熱工檢測儀表2測量誤差分析與處理

1、第二章 測量誤差分析與處理本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：1.隨機誤差的分析隨機誤差的分析2.直接測量誤差分析與處理直接測量誤差分析與處理3.間接測量誤差分析與處理間接測量誤差分析與處理4.剔除可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學方法剔除可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學方法5.系統(tǒng)誤差分析系統(tǒng)誤差分析6.等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理7.組合測量誤差分析與處理組合測量誤差分析與處理本章重點：本章重點：1.掌握標準偏差、標準誤差、貝塞掌握標準偏差、標準誤差、貝塞爾公式等概念和計算公式爾公式等概念和計算公式2.掌握隨機誤差、系統(tǒng)誤差的基本掌握隨機誤差、系統(tǒng)誤差的基本概念、分析及處理方法。概念、分析及處理方法。3.掌握等

2、精度測量結果的數(shù)據(jù)處理掌握等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理方法方法4.最小二乘法及應用最小二乘法及應用本章難點：本章難點：等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理方法及等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理方法及應用。應用。2.1隨機誤差的分析隨機誤差是由于儀器不完善、熱騷動、空氣擾動、大地震動、測量者感官的無規(guī)變化等對測量值影響較小、又互不相關的多種因素綜合引起的。就一次測量而言，隨機誤差不可避免、不可控制、不可預見、沒有規(guī)律性，也不能用實驗的方法加以消除。再規(guī)定的條件下對某一物理量重復測量時，所得結果互不相同，其總體服從統(tǒng)計規(guī)律，多數(shù)情況下服從正態(tài)分布，具有隨機變量的一切特征，則稱這類誤差為隨機誤差。2.1.12.1.1隨機誤

3、差的正態(tài)分布隨機誤差的正態(tài)分布連續(xù)型正態(tài)分布隨機變量X的概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：222)()(21xxeP（2-1） 式中均值或數(shù)學期望值； 均方根差或標準偏差； 2方差 隨機變量可能取值的范圍和取這些值的相應概率,稱為隨機變量的概率分布.方差的定義是當n時，測定值xi與真值之差的平方的統(tǒng)計值，表示為：2n1iin12)(x2-2則：n1i2)i(xn1limn2-3值恒為正值。如果令測定值x對真值的偏差為真誤差，據(jù)定義，有 =x-， 2-4則2-1式可以改寫成作用于該組測定值的隨機誤差的分布密度函數(shù)形式：22221)p(e2-5 函數(shù)p(x)或p()的圖解曲線成為正態(tài)分布曲線，呈鐘型，如

4、圖2.1所示。P（x）xP()OP( )：隨機誤差的概率密度 （概率） ； ：隨機誤差。 可見隨機誤差的分布與由該隨機誤差作用的恒定量重復測量數(shù)據(jù)分布具有同一形式：標準偏差相同，分布形狀相同，只是橫坐標相差一個真值。圖2-1 正態(tài)分布（a）x的正態(tài)分布曲線（b）隨機誤差的正態(tài)分布曲線2.1.2正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分 將密度函數(shù)積分，就獲得正態(tài)分布函數(shù)F（x），亦稱概率積分或簡稱為概率：dxe21F(x)222)(xx2-6 由概率積分求隨機誤差出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率為：de212a)ap(202222-7 在統(tǒng)計學上,隨機變量 (誤差)取值的范圍定義為置信區(qū)間,用符號a表示，而隨機變量（誤差

5、）在置信區(qū)間取值的概率為置信概率。而且，p(|)68.27%， p(|2)95.45%， p(|3)99.73%。以上關系示于圖2-2。圖2-2 置信概率與置信區(qū)間 -3 -2 - 0 2 3 68.27%95.45%99.73%P()2.1.3 隨機誤差的特點1 對稱性絕對值相等的正誤差和負誤差，其出現(xiàn)的概率相等； 2 單峰性絕對值小的誤差在測量中出現(xiàn)的概率要大于絕對值大的誤差； 3 有界性絕對值很大的隨機誤差出現(xiàn)的概率接近于零。即在一定測量條件下的有限測量值中，測量誤差的絕對值不會超過一定的界限；4 抵償性相同條件下（等精度測量）對同一量進行測量，測量誤差的代數(shù)和隨測量次數(shù)的無限增加而趨進

6、于零。2.1.4標準偏差圖2-3表示了對應不同標準偏差的正態(tài)分布曲線。-6 -4 -2 0 2 4 6 P()圖2-3 標準偏差不同的正態(tài)分布曲線 可見， 大小不同，各測量值的彌散程度不同，或稱符合度不同。愈小，p(x)減小的速度快，分布曲線愈尖銳。這意味著小誤差出現(xiàn)的概率大，而大誤差出現(xiàn)的概率小。因而，可以用標準偏差來表示測量的精密度。從幾何角度看，恰好是p()曲線拐點的橫坐標。由拐點性質(zhì)0d)p(d22，根據(jù)式2-5，令01)(2ed)p(d22322222=0.4=1.0=2.5則0122故2.2 直接測量誤差分析與處理2.2.1算術平均值與標準誤差 所有測量，無論采用什么方法，其目的都

7、是為了求得被測物理量的真值，但是，由于多種原因，絕大多數(shù)被測物理量的真值是無法得到的，只能通過多次反復的測量，并對測量數(shù)據(jù)進行處理，求取真值的估計值（最可信賴或最佳值）的大小。 在數(shù)理統(tǒng)計中，所研究的隨機變量x取值的全體或集合，稱為總體；隨機變量的真值稱為總體均值；稱為總體的標準偏差；從總體中隨機選取n個數(shù)據(jù)x1 ,x2 ,xn ,稱為子樣，或樣本值。樣點總數(shù)n稱為樣本容量。具有代表性和獨立性的子樣能夠反映總體的特性，因而可以根據(jù)子樣來認識總體。 一列n次等精度測量所得到的n個測定值xi為隨機變量，其算術平均值為樣本平均值的代數(shù)和除以樣本容量，即：,xn1)xxx(xn1xn1iini212-

