微分基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)

1、4 7 微分基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)1定義如果函數(shù) y= f (x)在點(diǎn) x 的某一鄰域內(nèi)有定義，且當(dāng)自變量 x 有改變量 x時(shí)，函數(shù) y 有改變量 yy= f (x+x) - f (x)=A?x+o(x) (x0)其中 A 與 x無關(guān)，則稱 A?x為函數(shù) f (x)在點(diǎn) x處的微分，記作 dy或 df (x)即dy=A ?x 或 df (x) =A? x此時(shí)也稱函數(shù) y= f (x)在點(diǎn) x 處可微。當(dāng) A 0時(shí)函數(shù)的微分 dy=A ? x 也稱作函數(shù)的改變量 y的線性主部。 2可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理 函數(shù) y= f (x)在 x點(diǎn)可微的充要條件是：函數(shù) y= f (x)在 x點(diǎn)可導(dǎo)。換言之，若函數(shù) y=

2、 f (x)在 x 點(diǎn)可導(dǎo)，則它在 x 點(diǎn)可微，且 dy= f (x)x；反之若函數(shù)在 x 點(diǎn)可微 dy=A? x，即，則它在 x 點(diǎn)可導(dǎo)，且 f (x) =A又因自變量的微分就等于自變量的改變量，即dx= x，所以dy= f (x)dx f(x) =ddyx即函數(shù) y= f (x)在 x處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分之商，故導(dǎo)數(shù)也稱作微商。3微分的幾何意義函數(shù) f (x)在處的微分 dy= f (x0)dx 即為切線 MT 上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量(如圖所示) dy=| NT |4微分的基本公式和運(yùn)算法則由 dy= f (x)dx 和導(dǎo)數(shù)的基本公式，可得如下 微分基本公式：(1) d (C

3、) = 0 (C 為常數(shù))(2) d (x )= x 1 dx( 為任意實(shí)數(shù) )(3) d (sin x)= cos xdx(4) d (cos x)=- sin xdx2(5) d (tg x)= sec2xdx2(6) d (ctg x)=- csc2xdx7)d (a x)= a x lnadx8)d (e x)= e xdx9)d (log a| x |)= 1xlndx (a > 0，a1)(10)d (ln| x |)= 1dx ax11)d (arcsin x)=111 dx( 12) d (arccos x)= x21 x2dx13)11d (arctg x)=dx( 1

4、4)d (arcctg x)=dx1 x2 1 x215)d (sh x)= ch xdx( 16) d (ch x)= sh xdx17)1 d (th x)= dx ch2x對(duì)應(yīng)于求導(dǎo)的運(yùn)算法則有下面的微分運(yùn)算法則：1) d u (x)± v (x) =d u(x) ± d v(x)2)d u (x) v (x) = d u(x) v (x) +u (x) d v(x)3) d cu (x) = c d u(x)4)d u(x) du(x)v(x) u(x)dv( x) v(x)v2 (x)5)d u(1x)ud2u(xx)5一階微分形式不變性與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對(duì)應(yīng)的

5、微分運(yùn)算為下面的微分形式不變性質(zhì)：定理 設(shè)有復(fù)合函數(shù)，若 u= (x)在 x 點(diǎn)處可微， y=f ( u)在對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處可微，則復(fù)合函數(shù) y=f (x)在點(diǎn) x 處可微，并且 dy=f (u)du 因?yàn)橛蓮?fù)合函數(shù)運(yùn)算法則yx= yu?ux知dy= yx dx= yu ?ux dx= yu ?du即dy= yu ?du對(duì)照 dy= yu ?du和公式 dy= yx dx說明不論 u 是自變量還是中間變量，函數(shù)微分的形式是完全一樣的， 故稱為微分形式不變性。6微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用(1)微分進(jìn)行近似計(jì)算的理論依據(jù)對(duì)于函數(shù) y f (x),若在點(diǎn) x0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù) f (x0) 0，則當(dāng) x 很小

6、時(shí)，有函 數(shù)的增量近似等于函數(shù)的微分 , 即有近似公式 y dy.(2) 微分進(jìn)行近似計(jì)算的 4 個(gè)近似公式設(shè)函數(shù) y f(x)在點(diǎn) x0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù) f (x0) 0，當(dāng) x 很小時(shí)，有近似公式 y dy，即 f (x0x) f (x0) f (x0) x ，f (x0 x) f (x0 ) f (x0) x ，令 x0 x x ，則f (x) f (x0) f (x0)(x x0) ，特別地，當(dāng) x0 0 ， x 很小時(shí)，有f(x) f(0) f (0)x .重點(diǎn)難點(diǎn)突破微分和導(dǎo)數(shù)一樣也是微積分的基本概念，在理解微分的概念時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： (1)函數(shù)的微分是函數(shù)改變量的線性主部 由于函

