應用隨機過程復習資料

1、1 EX(t) X(s) DX(t) X(s) (t s)由于 X(0) 0故mX (t) EX(t) EX(t) X(0) tX2 (t) DX(t) DX(t) X(0)tRX(s,t) EX(s)X (t) EX(s)X(t) X(s) X (s)2EX(s) X (0) X(t) X(s) E X (s) 22EX(s) X(0)EX(t) X(s) DX(s) EX(s)222s (t s) s ( s)2 2st s s( t 1)BX (s,t) RX(s,t) mX ( s)mX (t) sgX (u) EeiuX (t ) exp t(eiu 1)2 定理 3.2 設 X(t

2、),t 0 是具有參數 的泊松分布，Tn,n 1 是對應的時間間隔序列，則隨機變量Tn是獨立同分布的均值為 1 的指數分布Proof:注意到 T1 t 發(fā)生當且僅當泊松過程在區(qū)間 0,t 內 沒有事件發(fā)生，因而 PT1 t P X(t) 0 e t 即 FT (t) PT1 t 1 PT1 t 1 e t 所以 T1 是服從均值為 1 的指數分布 .利用泊松過程的獨立、 平穩(wěn)增量性質，有PT2 t |T1 s PX(t s) X(s) 0PX(t) X(0) 0 e t即 FT (t) PT2 t 1 PT2 t 1 e t對任意的 n 1和 t,s1,s2,.,sn 1 0 有e t ,t

3、0概率密度為 fT (t)Tn0,t 03 設在 0,t 內事件 A已經發(fā)生 n次,0 s t ,對于0 k n,求 P X(s) k | X(t) n解:利用條件概率及泊松分布得P X(s) k|X(t) nPX(s) k,X(t) nPX(t) nPX (s) k,X(t) X(s) n kP X(t) n這是一個參數為 n 和 s 的二項分布 t4 對有 s t 有PW1 s|X(t) 1PW1 s,X(t) 1P X(t) 1P X(s) 1,X(t) X(s) 0PX(t) 1P X(s) 1P X(t) X(s) 0P X(t) 1se se (t s) s se s t 即分布函

4、數為0,s 0FW1|X (t) 1(s)s t,0 s t1,s t分布密度為1 t,0 s t fW1|X(t) 1(s)0,其它N(t)5 設 X(t)Yk ,t 0是復合泊松過程則k1PT2 t |T1 s1,.,Tn 1 sn 1 P X(t) X(0) 0 e t 即 FT (t) PTn t 1 e t1) X(t),t 0 是獨立增量過程；2) X (t )是特征函數 gX(t)(u) exp t gY (u) 1 ,其中所以對任一 Tn 其分布是均值為 1 的指數分布所以 FTn (t) PTn t1 e t,t 00,t 0gY (u)是隨機變量 Y1的特征函數 ; 是事件

5、的到達率 ;3)若 E(Y12),則 EX(t) tEY1,DX(t)tEY12Proof:1)令 0 t0 t1 . tm ,N(tk)則 X(tk) X(tk1)Yi ,k 1,2,., m 故 X(t)i N (tk 1) 10 l n和i,j I ,n步轉移概率 pij(n )具有下列性質：(1)pi(jn)pi(kl ) pk(jn l) kI(2)pi(jn)2)因為gX(t)(u) EeiuX (t) EeiuX (t) |N(t) nPN(t) nn0n ( t)nEexp(iu Yk)|N(t) ne tn 0 k 1 n!exp tgY (u) 1(3)(4)P(n)P(n

6、). k1 I kn 1 I PP(n 1) Pnpik1 pk1k2 .pkn 1jProof:1)3)由條件期望的性質 EX(t) EEX(t)| N(t) 及假設N(t)知 EX(t)|N(t) n E Yi |N(t) n nE(Y1)i1利用全概率公式及馬爾科夫性，有(n) PXm i,Xm n j pijPXm n j | Xm iP Xm ipk(jn l)(m l )pi(kl ) (m)pi(kl ) pk(jn l)k I k I2)在(1)中令 l 1,k k1，得 pijpik1 pk1jk1 I所以EX(t) EEX(t)|N(t) EN(t)E(Y1)tE(Y1)這

7、是一個遞推公式，故可推得到pij.pik1 pk1k2 .pkn 1jk1 I kn 1 I3)在 (1)中令 l 1,利用矩陣乘法可證4)由 (3),利用歸納法可證8 判別馬氏性、齊次性類似地 DX(t)|N(t) N(t)DY1 ,DX(t) EN(t)DY1 DN(t)E(Y1) tE(Y1)21)馬氏性定義 : PXn 1 in 1| X0 i0,X1 i1,., Xn inP Xn 1 in 1 |Xn in6 設脈沖到達計數器的規(guī)律是到達率為 的泊松過程 ,記錄 每個脈沖的概率為 p ,記錄不同脈沖的概率是相互獨立的 .l令 X(t) 表示已被記錄的脈沖數 .2)(1) 求 PX(