8、8 當測量次數(shù)n時，x的極限值稱為該測量值的數(shù)學期望，其關系式為).1(lim1niinxxnM2-9可以證明n1in1iinn1iinxn1xlimn1)xn1(limM即 Mx = 2-10上式說明x的數(shù)學期望（統(tǒng)計平均值）等于真值。也就是說，算數(shù)平均值x是真值的無偏估計。證明如下： 設測量序列為x1 , x2 , , xn , 則隨機誤差為： i= xi - i=1 , 2 , , n 2-11將上式兩邊求和得：nxnnxn1iin1iin1iin1ii或 由隨機誤差正態(tài)分布的特性（抵償性），有：nx0nn1iin1ii當n當n 2-12故對于有限測量列，把其算術平均值x做為該測量值的最

9、佳值，這就是算術平均值原理。 一般地說，x ，x本身也是一個隨機量。每作一組n次等精度測量，所得的算術平均值都略有不同。若對某一量重復測量n次，得 由于x 或是正態(tài)的，而正態(tài)分布的隨機變量之和的分布仍是正態(tài)的，故x也屬于正態(tài)分布。因而，也可以用x的標準偏差x來表征和評定算術平均值x的精密度。 設各測量列的均方根誤差都相同，均為，即 ：一測量數(shù)據(jù)列，可求出一個算術平均值1x，重復上述過程m次，則可求出m個算術平均值，分別是。x,x,xm21nn1i2kikK=1,2,m 2-13x :kk并令則算術平均值的均方根誤差可表示為：mm1k2kx2-15 2n1i2ki22n1in1iki22n1ik

10、i2k2kn1)(xn1)x(n1)nx()x(而將上式代入2-15，則有：nnm2m1k2x故nx2-17 2-142-16一般稱 x為被測量的標準誤差，式2-17說明n次測量平均值的方差是原始測量值（即總體）方差的n1。顯然，n增大，x下降算術平均值的精密度增高，亦即x作為的估計值的精密度增高。 式2-17圖解表示如圖2-4。 0 5 10 15 20 251.21.00.80.60.40.2nx圖2-4 比值x與n的關系曲線 無限增多測量次數(shù)并不持續(xù)有效，x的下降速度比n 的增長慢得多；而且實際測量中，n增大會使工作量大為增加，并因而破壞等精度測量條件，故取測量次數(shù)很少超過50100，常

11、有n20.2.2.2 標準偏差的估計值貝塞爾公式 由標準偏差的定義式2-3可見，它是以真誤差x-及測量次數(shù)n的情況下定義的。實際測量時，樣點數(shù)有限，且真值不可測知，只能求得各剩余誤差（殘差），即隨機變量的某一次測定值xi與全部測量結果算術平均值之差：Vi = xi -x2-18由2-4和2-14式知：n1ii2n1i2in1i2in1i2iv 2nv)(vv)x()x(x-xiiii故0 xn-xnx-xvn1in1iin1ii而且由式2-16：22n12n1i2i2vn即：1n)x(x1nvn1i2in1i2i最后得：2-19式2-19即為著名的貝塞爾公式。當n時，x，(n-1)n，可見貝塞

12、爾公式與原始定義式2-3完全一致。上述推導引用了n的條件。原則上當n足夠大時，式2-19才是正確的，當n為有限時，用貝塞爾公式計算所得的結果，為理論值的估計值。為示區(qū)別，用加上標“”來表示估計值，寫作?？傆小．敎y量次數(shù)n為有限時，顯然用貝塞爾公式求得的本身也是個隨機量。因此也同樣存在一個對估值離散程度的估價問題?？梢杂玫臉藴势顏肀碚鞯木芏?。此時稱為標準偏差的標準偏差，其值為：2n 由此可見，應用貝塞爾公式估計出來的偏差，其精度是不高 的，實際測量中，當n50時，=0.1；當n=10時，=0.22因此，對的計算結果，通常取一位有效數(shù)字，或最多不超過二位有效數(shù)字，其計算精度約在10%。2.2.

13、3 小子樣誤差分析、t分布及其應用 只有當子樣容量n趨近于無窮時，x 才準確地等于x ，當n為有限時，x 是一隨機變量，其值在x 周圍擺動，平均值的標準誤差很不準確，子樣容量愈小，這種情況就愈嚴重。 為了在母體參數(shù)未知的情況下，根據(jù)子樣平均值估計被測量真值,必須考慮一個統(tǒng)計量，它的分布只取決于子樣容量n，而與母體均方根誤差無關，現(xiàn)在，引入統(tǒng)計量t，定義：nx-xtx4-1 統(tǒng)計量t不服從正態(tài)分布，而是服從所謂t分布（又稱學生氏分布）。t分布的概率密度函數(shù)是：212)t)(12()21()f(t;4-2 式中是特殊函數(shù)，是正整數(shù)，稱為t分布的自由度。當進行n次獨立測量時，統(tǒng)計量t由于受平均值的約

14、束，服從自由度為n-1的t分布，所以=n-1。正態(tài)分布（n=)t分布（n=2)tF(t;)0圖4-1 t分布曲線 假設一列等精度獨立測量值x1 ，x2 ，xn 服從正態(tài)分布，真值和均未知，根據(jù)這一列測定值可求得子樣平均值及均方根誤差的估計值：1)n(n)x(xxn1xn1i2ixn1ii 利用4-2作如下的概率描述：p)txtp()ttp(pxpp4-3或?qū)懗桑簆)txtxp(xpxp4-4測量結果可表示成：xptx測量結果(P=?) P v123456789100.9973235.8019.219.216.625.514.904.534.284.093.360.9963.669.925.84