7、數(shù) y=f (x)在點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù) f (x)，由定義，有 lim y= f(x)x 0 x又由極限與無窮小量的關(guān)系，有y= f (x)+ x其中是當(dāng)x0 時(shí)的無窮小量，因?yàn)?x0，所以y= f(x)x+ ?x又因?yàn)?lim x lim0，所以 ?x是比 x高階的無窮小量。x 0 x x 0f(x)x是x的一次函數(shù)， 因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖像是直線， 所以也叫線性函數(shù)。 當(dāng)x很小且x0時(shí)， ? x可以忽略不計(jì)， 所以 f(x)x成為y的主要部分， 稱為線性主部。 當(dāng) f(x) 0時(shí)可以用微分近似代 替函數(shù)的改變量，即yf(x)x也就是當(dāng) x 很小時(shí)， dy=f (x)x 是 y的近似值。(2)由以

8、上的分析可知，若函數(shù) y=f (x)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，可將微分的定義記為 dy=f (x) dx因?yàn)樽宰兞?x 的改變量 x 等于自變量的微分 dx，所以把 dy=f (x)x 改寫為 dy=f(x) dx 形式，此時(shí)也稱函數(shù) y=f (x)在點(diǎn) x處可微。( 3)微分的幾何意義是 y=f (x)圖像上一點(diǎn) (x，f (x)處切線的縱坐標(biāo)的改變量。( 4)微分運(yùn)算中一般用微分運(yùn)算法則求函數(shù)的微分比直接用公式dy=f (x) dx 求微分更有規(guī)律一些， 不易出錯(cuò)，對(duì)某些比較復(fù)雜的函數(shù)更會(huì)顯出其優(yōu)點(diǎn)。（ 5）微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系因?yàn)楹瘮?shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)必可微，可微必可導(dǎo)，所以二是等價(jià)的。 兩者的區(qū)別： 導(dǎo)

9、數(shù)是函數(shù)在一點(diǎn)上的變化率， 即這點(diǎn)上切線的斜率； 微分是函數(shù)在這一點(diǎn)上改變量的線性主部， 即 切線縱坐標(biāo)的改變量。 導(dǎo)數(shù)值只跟 x有關(guān)，而微分不僅跟 x有關(guān)，還跟 x 有關(guān)。而微分多用于近似計(jì)算和微分運(yùn)算 （如微分方程的微分運(yùn)算） 導(dǎo)數(shù)多用于關(guān)于函數(shù)性質(zhì)理論上的研究；（6）補(bǔ)充結(jié)論當(dāng)|x |1 時(shí)，有以下近似公式： ex 1 + x ln （1+ x） x 1 x 1+ x sin xx tg x x解題方法指導(dǎo)1求函數(shù)微分的方法例 1 求函數(shù) y xeln tan x 的微分 .解一 用微分的定義 dy f (x)dx 求微分， 有l(wèi)n tanxlntan xlntan x 1 2dy (x

10、e ) dx e xe sec xdx tanxln tan x2xeln tan x(1)dx.sin 2x解二 利用一階微分形式不變性和微分運(yùn)算法則求微分，得ln tanxln tan xln tanxdy d(xe ) e dx xdeln tan xlntan xe dx xe d(ln tan x)ln tanxln tan xe dx xe1tanxd(tan x)ln tan x ln tanx e dx xe11tanx cos2 xdxln tan x 2x e （1 ）dx.sin 2x小結(jié) 求函數(shù)微分可利用微分的定義， 微分的運(yùn)算法則， 一階微分形式不變性等 . 利用微分

11、形式不變性可 以不考慮變量之間是怎樣的復(fù)合關(guān)系，有時(shí)求微分更方便 .2利用微分求近似值 例 2 求 sin 29 的近似值 .解 設(shè) f (x) sin x ，由近似公式 f (x0 x) f (x0 ) f (x0) x，得sin( x0x) sinx0 cosx0 x ，取 x0 , x ，則有6 180sin 290 1 3() 0.4849 .2 2 180例 3 有一批半徑為 1cm 的球， 為減少表面粗糙度， 要鍍上一層鋼， 厚度為 0.01cm ，估計(jì)每只球需要用 銅多少克？(銅的密度為 8.9 gcm3)43解 所鍍銅的體積為球半徑從 1cm 增加 0.01cm 時(shí)，球體的增量

