概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：ch4-2 方差

1、 前面介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)前面介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。數(shù)學(xué)期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨期望體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征。機(jī)變量的重要的數(shù)字特征。 但在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠但在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的，還需了解其他數(shù)字特征。的，還需了解其他數(shù)字特征。4.2 4.2 方差方差 例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果次，將測(cè)量結(jié)果X用坐用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：a 乙儀器測(cè)量結(jié)果乙儀器測(cè)量結(jié)果 a甲儀器測(cè)量結(jié)果甲儀器測(cè)量結(jié)果較好較好因?yàn)橐?/p>

2、儀器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近。又如，甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊又如，甲、乙兩門(mén)炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：甲炮射擊結(jié)果甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙較好乙較好因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 。 中心中心中心中心 為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來(lái)為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征，用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值偏離其中心度量隨機(jī)變量取值偏離其中心(均值均值)的程度。的程度。這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。這個(gè)數(shù)字特征就是我們要介紹的方差。4.2.1 方差的定義方差的定義

3、注注: 有的書(shū)上也將有的書(shū)上也將Var(X)記成記成 D(X)。 定義定義1: 設(shè)設(shè) X 是一隨機(jī)變量，若是一隨機(jī)變量，若EX- -E(X)2 存在存在, 則稱其為則稱其為X 的方差，記成的方差，記成 Var(X)，即，即 Var(X)= EX- -E(X)2 ; (1)并稱并稱 為為X的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。)(XVar 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X- -E(X)都起正的作用都起正的作用若方差較大，則說(shuō)明若方差較大，則說(shuō)明X 的取值比較分散。的取值比較分散。若方差若方差Var(X)=0，則，則 X 以概率以概率1取取常數(shù)常數(shù)。 方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)方差刻劃

4、了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度期望的偏離程度 。若方差較小，則說(shuō)明若方差較小，則說(shuō)明X 的取值比較集中；的取值比較集中；均值均值E(X)X為離散型，為離散型，PX=xk=pk 由定義知，方差是隨機(jī)變量由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 。,)()(,)()(212dxxfXExpXExXVarkkk X為連續(xù)型，為連續(xù)型，f (x)為密度。為密度。例例1 1：設(shè)設(shè) X 服從服從0-1分布，分布， 求求 Var(X)。解：解： Var(X) = (0- -p)2(1- -p) + (1- -p)2p = p(1- -p) 例例2 2：設(shè)設(shè)

5、 X 服從均勻分布，服從均勻分布， 求求 Var(X)。解：解：dxabbaxXVarba1)2()(223)(121)2(131abbaxabba計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式Var(X)=E(X2)- -E(X)2 . 展開(kāi)展開(kāi)證：證：Var(X)=EX- -E(X)2=EX2- -2X E(X)+ +E(X)2=E(X2)- -2E(X)2+E(X)2=E(X2)- -E(X)2.利用期利用期望性質(zhì)望性質(zhì)求求 Var( (X) )。 例例 3：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X 的的密度函數(shù)為密度函數(shù)為:.1 ,0 ,0,1 ,0 ,2)(xxxxf.1813221 22

6、)()( )()()(22101022222xdxxxdxxdxxxfdxxfxXEXEXVar解：解：例例4：設(shè)設(shè)X為某加油站在一天開(kāi)始時(shí)貯存的油量，為某加油站在一天開(kāi)始時(shí)貯存的油量，Y 為一天中賣(mài)出的油量為一天中賣(mài)出的油量( (當(dāng)然當(dāng)然YX) )。設(shè)。設(shè)( (X, ,Y) )具有概率密度函數(shù)具有概率密度函數(shù)這里這里1表明表明1個(gè)容積單位，求每日賣(mài)出的油量個(gè)容積單位，求每日賣(mài)出的油量Y 的期望與方差。的期望與方差。. ,0, 10 ,3),(其他xyxyxf； 0 0 ),()(dxdxyxfyfY解：解：當(dāng)當(dāng) y 1 1 時(shí)時(shí), ,當(dāng)0y1時(shí),).1(23 3 ),()(21yxdxdxy

7、xfyfyY.1 , 0 , 0,1 , 0 ),1(23)( 2yyyyfY所以，,)()(51123 21022dyyyYE. 0594.0 8351 )()()(222YEYEYVar,)()(83123 210dyyyYE4.2.2 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì) (1). 設(shè)設(shè)C是常數(shù)是常數(shù), 則則Var(C)=0;(2). 若若C是常數(shù)，則是常數(shù)，則Var(CX)=C2 Var(X);(3). 若若X1與與X2 獨(dú)立，則獨(dú)立，則 Var(X1X2)= Var(X1)+Var(X2);可推廣為：可推廣為：若若X1, X2, , Xn相互相互獨(dú)立，則獨(dú)立，則； )(121niiiniiiXVar

8、CXCVar例例5：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的的期望和方差分別為期望和方差分別為E( (X) )和和Var( (X) )，且且Var( (X) ) 0 0，求求的期望和方差。 )()(XVarXEXY解：解：； 0 )()()()(1 )()()(1)(XVarXEXEXVarXVarXEXXVarEYE.1 )()(1 )(1 )()()(1)(XVarXVarXXVarVarXVarXEXXVarVarYVar. )()( 的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量為稱XXVarXEXY4.2.3 幾種常用隨機(jī)變量的方差幾種常用隨機(jī)變量的方差 1. 1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布若若 X B(1, p)，則，則 Var(X

9、) = p(1- -p)； 2. 2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布若若 X B(n, p)，則，則 Var(X) = n p(1- -p)； 3. 3. 泊松分布泊松分布若若 X P()，則，則 Var(X) = ；,!) 1( !) 1( )1( ) 1()(02202ekkkekkkXXEXXXEXEkkkk利用前面講過(guò)的利用前面講過(guò)的 E(X) =，得，得而而 ,!) 1(002eekkkkkkkk, )(22XE所以，. )()()(22XEXEXVar 4. 4. 均勻分布均勻分布若若 X U(a, b) ，則，則.12)()(2abXVar5.指數(shù)分布 ).0( 0 , 0 , 0 ,)(xxexfxdxxfxXE)()(22 所以，,2022 dxexx.)()()()(2221 1 XEXEXVarXE，得利用6.6.正態(tài)分布正態(tài)分布. 21/)( 21)( )()(22222)(22222dtetxtdxexXEXEXVartx若若 X N( , 2)，則，則例例5：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X N( , 2)，計(jì)算，計(jì)算(1). P - - X + + ;(2). P - -2 X +2 ；(3). P - -3 X + +3 。解：解：由由(X- - )/ N(0, 1)，得，得(1).；