15、4.604.033.713.503.363.253.17表4-1 t分布的分位數(shù)（tp）表 顯然，tp 1,xxpt對于小子樣，若用x來計算誤差限，往 往得到太好的結果。 例：用光學高溫計測量某金屬鑄液的溫度，得如下5個測量數(shù)據(jù)（):975,1005,988,993,987。設金屬鑄液溫度穩(wěn)定，測溫隨機誤差屬于正態(tài)分布。求鑄液的實際溫度（置信概率取99%）。 解：（1）4.7989.8)(x1)5(51989.8x51x51i2ix51ii（2） p=99.73% ，置信系數(shù)k=3， 測量結果為：=989.83*4.7=989.8 14.1（3）因測量次數(shù)較少，采用t分布推斷給定置信概率下的誤

16、差限：由p=99.73%，=5-1=4,查表4-1得tp=5.51,測量結果為： =989.8 5.51 *4.7=989.8 25.9 (p=99.73%)2.3 間接測量的誤差分析與處理間接測量的誤差分析與處理 通過已經(jīng)得到的有關直接測量量的平均值（也可是單次測定值）及其誤差，估計間接測量量的真值及其誤差。2.3.1 誤差傳遞原理： 設間接測量量y是可以直接測量量x1 , x2 ,xm 的函數(shù)，其函數(shù)關系式為： y=F(x1 ,x2 ,xm) 5-1 假定對x1 , x2 , , xm都進行了n次測量，那么每個xi (i=1,2，m)都有自己的一列測定值xi1 , xi2 ,xim , 則

17、： （1）間接測量量的最佳估計值y可以由與其有關的各直接測量量的算術平均值ix（I=1 , 2 , ,m )，代入代數(shù)關系式5-1求得：)x,.,x,xF(ym215-2 （2）間接測量量的標準誤差是各獨立直接測量量的標準誤差和函數(shù)對該直接測量量偏導數(shù)乘積的平方和的根：2x2m2x222x21ym21)xF()xF()xF(5-3 （3）局部誤差的取舍原則：若某個局部誤差小于間接測量量標準誤差的1/3，則該局部誤差是微小誤差，可以舍去。2.3.2 間接測量誤差分析在測量系統(tǒng)設計中的應用間接測量誤差分析在測量系統(tǒng)設計中的應用 誤差傳布原理不僅可以解決如何根據(jù)各獨立的直接測量量誤差傳布原理不僅可以

18、解決如何根據(jù)各獨立的直接測量量及其誤差估計間接測量量的真值及其誤差的問題，而且對測量及其誤差估計間接測量量的真值及其誤差的問題，而且對測量系統(tǒng)的設計有重要意義。如果規(guī)定了間接測量結果的誤差不能系統(tǒng)的設計有重要意義。如果規(guī)定了間接測量結果的誤差不能超過某一值，那么可以利用誤差傳布規(guī)律求出各間接測量量的超過某一值，那么可以利用誤差傳布規(guī)律求出各間接測量量的誤差允許值，以便滿足間接測量量允許誤差的要求。同時，可誤差允許值，以便滿足間接測量量允許誤差的要求。同時，可以根據(jù)各間接測量量允許誤差的大小選擇適當?shù)膬x表。以根據(jù)各間接測量量允許誤差的大小選擇適當?shù)膬x表。 一般采用等影響原則即：一般采用等影響原則

19、即：mm2211xFxFxFiiy )xF(m從而從而 進而考慮技術上實現(xiàn)的可能性及各測量量在函數(shù)關系中進而考慮技術上實現(xiàn)的可能性及各測量量在函數(shù)關系中的地位，對誤差分配進一步調(diào)整。（高次冪出現(xiàn)的應提高精的地位，對誤差分配進一步調(diào)整。（高次冪出現(xiàn)的應提高精度要求，對方根形式出現(xiàn)的可放松要求等。）度要求，對方根形式出現(xiàn)的可放松要求等。） 2.3 剔除可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學方法剔除可疑數(shù)據(jù)的統(tǒng)計學方法 凡是用測量的客觀條件不能解釋為合理的明凡是用測量的客觀條件不能解釋為合理的明顯偏離測量總體的個別測值，稱為異常值（壞顯偏離測量總體的個別測值，稱為異常值（壞值）。值）。異常值是虛假的，并會直接形象數(shù)據(jù)總體

20、異常值是虛假的，并會直接形象數(shù)據(jù)總體的正確性。測量中的粗大誤差導致出現(xiàn)異常值。的正確性。測量中的粗大誤差導致出現(xiàn)異常值。粗大誤差又稱疏失誤差、粗差、差錯。意指明顯粗大誤差又稱疏失誤差、粗差、差錯。意指明顯歪曲測量結果的誤差。在測量過程中，粗大誤差歪曲測量結果的誤差。在測量過程中，粗大誤差是偶然出現(xiàn)的，帶有隨機性。產(chǎn)生粗大誤差的原是偶然出現(xiàn)的，帶有隨機性。產(chǎn)生粗大誤差的原因主要是測量方法不當，測試者的粗心大意，以因主要是測量方法不當，測試者的粗心大意，以及出現(xiàn)概率極小但作用較強的偶發(fā)性干擾等。粗及出現(xiàn)概率極小但作用較強的偶發(fā)性干擾等。粗大誤差在數(shù)值上遠大于隨機誤差或系統(tǒng)誤差。嚴大誤差在數(shù)值上遠大

21、于隨機誤差或系統(tǒng)誤差。嚴格地說，它已不屬于誤差的范疇，而是不應該發(fā)格地說，它已不屬于誤差的范疇，而是不應該發(fā)生但大多由于粗心大意而導致的一種錯誤。生但大多由于粗心大意而導致的一種錯誤。 根據(jù)隨機誤差的單峰性和有界性，絕對值很大根據(jù)隨機誤差的單峰性和有界性，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率很小。因此，總可以確定一的誤差出現(xiàn)的概率很小。因此，總可以確定一些原則來判斷某些可疑數(shù)據(jù)是否在正常的離散些原則來判斷某些可疑數(shù)據(jù)是否在正常的離散分布范圍之內(nèi)。分布范圍之內(nèi)。 用統(tǒng)計學方法處理可疑數(shù)據(jù)的實質(zhì)，就是給定用統(tǒng)計學方法處理可疑數(shù)據(jù)的實質(zhì)，就是給定一個置信系數(shù)或置信概率，再根據(jù)一個置信系數(shù)或置信概率，再根據(jù)a=