12、 . 故由 vr3 知，所鍍銅的體積為343v dv ( r )r 4 0.01 0.04，3 r 1質(zhì)量為 m 0.048.9g 1.2g.小結(jié) 利用公式 f (x0x) f(x0) f (x0) x計(jì)算函數(shù)近似值時(shí)，關(guān)鍵是選取函數(shù) f (x) 的形式及正確選取 x0 , x .一般要求 f (x0), f ( x0 )便于計(jì)算， x 越小，計(jì)算出函數(shù)的近似值與精確值越接近.另外，在計(jì)算三角函數(shù)的近似值時(shí)， x 必須換成弧度學(xué)習(xí)方法建議1本章重點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法，初等函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的 求法，其難點(diǎn)是求復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法 .2 要正確理解導(dǎo)數(shù)與微分的概念，弄清各

13、概念之間的區(qū)別與聯(lián)系. 比如，可導(dǎo)必連續(xù)，反之，不一定成立 . 可導(dǎo)與可微是等價(jià)的 . 這里等價(jià)的含義是：函數(shù)在某點(diǎn) x 可導(dǎo)必定得出在該點(diǎn)可微， 反之，函數(shù)在某點(diǎn) x可微，必能推出在該點(diǎn)可導(dǎo) . 但并不意味著可導(dǎo)與可微是同一概念 . 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)改變量 y與 自 變 量 改 變 量 x 之 比 的 極 限 l i my f (x) ， 微 分 是 函 數(shù) 增 量 的 線 性 主 部 x 0 xy dy o( x) A x o( x) ，在概念上兩者有著本質(zhì)的區(qū)別3 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，不易掌握，怎樣才能達(dá)到事半功倍的效果呢？首先，必須熟記基本的求導(dǎo)公式，其次，對(duì)求導(dǎo)公式dy dy

14、 du 必須弄清每一項(xiàng)是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)， dx du dxf (x) d d(yx)理解公式還要和微商結(jié)合起來，右如 y f (x) , y f (x), 因?yàn)?y dy dx邊的微分約分之后必須等于左邊的微商 . 另外，要想達(dá)到求導(dǎo)既迅速又準(zhǔn)確，必須多做題 . 但要牢記，導(dǎo)數(shù)是 函數(shù)改變量之比的極限，不能因?yàn)橛辛嘶境醯群瘮?shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則后，就認(rèn)為求導(dǎo)僅是利用這些公 式與法則的某種運(yùn)算而忘記了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì) .4利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，本章主要有三類題型 . 一類幾何應(yīng)用，用來求切線、法線方程 . 其關(guān)鍵是求出切線的斜率dydx率，如速度 v dsdt及切點(diǎn)的坐標(biāo)；另xx類是變化率模型，求變

15、化率時(shí)，2加速度 a ddvt ddt2s.再有定要弄清是對(duì)哪個(gè)變量的變化類是用微分近似計(jì)算求某個(gè)量的改變量，解決這類問題的關(guān)鍵是選擇合適的函數(shù)關(guān)系 y f (x ) ，正確選取 x0 及 x ，切莫用中學(xué)數(shù)學(xué)方法求問題的準(zhǔn)確值，否則是不 符合題意的 .求導(dǎo)與微分公式表求導(dǎo)公式微分公式基本初等 函數(shù)求導(dǎo) 公式c 0 ( c為常數(shù) )基本初等 函數(shù)微分 公式dc 0 (c為常數(shù) )(x ) x 1 ( 為實(shí)數(shù) )d( x ) x 1dx ( 為實(shí)數(shù) )(ax) ax ln ad(ax) ax lnadx(ex )exd (ex ) ex dx1(loga x)xlna1d(log a x) dx

16、x ln a1 (ln x)x1d (ln x )dxx(sin x) cos xd(sin x) cosxdx(cosx) sin xd (cosx) sinxdx(tan x) sec2 x2d (tanx) sec xdx(cot x)csc2 x2d (cot x )csc xdx(secx) secxtan xd(secx) secx tanxdx(cscx) cscxcotxd(cscx) cscx cot xdx(arcsin x) 11 x 21d(arcsinx) 2 dx1 x2(arccos x) 1 21 x 21d(arccosx) 2 dx1 x2(arctanx)

17、 1 21 x21d(arctan x) 2 dx1 x 2(arc cot x) 1 21 x 21d( arccot x)2 dx1 x 2表 3.2 求導(dǎo)與微分法則表求導(dǎo)法則微分法則函數(shù)的 四則運(yùn)u(x) (x) u (x) (x)函數(shù)的 四則運(yùn)d u(x) (x) du(x) d (x)算求導(dǎo)法則u( x) (x)u ( x) (x) u( x) (x)c u(x) c u (x) (c為常數(shù))算微分 法則d u( x) ( x)( x)du( x) u(x)dv( x)d cu( x) cdu( x) (c為常數(shù))u(x)u (x) (x) u(x) (x)2 ( (x) 0)(x)2 (x)d u(x)(x)du(x)2 u(x)d (x) ( (x) 0)(x)2(x)1 ( x)2 ( ( x) 0)1 d ( x) d 2 ( (x) 0)( x)2( x)(x)2(