始條件和邊界條件的影響）000

4、1()()d4MMu MF MVr001(,)4MMG M Mr自由空間的格林函數(shù)線性系統(tǒng)( ) t( )h t線性系統(tǒng)( )f t( )( )f th t0000000011(,)()()d()d44MMMMG M MF MF MMF MMrrr1 格林函數(shù)定義數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法0|,)(02uMu內(nèi)rr000d)(),()(VMFMMGMu0|,)(2uMFMu內(nèi)0(,)G M M)(|,)(2MfuMFMu內(nèi)）（2()0,|()u Muf M內(nèi)000(,)()()dG M Mu Mf MSn 對泊松問題對拉普拉斯問題000000

5、d)(),(d)(),()(SMfnMMGVMFMMGMu數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法2 拉普拉斯方程的格林函22()d()dVSvuuvvuVuvSnn ()d0SvuuvSnnu，v均為調(diào)和函數(shù)0111()( )d4Suu MuSn rrn 0001111()()()d44SMMMMvuu MuvSnn rrn0114MMvrv為調(diào)和函數(shù)，且滿足0011()() d4SMMu MuvSnr 0()dSGu MuSn 0011()4MMG Mvr2()0,|()u Muf M內(nèi)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法

6、章格林函數(shù)法3 區(qū)域的格林函數(shù)和狄氏問題的解電象法求格林函數(shù) 在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾?，這兩個電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。101141),(0MMMMrrMMG半空間的格林函數(shù)0114MMvrv為調(diào)和函數(shù)，且滿足0011()4MMG Mvrzddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()0 ,(0, 0222222101141),(0MMMMrrMMG20

7、20202020204141zzyyxxzzyyxx00(,)()()dG M Mu Mf MSn 00(,)|( , )dzG M Mf x ySz例1 求解下列定解問題解：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法20202020202004141),(zzyyxxzzyyxxMMG00(,)()|( , )dzG M Mu Mf x ySz0000|),(zzMMG2/320202021zzyyxxz02/320202002/320202000|44zzzyyxxzzzzyyxxzz 0002/3202020dd)(21)(yxMfzzyyxxzMu數(shù)

8、學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222),(0000zyxM)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )dzG M Mf x ySz3 z例2 求解下列定解問題解：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章格林函數(shù)法章格林函數(shù)法四分之一空間的格林函數(shù) 3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)第第4 4章