22、k ,找出找出相應的置信區(qū)間。凡在此區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，就相應的置信區(qū)間。凡在此區(qū)間以外的數(shù)據(jù)，就定為異常數(shù)據(jù)并從測定值數(shù)列中剔除。定為異常數(shù)據(jù)并從測定值數(shù)列中剔除。在實際在實際測定值處理中，常用算術平均值代替真值，用測定值處理中，常用算術平均值代替真值，用標準偏差估計值代替標準偏標準偏差估計值代替標準偏差差，凡測量值在區(qū)，凡測量值在區(qū)間間 以外，即以外，即kxkx kxxk6-1這時，就將該數(shù)據(jù)這時，就將該數(shù)據(jù)xk定為壞值，棄而不用。公式定為壞值，棄而不用。公式6-1中，置信中，置信系數(shù)系數(shù)k選定過小，有可能把正常的測定值當成異常值剔除；置選定過小，有可能把正常的測定值當成異常值剔除；置信系數(shù)給

23、得過大，異常值又有可能未被鑒別出來，從而影響測信系數(shù)給得過大，異常值又有可能未被鑒別出來，從而影響測值處理的精確度。下面介紹幾種常用的判別方法。值處理的精確度。下面介紹幾種常用的判別方法。（1）萊特準則）萊特準則(3 準則）準則）3xxi6-2該準則是以該準則是以n為前提的。當測量次數(shù)較少時，這個判據(jù)并不可靠。為前提的。當測量次數(shù)較少時，這個判據(jù)并不可靠。31n當當n=10,若壞值若壞值xk包含在一列等精度測量值包含在一列等精度測量值xi中，則：中，則：3)x(x101i2i3xxk即式子即式子恒成立，此時已無法依據(jù)萊特準則剔除壞值恒成立，此時已無法依據(jù)萊特準則剔除壞值Xk 。當然以上推算理論

24、上也是不嚴格的，因為貝塞爾公式的引用有。當然以上推算理論上也是不嚴格的，因為貝塞爾公式的引用有n的前提。的前提。 萊特準則的運用條件一般要求萊特準則的運用條件一般要求n 20 。（2） 肖維勒準則肖維勒準則 同上，根據(jù)式同上，根據(jù)式6-1，當某剩余誤差滿足：，當某剩余誤差滿足： 剔除該壞值剔除該壞值xk，式中，式中 n3，故肖維勒準則比萊特準則，故肖維勒準則比萊特準則嚴格一些，更易于發(fā)現(xiàn)壞值。但在嚴格一些，更易于發(fā)現(xiàn)壞值。但在n185時，時，肖維勒準則是對萊特準則的一種變革，但它沒有固定肖維勒準則是對萊特準則的一種變革，但它沒有固定的概率意義，特別是理論上當?shù)母怕室饬x，特別是理論上當 n時，時

25、， n ，此時，此時所有異常值都不能被剔除。所有異常值都不能被剔除。vnknnnnnn34567891011121. 381. 531. 651. 731. 791. 861. 921. 962. 002. 04131415161718192021222.072.102.132.162.182.202.222.242.262.28232425262728293031322.302.322.332.392.502.582.712.813.023.29表表6.2 肖維勒系數(shù)肖維勒系數(shù) n數(shù)值表數(shù)值表（3）格拉布斯準則）格拉布斯準則當當vn),(k6-4則認為則認為xk為壞值。式中，為壞值。式中，

26、=1-p為危險率；為危險率； ( ,n)值列于表值列于表6.3。 格拉布斯準則是建立在統(tǒng)計理論基礎上的較為合理的判斷方法。格拉布斯準則是建立在統(tǒng)計理論基礎上的較為合理的判斷方法。在作以上統(tǒng)計學處理時，在作以上統(tǒng)計學處理時， 值不宜選得過小，否則正常值被誤判的值不宜選得過小，否則正常值被誤判的概率固然減小了，但把異常值判為正常值的另一種誤判的可能性卻概率固然減小了，但把異常值判為正常值的另一種誤判的可能性卻增大了。工程計算時，通常取增大了。工程計算時，通常取 =0.05或或0.01。 n0.010.05 n0.010.05 n0.010.05345678910111. 161. 491. 751

27、. 942. 102.222.322,412.481. 151. 461. 671. 821. 942. 032.112.182.231213141516171819202.552.612.662.702.752.782.822.852.882.282.332.372.412.442.482.502.532.562122232425303540502.912.942.962.993.013. 103.183.243.342.582. 602.622.642.662.742.812.872.96表表6.3 格拉布斯系數(shù)格拉布斯系數(shù) ( ,n)數(shù)值表數(shù)值表例例2：重復測量某電壓：重復測量某電壓24

28、次，測定結果如表次，測定結果如表6.4:序號 測 定 值序號 測 定 值序號 測 定 值1234567825.30725.32425.30025.29525.29325.29425.31425.34191011121314151625.31525.31425.29925.30325.31325.29825.31125.309171819202122232425.31625.31025.31725.30625.29125.32525.31525.308求估計值及標準誤差。求估計值及標準誤差。解：（解：（1）根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以求出：）根據(jù)測量數(shù)據(jù)可以求出：0.011625.3091x根據(jù)萊特準則，全

29、體數(shù)據(jù)可用。根據(jù)萊特準則，全體數(shù)據(jù)可用。（2）根據(jù)肖維勒準則，）根據(jù)肖維勒準則，n=24時，時， 24=2.32。其中。其中0.01162.32v8，故，故x8此時被判為壞值。剔除后重新計算：此時被判為壞值。剔除后重新計算：0.009725.3077x標準偏差已明顯下降，而標準偏差已明顯下降，而 23=2.30，各剩余誤差均能滿足，各剩余誤差均能滿足0.00972.30vi無新的壞值出現(xiàn)，各測定值可用。無新的壞值出現(xiàn)，各測定值可用。（3）根據(jù)格拉布斯準則，系數(shù)）根據(jù)格拉布斯準則，系數(shù) (0.01,24)=2.99， (0.05,24)=2.64。如果。如果取取 =0.01，將判定，將判定x8為

