定積分在物理學中的應用

1、一、變力沿直線作功一、變力沿直線作功二、液體靜壓力二、液體靜壓力三、引力三、引力四、平均值四、平均值 由物理學知道，如果物體在作直線運動的由物理學知道，如果物體在作直線運動的過程中有一個不變的力過程中有一個不變的力F作用在這物體上，且作用在這物體上，且這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在這力的方向與物體的運動方向一致，那么，在物體移動了距離物體移動了距離s時，力時，力F對物體所作的功為對物體所作的功為sFW . 如如果果物物體體在在運運動動的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、變力沿著直線作功一

2、、變力沿著直線作功ro q a b1 解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間,drrr ,功微元功微元,2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠處drrkqwa 2 arkq1.akq 點擊圖片任意處播放點擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標系如

3、圖建立坐標系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)單位：單位：1000N解解設木板對鐵釘?shù)淖枇樵O木板對鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第

4、一次力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多少？次錘擊時又將鐵釘擊入多少？n設設 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點點處處壓壓強強p不

5、不相相等等，平平板板一一側側所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想二、液體靜壓力二、液體靜壓力例例 4 4 一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設桶的底半徑為設桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為 ，計算桶的一端面，計算桶的一端面上所受的壓力上所受的壓力解解在端面建立坐標系如圖在端面建立坐標系如圖xo取取x為積分變量，為積分變量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx .222dxxR , xp 小小矩矩形形片片的的壓壓力力元元素素為為dxxRxdP222 dxxRx

6、PR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖xoa2a2a面積微元面積微元,)(2dxxa )2(axdPdxxaaxPa )(2(20 .373a axaal2水面水面dxxa)(2xdxx 由物理學知道，質(zhì)量分別為由物理學知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個質(zhì)點間的引力的大小為的兩個質(zhì)點間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向連線方向 如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力，如果要計算一根細棒對一個質(zhì)點的引力，那么，由于細棒上各點與該質(zhì)點

7、的距離是變化那么，由于細棒上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的，的，且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的，就不能用此公式計算就不能用此公式計算三、引力三、引力2l2l xyoMa解解 建立坐標系如圖建立坐標系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點將典型小段近似看成質(zhì)點小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為,dy rydyy 小段與質(zhì)點的距離為小段與質(zhì)點的距離為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)

8、4(22122laalkm 由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF xyoMar2l2l ydyy 先將區(qū)間先將區(qū)間a,bn等分等分,分點為分點為 ，每，每個小區(qū)間的長度為個小區(qū)間的長度為 在各分點處的函數(shù)值記在各分點處的函數(shù)值記為為 .當很小當很小(即即n充分大充分大)時，在每個小時，在每個小區(qū)間上函數(shù)值視為相等，區(qū)間上函數(shù)值視為相等， bxxxan 10)(,xfnabx ), 2 , 1)(nixfyii n個數(shù)值個數(shù)值 的算術平均為的算術平均為)(121nyyyny nyyy,21 討論如何規(guī)定和計算連續(xù)函數(shù)討論如何規(guī)定和計算連續(xù)函數(shù)(x)在在a,

9、b上的上的平均值平均值四、平均值四、平均值故可以用故可以用 的平均值的平均值nyyy,21)(121nyyyn 來近似表達來近似表達(x)在在a,b上的所有取值的平均值上的所有取值的平均值稱極限值稱極限值 為函數(shù)為函數(shù)(x)在在a,b上的平均值上的平均值121lim()nnyyyyn,)(lim1limlim101021xxfabxabyyxabyyyyniixnxnn 由于由于 .,)(d)(1上上的的平平均均值值的的計計算算公公式式在在就就是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)故故baxfxxfabyba 例例7 計算純電阻電路中正弦交流電計算純電阻電路中正弦交流電 在一在一個周期個周期 上的功率的平均值上

10、的功率的平均值(簡稱平均功率簡稱平均功率)tIim sin 2 T解解 設電阻為設電阻為R，則電路中的電壓為，則電路中的電壓為tRIiRum sin tRIuiNm 22sin 功功率率為為ttRIttRITNmTmdsin2dsin12022022 為為一一個個周周期期上上的的平平均均功功率率,222sin4)d()cos1(4220222022mmmmmUIRIttRIttRI 其中其中 表示最大電壓，也稱為電壓峰值，即表示最大電壓，也稱為電壓峰值，即純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流與電純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流與電壓的峰值的乘積的一半壓的峰值的乘積的一半RIUmm

11、通常交流電器上標明的功率就是平均功率，而交通常交流電器上標明的功率就是平均功率，而交流電器上標明的電流值都是另一種特定的平均值，流電器上標明的電流值都是另一種特定的平均值，常稱為有效值常稱為有效值 一般地，周期性非恒定電流一般地，周期性非恒定電流i的有效值是這樣規(guī)定的有效值是這樣規(guī)定的：當電流的：當電流i(t)在一個周期在一個周期T內(nèi)在負載電阻內(nèi)在負載電阻R上消耗的上消耗的平均功率等于取固定值平均功率等于取固定值I的恒定電流在的恒定電流在R上消耗的功率上消耗的功率時，稱這個固定值為時，稱這個固定值為i(t)的有效值的有效值RtititutN)()()()(2 TTttiTRtRtiTN0202

12、d)(d)(1它在它在0,T上的平均值為上的平均值為電流電流i(t)在電阻在電阻R上消耗的功率為上消耗的功率為 而固定值為而固定值為I的電流在的電流在R上消耗的功率為上消耗的功率為N=I2R， 因此因此,d)(022 TttiTRRI TttiTI02d)(1 即即利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關的物理知識）（注意熟悉相關的物理知識）小結小結思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受

13、到的浮力有何關系？壓力與它在水中受到的浮力有何關系？思考題解答思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下半球該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關球浸沒的深度無關一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作

14、多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二、二、 一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律3tcx 作直線運動，媒質(zhì)的阻力與作直線運動，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計算物體由速度的平方成正比，計算物體由0 x移至移至ax 時，克服媒質(zhì)阻力所作的功時，克服媒質(zhì)阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長610 米和米和米，高為米，高為20米，較長的底邊與水面相齊米，較長的底邊與水面相齊. .計算閘門計算閘門的一側所受的水壓力的一側所受的水壓力 . .練練 習習 題題四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球

15、的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一塊一塊a高為高為 ，b底為底為的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計算薄板每面所受的壓力板每面所受的壓力 . .六、六、 設有一半設有一半R徑徑為為，中心，中心 角為角為的圓弧形細棒，其的圓弧形細棒，其線密度為線密度為 常數(shù)常數(shù)，在圓心處有一質(zhì)，在圓心處有一質(zhì)的的量為量為 m質(zhì)點質(zhì)點M，試求這細棒對質(zhì)，試求這細棒對質(zhì)M點點的引力的引力 . .七、七、 油類通過直油管時，中間流速大，越靠近管壁流油類通過直油管時，中間流速大，越靠近管壁流速越小，實驗測定，某處的流速越小，實驗測定，某處的流與與速速 v流處到管子流處到管子中心的距中心的距之間之間離離 r有關系式有關系式)(22rakv , ,其中其中為比例為比例k常數(shù)，常數(shù)，為油管為油管a半徑半徑. .求通過油管的流求通過油管的流量量 （注： 當