8、t) k, k 0,1,2,.P Xn 1 in 1, Xn 1 in 1 ,., X1 i1 P Xn 1 in 1 |Xn in PXn1 in 1|Xn in. PX1 i1|Xn in(2) X(t) 是否為泊松過程 .9 設 Xn ,n 0 為馬爾科夫鏈，試證解：設 N (t ), t 0表示在 0, t區(qū)間脈沖到達計數器的個數(1) PXn 1 in 1,., Xn m in m |X0 i0 ,.X n in1,第i個脈沖被計數器記錄令i0, 第i個脈沖沒有被計數器記錄PXn 1 in 1,., Xn m in m |Xn inN(t)則 X(t) i 根據復合泊松過程的定義知X

9、 (t)為泊松過i1(2)P X0 i0 ,. X n in,Xn 2 in 2 ,., Xn m in m |Xn 1 in 1故 X(t)強度為 p,PX (t) k ept ( pt)k ,k 0,1,. k!程，且 EX(t) EN(t) E 1 t p ptPX0 i0,.Xn in |Xn 1 in 1 P Xn 2 in 2 ,., Xn m in m |Xn 1 in 1 proof: (1)PX n 1 in 1,., X n m in m | X 0 i 0 ,. X n inPX 0 i0,.Xn in, X n 1 in 1 ,., X n m in mPX0 i0,.

10、Xn in7 設Xn,n T 為馬爾科夫鏈 ,則對任意整數 n 0,PX n i n ,., X n m in mPXn inPXn 1 in 1,., X n m in m|Xn in(2)利用條件概率類似可得10 設馬氏鏈 Xn 的狀態(tài)空間為I 0,1. 轉移概率為111p00, pi,i 1,pi0,i222考察狀態(tài) 0 可知1 (2) 1 1 1 (3)2,p00 2 2 4, p0000121300010P001010012013013000000000p(010)0018 有p(00n) 21n0 0 14 0 3 4 0 可知各狀態(tài)的周期 d 3.固定狀態(tài) i 1 令 G0 j:

11、對某n 0有p1(3, jn) 0 1,4,61故 f00 n 1, 0 n2n 1 2nn1G1 j:對某n 0有p1(,3jn 1) 0 3,5G2 j:對某n 0有p1(3, jn 2) 0 2可見 0 為正常返，由于 f (1)0010，2所以它是非周期的，故 C G0 G1 G2 1,4,6 3,5 2因而是遍歷的， 對于其它狀態(tài)由定理 4.9，因i0故i 也是遍歷的pii 1 pi , pii ri , pii 1 qi(i 0),其中 pi,qi 0001000000001P0000101313013001000000120001211 設 I 1,2,.6 轉移矩陣為試分解此鏈

12、并指出各狀態(tài)的常返性及周期性 .pi ri qi 1.稱這種馬爾科夫鏈為生滅鏈 ,是不可約的，a0 1,ajp0.pj 1q1.qj試證此馬氏鏈存在平穩(wěn)分布的充要條件為ajj0解：有題可知 f(3) 1, f(n) 0,n 3所以 1 nf(n) 3 11 11 11n1可見 1 為正常返狀態(tài)且周期等于 3.含 1 的基本常返閉集為C1 k:1 k 1,3,5從而狀態(tài) 3及 5 也為正常返且周期為 3.同理可知 6為正常返3狀態(tài) . 6,其周期為 1,含 6 的基本常返閉集為2C2 k:6 k 2,6可見 2 是遍歷的 .(1) 1 (n)由于 f4(41), f4(4n) 0,n 1故4非常

13、返，周期為 1，于是 I3可分解為 I D C1 C2 4 1,3,5 2,612 設不可分馬氏鏈的狀態(tài)空間為 C 1,2,.6 ,轉移矩陣為00r01q1Proof:由題可知jj 1pj 1jrjj 1qj 1, j 1pj r j qj 1于是有遞推關系q1 1 p0 00qj 1 j 1 pj jqj j pj 1 j 1解得 j pj 1 j 1 , j 0qj所以 jpj 1 j 1qjp0 0 aj 0q1對 j 求和得 1 j 0 ajj 0 j 0由此可知平穩(wěn)分存在的充要條件是 aj 此時j01ajajj13 設馬爾科夫鏈具有狀態(tài)空間 I 0,1,. ,轉移概率14 設馬氏鏈的

14、轉移概率矩陣為PX(s t) j |X(s) i(1) 12 1 2 (2)13 2 3p1q1q3p200q2p3計算 f11(n),f1(2n),n 1,2,3解： (1)(1)11(2)111,6(3)111;9(1)12(2)12(3)13(2)f1(11)p1, f1(12) 0, f11(3)(1) (2) (3) q1q2q3; f12q1, f12p1q1, f132p1 q115 設馬氏鏈的轉移矩陣為q10q1p10p2求它的平穩(wěn)分布 .PX(s t) X(s) j i e t (jt)i)!當 j i 時,由于過程的增量只取非負整數 ,故 pij (s,t) 0,所以 pi