30、正常數(shù)據(jù)；若取為正常數(shù)據(jù)；若取 =0.05，則，則x8被判為壞值。被判為壞值。 從例從例6.2可以看出，對于同一測定值數(shù)列，三種判據(jù)的結論互有可以看出，對于同一測定值數(shù)列，三種判據(jù)的結論互有差異。差異。2.4 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 2.4.1 系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及分類系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及分類 系統(tǒng)誤差是指在規(guī)定的測量條件下多次測量同一量系統(tǒng)誤差是指在規(guī)定的測量條件下多次測量同一量值時，誤差的數(shù)值保持恒定，或按某種確定的規(guī)律變值時，誤差的數(shù)值保持恒定，或按某種確定的規(guī)律變化的誤差。化的誤差。系統(tǒng)誤差具有下面特點：系統(tǒng)誤差具有下面特點：（1） 確定性確定性系統(tǒng)誤差是固定不變的，或是一個確定性的（非系統(tǒng)誤差是固

31、定不變的，或是一個確定性的（非隨機性質(zhì)）時間函數(shù)，它的出現(xiàn)服從確定的函數(shù)規(guī)律。隨機性質(zhì)）時間函數(shù)，它的出現(xiàn)服從確定的函數(shù)規(guī)律。（2） 重現(xiàn)性重現(xiàn)性在測量條件完全相同時，重復測量時系統(tǒng)誤差在測量條件完全相同時，重復測量時系統(tǒng)誤差可以重復出現(xiàn)?？梢灾貜统霈F(xiàn)。（3） 可修正性可修正性由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，就決定了它的可修由于系統(tǒng)誤差的重現(xiàn)性，就決定了它的可修正性。正性。 系統(tǒng)誤差的分類：系統(tǒng)誤差的分類：（1） 固定不變的系統(tǒng)誤差。固定不變的系統(tǒng)誤差。（2） 線性變化的系統(tǒng)誤差。線性變化的系統(tǒng)誤差。（3） 周期性變化的系統(tǒng)誤差。周期性變化的系統(tǒng)誤差。（4） 變化規(guī)律復雜的系統(tǒng)誤差。變化規(guī)律復雜的系統(tǒng)誤

32、差。變值系差變值系差恒值系差恒值系差研究系統(tǒng)誤差的意義在于：研究系統(tǒng)誤差的意義在于：（1） 對隨機誤差所進行的數(shù)學分析和處理，是以測量數(shù)對隨機誤差所進行的數(shù)學分析和處理，是以測量數(shù)據(jù)中不含系統(tǒng)誤差為前提的。研究系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因據(jù)中不含系統(tǒng)誤差為前提的。研究系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因極其規(guī)律，并消除或減弱其在誤差總體中的影響，對以極其規(guī)律，并消除或減弱其在誤差總體中的影響，對以數(shù)理統(tǒng)計方法提高隨即誤差的分析至關重要。數(shù)理統(tǒng)計方法提高隨即誤差的分析至關重要。（2） 系統(tǒng)誤差在數(shù)值上常比隨即誤差大得多，但其出現(xiàn)系統(tǒng)誤差在數(shù)值上常比隨即誤差大得多，但其出現(xiàn)的規(guī)律性又常隱含在測量數(shù)據(jù)中不易被發(fā)現(xiàn)，更由于多次的

33、規(guī)律性又常隱含在測量數(shù)據(jù)中不易被發(fā)現(xiàn)，更由于多次重復測量不能降低它對測量結果準確度的影響，故比隨即重復測量不能降低它對測量結果準確度的影響，故比隨即誤差更具危險性。誤差更具危險性。（3） 對系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及其本質(zhì)的研究，有助于發(fā)現(xiàn)新對系統(tǒng)誤差的性質(zhì)及其本質(zhì)的研究，有助于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律或事物。的規(guī)律或事物。 恒定系差可以修正，而變值系差無法修正。二者都恒定系差可以修正，而變值系差無法修正。二者都可以通過實驗分析或計算予以抵消或削弱?？梢酝ㄟ^實驗分析或計算予以抵消或削弱。2.4.2 系統(tǒng)誤差的判別系統(tǒng)誤差的判別（1）實驗對比法）實驗對比法通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進行同

34、條件的測量，以便發(fā)現(xiàn)誤差，它用于發(fā)現(xiàn)固定不變的同條件的測量，以便發(fā)現(xiàn)誤差，它用于發(fā)現(xiàn)固定不變的系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差。（2） 殘余誤差觀察法殘余誤差觀察法 對被測量進行多次測量后得對被測量進行多次測量后得到測量列到測量列x1 ,x2 ,xn ,便可算出相應便可算出相應 的殘余誤差列，通過的殘余誤差列，通過對殘余誤差列大小符號的變化分析，可以判斷該測量列對殘余誤差列大小符號的變化分析，可以判斷該測量列有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系有無系統(tǒng)誤差，這種方法主要用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。統(tǒng)誤差。（3）殘余誤差之和相減法）殘余誤差之和相減法當測量次數(shù)較多時，將測當測量次數(shù)較多時，將測量

35、列前一半的殘余誤差之和，減去測量列后一半的殘余量列前一半的殘余誤差之和，減去測量列后一半的殘余誤差之和，若其差值接近于零，說明不存在變化的系統(tǒng)誤差之和，若其差值接近于零，說明不存在變化的系統(tǒng)誤差。若其差值明顯不為零，則認為測量列存在著變化誤差。若其差值明顯不為零，則認為測量列存在著變化的系統(tǒng)誤差。的系統(tǒng)誤差。2.4.3 減少系統(tǒng)誤差的方法減少系統(tǒng)誤差的方法 從現(xiàn)實的角度看從現(xiàn)實的角度看,沒有一種通用的處理模式來降低系統(tǒng)誤沒有一種通用的處理模式來降低系統(tǒng)誤差的影響差的影響,檢驗及鑒別實驗中是否存在系統(tǒng)誤差檢驗及鑒別實驗中是否存在系統(tǒng)誤差,分析產(chǎn)生系統(tǒng)分析產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因誤差的原因,估計系統(tǒng)誤差

36、的數(shù)值估計系統(tǒng)誤差的數(shù)值,以及盡可能消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤以及盡可能消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的根源差的根源,或設法防止受到這些誤差源的影響或設法防止受到這些誤差源的影響,例如提高操作人例如提高操作人員的水平員的水平;改善測量工作環(huán)境改善測量工作環(huán)境,采用穩(wěn)壓、散熱、恒溫、屏蔽采用穩(wěn)壓、散熱、恒溫、屏蔽措施措施;定期校準儀表定期校準儀表,正確調(diào)節(jié)零點正確調(diào)節(jié)零點;在讀測數(shù)據(jù)時引入儀表的在讀測數(shù)據(jù)時引入儀表的修正值等修正值等,這些都是減小系統(tǒng)誤差較為有效的方法這些都是減小系統(tǒng)誤差較為有效的方法. 采用某些特定的測量技術采用某些特定的測量技術,可以在相當程度上減小以致可以在相當程度上減小以致消除系統(tǒng)誤差的影響消除系

37、統(tǒng)誤差的影響,例如例如:(1) 零示法零示法_零示法屬于比較測量法零示法屬于比較測量法.它是把被測量與作為計量它是把被測量與作為計量單位的標準的已知量進行比較單位的標準的已知量進行比較,使二者的效應相互抵消使二者的效應相互抵消.當總當總的效應為零時的效應為零時,指示讀數(shù)為零或最小指示讀數(shù)為零或最小.零示法測量的準確度主零示法測量的準確度主要決定于標準已知量的準確性要決定于標準已知量的準確性,而對平衡狀態(tài)的判斷是否準確而對平衡狀態(tài)的判斷是否準確,主要取決于指示器的靈敏度主要取決于指示器的靈敏度.零示法可以較好地消除系統(tǒng)誤差零示法可以較好地消除系統(tǒng)誤差.（3）交換法）交換法交換法又稱為對照法。交換

38、法原理是交換法又稱為對照法。交換法原理是交換改變測量條件，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y量結果交換改變測量條件，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因?qū)y量結果起相反的作用，從而抵消了恒定系差。起相反的作用，從而抵消了恒定系差。 系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)一般是有規(guī)律的，其產(chǎn)生的原因是系統(tǒng)誤差的出現(xiàn)一般是有規(guī)律的，其產(chǎn)生的原因是可知或可以掌握的。工程測量中估計誤差時，應該重點可知或可以掌握的。工程測量中估計誤差時，應該重點研究系統(tǒng)誤差。在一個測量當中，如果系統(tǒng)誤差很小，研究系統(tǒng)誤差。在一個測量當中，如果系統(tǒng)誤差很小，則測量結果的準確度就高?？梢哉f，測量的準確度由系則測量結果的準確度就高?？梢哉f，測量的準確度由系統(tǒng)誤差來表征。如果

39、存在某項系統(tǒng)誤差，而我們卻毫無統(tǒng)誤差來表征。如果存在某項系統(tǒng)誤差，而我們卻毫無察覺，那是很危險的。察覺，那是很危險的。（2） 替代法替代法替代法是在測量條件不變的情況下，替代法是在測量條件不變的情況下，用已知量替代測量電路中的待測量，并使儀器的示值用已知量替代測量電路中的待測量，并使儀器的示值不變，以達到消除恒定系差的目的。此時，被測量就不變，以達到消除恒定系差的目的。此時，被測量就等于標準已知量。等于標準已知量。2.5 等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理等精度測量結果的數(shù)據(jù)處理 恒定量數(shù)據(jù)處理的目的，就是從測量所得的一組等精度原恒定量數(shù)據(jù)處理的目的，就是從測量所得的一組等精度原始數(shù)據(jù)中，通過誤差分析和

40、加工整理，求出被測量值的最佳始數(shù)據(jù)中，通過誤差分析和加工整理，求出被測量值的最佳估計值，并計算其精度。估計值，并計算其精度。 在一組等精度測量的數(shù)據(jù)中，常含有系統(tǒng)誤差、隨機誤在一組等精度測量的數(shù)據(jù)中，常含有系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。誤差的性質(zhì)不同，對誤差的處理方法也不同。差和粗大誤差。誤差的性質(zhì)不同，對誤差的處理方法也不同。對于系統(tǒng)誤差，可以采取消除誤差源或減弱誤差源的影響、對于系統(tǒng)誤差，可以采取消除誤差源或減弱誤差源的影響、以及對測定值進行修正等技術措施來處理；對于隨機誤差的以及對測定值進行修正等技術措施來處理；對于隨機誤差的影響，應該用統(tǒng)計平均的方法消除或削弱；而對含有粗大誤影響，應該

41、用統(tǒng)計平均的方法消除或削弱；而對含有粗大誤差的壞值，則應予以剔除。當然，在實際測量中，隨機誤差、差的壞值，則應予以剔除。當然，在實際測量中，隨機誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差并不是一成不變的，它們在一定的條件系統(tǒng)誤差和粗大誤差并不是一成不變的，它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。下可以相互轉(zhuǎn)化。 數(shù)據(jù)處理的步驟如下：數(shù)據(jù)處理的步驟如下：（1）判明是否含有系統(tǒng)誤差，（方法如）判明是否含有系統(tǒng)誤差，（方法如3.2），然后，），然后，采取各種措施消除誤差源或減小誤差源的影響，用修采取各種措施消除誤差源或減小誤差源的影響，用修正值等方法，減小恒定系差的影響。判明含有系統(tǒng)誤正值等方法，減小恒定系差的影響。判明含有