15、j (s,t) pij (t)e t ( t)j i( j i)!, j i0, j i即轉移概率只與 t 有關 ,泊松過程具有齊次性17解：(1)求 poisson 過程的 Q 及poisson過程 pij(t)( jt)i)!e t, j i 00,其它0, j ip(0) lim pij (0) lim e t1, j i0, j i解： jp1.pj 1q1.qj0, j1, 0(2)由性質知 p(t)關于 t一致連續(xù)j 1 p1pklim p(t) (存在) tj 1 k 0 qk 1(3) Q lim p(0) I 存在qij lim pij (t) Iijlimt( t) j i

16、e t(j i)!lim( t) j ie tt( j i)!16 證明泊松過程 X(t),t 0 為連續(xù)時間齊次馬氏鏈 Proof:先證泊松過程具有馬氏性 ,再證齊次性 ,由泊松過程的 定義知 X(t),t 0 識獨立增量過程 ,且 X(0) 0 對任意0 t1 . tn 1 有PX(tn 1) in 1| X(t1) i1,.,X(tn) inPX(tn 1) X(tn) in 1 in |X(t1) X(0) i1,.,X(tn) X(tn 1) in in 1PX(tn 1) X(tn) in 1 in又因為 PX(tn 1) in 1|X(t1) i1,.,X(tn) inPX(tn

17、 1) X(tn) in 1 in |X(tn) X(0) inPX(tn 1) X(tn) in 1 inPX(tn 1) in 1|X(t1)i1,.,X(tn) in所以PX(tn 1) in 1|X(tn) in 即泊松過程是一個連續(xù)時間馬氏鏈； 再證齊次性 ,當 j i 時 ,由泊松過程定義 ,得t limlim ( t)e tt0, j i 1, j,018 M/M/s 排隊系統(tǒng) .假設顧客按照參數為的泊松過程來到一個有 s 個服務員的服務站 ,即相繼到達顧客的時間間隔是 均值為 1 的獨立指數隨機變量 ,每一個顧客一來到 ,如果有 服務員空閑 ,則直接進行服務 ,否則此顧客加入排

18、隊行列 .當一 個服務員結束對一位顧客的服務時,顧客就離開服務系統(tǒng) ,排立身以立學為先，立學以讀書為本 隊中的下一個顧客進入服務 . 假定相繼的服務時間是獨立的指數隨機變量 ,均值為 1 .如果我們以 X(t) 記時刻 t系統(tǒng)中的人數 ,則 X(t),t 0是生滅過程21 設隨機過程 X(t) Asin( t) Bcos( t)，其中 A、B 是 均值為零、方差為 2 相互獨立的正態(tài)隨機變量 .試問：n ,1 n sn s ,n s ， n ,n 0M/M/s 排隊系統(tǒng)中 M 表示馬氏過程 ,s 代表有 s個服務員 .特別,在M/M/s 排隊系統(tǒng)中 , n , n,于是若 1,則n( )n1

19、( )nn11 ,n 0(1) X(t)的均值是否各態(tài)歷經的？(2) X(t)的均方值 EX(t)2是否各態(tài)歷經的？(3) 若 A - 2 sin ，B= 2 cos , 是(0,2 )上服從 均勻分布的隨機變量 ,此時 EX(t)2是否各態(tài)歷經的？ 解：(1) EX (t )=EA sin( t) EB cos( t)=0要平穩(wěn)分布存在 , 必須小于 . 的情況類似隨機游 動 ,它是常零返的 ,從而沒有極限概率19 某修理店只有一個服務員, 顧客按強度為 4 人每小時poisson 過程到達 ,服務員對每位顧客服務的時間是常數10的指數分布 ,問(1)修理店空閑的概率 0 ;(2)等候服務的

20、顧客 平均數1TX(t) 1 i m X (t )dt T 2T T 1T=1 i m 2 Bcos( t)dtT 2T 0 sin( t)=1 i m BTt由于 B N(0, 2) ,故lim ETsin( t)B 0 limsin2( t)T2t22EB2 0解： (1) 0 10.6 ；1(2) L n n 0 0 1 1 . 1.5 n0即 sin( t)B 均方收斂于 0,故 X (t )的均值是各態(tài)歷經的 t(2)EX(t)2 EA2sin2( t) B2 cos2( t) 2 AB sin( t)cos( t) 221 T 2X2(t) 1Ti m2T T X2(t)dtA2

21、B2sin2 T 2 21 i m (B A ) 2T4T類似(1)可證得 1Ti msin42TT (B2 A2) 0，故20 討論隨機過程 X(t) Y的各態(tài)歷經性 ,其中 Y 是方差不 為零的隨即變量 .22X2(t)A 2 B解： 易知 X (t) Y 是平穩(wěn)過程 ,事實上EX(t) EY mX (常數)，RX (t,t ) EY2 DY mX2(與t無關) 但此過程不具有各態(tài)歷經性，因為1TX (t) 1 i m Ydt Y ,Y是非常數，不等于 EX(t) .所以 X(t) Y的均值不具有 各態(tài)歷經性 .類似可證其相關函數也不具有各態(tài)歷經性.22又 A N(0, 2) ,故 A22(1),D(A2) 2,DA2 2 41 2 2 1 2 2 2E (A2 B2)(EA2 EB2)222D1 (A2 B2) 1 (DA2