42、系統(tǒng)誤差的測量數(shù)據(jù)，原則上應舍棄不用。差的測量數(shù)據(jù)，原則上應舍棄不用。（2）求算術平均值）求算術平均值（3）求各測定值相應的剩余誤差）求各測定值相應的剩余誤差n1iixn1xxxvii理論上講，剩余誤差之和為零。應予校準：理論上講，剩余誤差之和為零。應予校準：0vn1ii（4）按貝塞爾公式計算數(shù)列標準偏差的估計值）按貝塞爾公式計算數(shù)列標準偏差的估計值1nv)x(x1n1n1i2in1i2i（5）判斷測定值中是否含有壞值，并剔除之。當測量次數(shù)足）判斷測定值中是否含有壞值，并剔除之。當測量次數(shù)足夠多時，可以用方法較為簡單的萊特準則；如果夠多時，可以用方法較為簡單的萊特準則；如果n較少，應當較少，應

43、當用格拉布斯或肖維勒準則。用格拉布斯或肖維勒準則。（6）剔除壞值后，數(shù)據(jù)總數(shù)相應減少。應重新計算）剔除壞值后，數(shù)據(jù)總數(shù)相應減少。應重新計算x，vi和再判斷和剔除可能出現(xiàn)的壞值。再判斷和剔除可能出現(xiàn)的壞值。 在一組測量數(shù)據(jù)中，由于粗大誤差引起的壞值應當是在一組測量數(shù)據(jù)中，由于粗大誤差引起的壞值應當是很少的幾個。如果剔除的壞值數(shù)目較多，則說明測量很少的幾個。如果剔除的壞值數(shù)目較多，則說明測量系統(tǒng)工作不正常，不具備精密測量條件，測量數(shù)據(jù)不系統(tǒng)工作不正常，不具備精密測量條件，測量數(shù)據(jù)不可信。應重新安排測量工作，改善測量條件，獲取新可信。應重新安排測量工作，改善測量條件，獲取新的測量數(shù)據(jù)。的測量數(shù)據(jù)。（

44、7）計算算術平均值的標準誤差估計值）計算算術平均值的標準誤差估計值（8）按設定的數(shù)據(jù)量和置信概率，可以寫出測量結果處）按設定的數(shù)據(jù)量和置信概率，可以寫出測量結果處理值及其可信范圍的表示式。理值及其可信范圍的表示式。 (P=?)nxxkx測量結果（9）測量結果的誤差評價）測量結果的誤差評價 測量誤差即一定概率下真誤差可能出現(xiàn)的范圍的界限測量誤差即一定概率下真誤差可能出現(xiàn)的范圍的界限值也就是置信區(qū)間半長。實際測量中常用以下幾種表示值也就是置信區(qū)間半長。實際測量中常用以下幾種表示方法：方法：1.標準誤差標準誤差xx測量結果(P=68.3%)2. 平均誤差平均誤差x2x測量結果（p=57.5%）xn1

45、ii2nxx測量誤差這時這時實質(zhì)是殘差的平均值。實質(zhì)是殘差的平均值。3. 或然誤差或然誤差x0.6745x測量結果（p=50%）4. 極限誤差極限誤差x3x測量結果（p=99.73%） 以上的表示方法的置信概率含義并不明確，因為即使以上的表示方法的置信概率含義并不明確，因為即使測定值服從正態(tài)分布，其置信概率并不恒定，而是隨測定值服從正態(tài)分布，其置信概率并不恒定，而是隨n而而異，因此，常用異，因此，常用t分布估計測量誤差。分布估計測量誤差。5. t分布誤差估計分布誤差估計xptx測量結果（p=99%或或p=95%） t根據(jù)設定的置信概率根據(jù)設定的置信概率p和樣本容量和樣本容量n，由，由t分布表分

46、布表4-1查得。查得。2.6 誤差的綜合誤差的綜合（1） 隨機誤差的綜合隨機誤差的綜合 若測量結果中含有若測量結果中含有k項彼此獨立的隨機誤差，各單項測量的標項彼此獨立的隨機誤差，各單項測量的標準誤差分別為準誤差分別為 1 , 2 , k ，則，則k項獨立隨機誤差的綜合效應是它們項獨立隨機誤差的綜合效應是它們的平方和之均方根。的平方和之均方根。k1i2i（2）系統(tǒng)誤差的綜合）系統(tǒng)誤差的綜合 若測量結果中含有若測量結果中含有l(wèi)項已定系統(tǒng)誤差分別為項已定系統(tǒng)誤差分別為E1 ，E2 ，El ,則已則已定系統(tǒng)誤差的綜合效應為：定系統(tǒng)誤差的綜合效應為：l1iiEE（3）未定系統(tǒng)誤差的綜合）未定系統(tǒng)誤差的

47、綜合 估計出未定系統(tǒng)誤差極限范圍估計出未定系統(tǒng)誤差極限范圍e，并設測量結果中含有，并設測量結果中含有m項未定系項未定系統(tǒng)誤差為統(tǒng)誤差為e1 ,e2 ,em ,則：則：m1iiee（4）誤差合成規(guī)律）誤差合成規(guī)律k1ppm1jjl1iieE測量系統(tǒng)的綜合誤差為測量系統(tǒng)的綜合誤差為：2.7 組合測量的誤差分析與處理組合測量的誤差分析與處理2.7.1概述概述 從一組離散的測量數(shù)據(jù)中，運用有關誤差理論知識，從一組離散的測量數(shù)據(jù)中，運用有關誤差理論知識，用數(shù)學方法減小隨機因數(shù)引起測定值對原函數(shù)的偶然偏用數(shù)學方法減小隨機因數(shù)引起測定值對原函數(shù)的偶然偏差，求差，求 得一條能最佳地描述該原函數(shù)的曲線的過程，稱

48、得一條能最佳地描述該原函數(shù)的曲線的過程，稱為擬合。為擬合。而以比較符合事物內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學表達式來而以比較符合事物內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學表達式來代表這一函數(shù)關系或擬合曲線的方法，稱為回歸分析。代表這一函數(shù)關系或擬合曲線的方法，稱為回歸分析。 采用回歸分析，能夠把測量數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律性用最佳采用回歸分析，能夠把測量數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律性用最佳的經(jīng)驗公式表示出來，關系簡明緊湊，易于判斷各因數(shù)的經(jīng)驗公式表示出來，關系簡明緊湊，易于判斷各因數(shù)的影響，從而能最的影響，從而能最 優(yōu)化的分析測試條件。回歸分析后，優(yōu)化的分析測試條件?；貧w分析后，還可進行微積分和插值處理，以及對變化趨勢作某種預還可進行微積分和插值處理，以及

49、對變化趨勢作某種預測和估計預測的精度等。測和估計預測的精度等。 回歸分析的主要內(nèi)容有：回歸分析的主要內(nèi)容有：（1）根據(jù)實驗測量數(shù)據(jù)，確定變量之間是否存在相關）根據(jù)實驗測量數(shù)據(jù)，確定變量之間是否存在相關關系，如果存在相關關系，則找出變量間關系的合適關系，如果存在相關關系，則找出變量間關系的合適的數(shù)學表達式，對變量間的關系給以近似描述，從而的數(shù)學表達式，對變量間的關系給以近似描述，從而建立表征被測系統(tǒng)基本特征的數(shù)學模型。建立表征被測系統(tǒng)基本特征的數(shù)學模型。（2）對關系式的可信程度進行統(tǒng)計檢驗，并了解這種）對關系式的可信程度進行統(tǒng)計檢驗，并了解這種歸納性預測的精度。歸納性預測的精度。2.7.2 最小

50、二乘法原理最小二乘法原理 最小二乘法原理是一個統(tǒng)計學原理，用來解決從一組測最小二乘法原理是一個統(tǒng)計學原理，用來解決從一組測定值中決定最佳值或最可信賴值的問題，它在工程實際中應定值中決定最佳值或最可信賴值的問題，它在工程實際中應用很廣泛。最小二乘法作為一種最似然方法，用很廣泛。最小二乘法作為一種最似然方法，僅在正態(tài)分布僅在正態(tài)分布誤差的情況下才成立誤差的情況下才成立。然而在與正態(tài)分布差異不大，以及在。然而在與正態(tài)分布差異不大，以及在誤差很小的任意分布時，也常用最小二乘法原理來處理數(shù)據(jù)。誤差很小的任意分布時，也常用最小二乘法原理來處理數(shù)據(jù)。假定某一元獨立變量假定某一元獨立變量x的函數(shù)表示為：的函數(shù)

51、表示為：y=f(x;a,b,=f(x;a,b,) )8-1式中，式中，a,b,是常數(shù)變量，而且是測量求解值。測量時，是常數(shù)變量，而且是測量求解值。測量時，改變改變x數(shù)值，相繼取數(shù)值，相繼取x1 , x2 ,xn ,測量出對應值測量出對應值y1 , y2 ,yn ,若測量無誤差，則把若測量無誤差，則把n個測量結果個測量結果yi及其對應值及其對應值xi代入式代入式8-1中，就可以得到中，就可以得到n個方程，就能得到個方程，就能得到a,b,共共n個參數(shù)值。個參數(shù)值。 然而然而yi的測量不可避免地含有誤差，因而解出的的測量不可避免地含有誤差，因而解出的a,b,也必然有誤差。為了簡化討論，假定也必然有誤

52、差。為了簡化討論，假定xi的取值無誤差，的取值無誤差，則真誤差為：則真誤差為： I I=y=yi i - f(x - f(xi i ; a,b,; a,b,) 8-2) 8-2 設在等精度測量中，各測量值的出現(xiàn)是彼此獨立的，設在等精度測量中，各測量值的出現(xiàn)是彼此獨立的，互不相關，互不相關， I I為正態(tài)分布，故所有誤差同時出現(xiàn)的概為正態(tài)分布，故所有誤差同時出現(xiàn)的概率為率為n2nin1i2)(de)21(de21p22i22i8-3 根據(jù)正態(tài)分布的特性，在一組測量中，測量結果的最根據(jù)正態(tài)分布的特性，在一組測量中，測量結果的最佳估計值乃是概率佳估計值乃是概率p為最大時所求出的計算值。為使為最大時所

53、求出的計算值。為使p最大，最大，顯然應該令顯然應該令min)2(max)2(n1i22in1i22i8-4或或?qū)嶋H上，測定值的真值不可知，常用算術平均值代替真值，以剩余誤差實際上，測定值的真值不可知，常用算術平均值代替真值，以剩余誤差代替真誤差，并以標準偏差的估計值代替標準偏差，則上式可以改寫為：代替真誤差，并以標準偏差的估計值代替標準偏差，則上式可以改寫為：n1i22imin)2v(8-5 式式8-5說明，說明，測量結果中最佳估計值出現(xiàn)的條件是剩余誤測量結果中最佳估計值出現(xiàn)的條件是剩余誤差平方和為最小，這在數(shù)學上稱為最小二乘法差平方和為最小，這在數(shù)學上稱為最小二乘法。而而,.)b, a ;f(xyviii8-6 將式將式8-6代入代入8-5，有，有min,.)b, a ;f(xyn1i2ii8-7 要求估計值能滿足最小二乘條件要求估計值能滿足最小二乘條件8-7，就是要求，就是要求0vb0va 2i2i8-8亦即要求解下列聯(lián)立方程組：亦即要求解下列聯(lián)立方程組：0)bf,.)(b,a ;f(xy0)a f,.)(b,a ;f(xyiiiiii8-9式中式中，i)a f(表示函數(shù)表示函數(shù)f(x;a,b,)對對a的偏導數(shù)在的偏導數(shù)在