空間向量與空間角

1、空間向量與空間角2空間角角的分類定義范圍異面直線所成的角設a，b是兩條異面直線，過空間任一點O作aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角.(0，90直線與平面所成的角直線與它在這個平面內(nèi)的射影所成的角.0，90二面角的平面角以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.0，180空間角的向量求法 1若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120，則直線l與平面所成的角等于()A120 B60C30 D以上均錯答案：C2設ABCD，ABEF都是邊長為1的正方形，F(xiàn)A面ABCD，則異面直線AC與BF所成角等于()A45 B3

2、0C90 D60解析：建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，B(0，1,0)，答案：D3向量a(0，1,3)，b(2,2,4)分別在二面角的兩個半平面內(nèi)，且都與二面角的棱垂直，則這個二面角的余弦值為_ 如圖，在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點，求直線AM與CN所成的角的余弦值求異面直線所成的角，可以先建立空間直角坐標系，求出直線AM與NC的方向向量的坐標形式，再利用向量的夾角公式計算即可 異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D結結論論：coscos,CD AB |題題型型一：線線角一：線線

3、角歸納歸納 題后感悟題后感悟如何用坐標法求異面直線所成的角？如何用坐標法求異面直線所成的角？方法一方法一(1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；(3)利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；量的夾角；(4)結合異面直線所成角的范圍得到異面直線結合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角所成的角方法二方法二 ：利用異面直線角的定義。：利用異面直線角的定義。2如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD

4、中點(1)證明：PEBC；(2)若APBADB60，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值直線與平面所成角的范圍： 0,2ABOn結結論論：sincos, n AB |題題型型二：線面角二：線面角歸納歸納如圖，已知正三棱柱如圖，已知正三棱柱ABCA1B1C1各棱長都是各棱長都是4，E是是BC的中點，動點的中點，動點F在側棱在側棱CC1上，且不與點上，且不與點C重重合合(1)當當CF1時，求證：時，求證：EFA1C；(2)設二面角設二面角CAFE的大小為的大小為，求求tan 的最小值的最小值 例例3第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何 試試高考題：2014遼寧高考（18題）。已知：

5、和 所在平面互相垂直，AB=BC=BD=2，ABC= DBC= ，E,F分別是AC,DC的中點求證：EFBC.求二面角E-BF-C的正弦值ABCBCD0120ABCD變式訓練3 如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點，求二面角AA1DB的余弦值 題后感悟如何利用法向量求二面角的大?。?1)建立適當?shù)目臻g直角坐標系；(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量；(3)求出兩個法向量的夾角；(4)判斷出所求二面角的平面角是銳角還是鈍角；(5)確定出二面角的平面角的大小 4.底面為平行四邊形的四棱錐底面為平行四邊形的四棱錐PABCD中，中，ABAC，PA平面平面ABCD，且，且PAAB，E是是PD的中點，求平面的中點，求平面EAC與平面與平面ACD夾角的余弦夾角的余弦值值 解析：方法一：如右圖，以A為原點，分別以AC，AB，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系設PAABa，ACb，變式訓練5小結：小結：1.異面直線所成角： coscos,CD AB |2.直線與平面所成角： sincos, n AB |3.二面角：cos12|cos,|n n cos12|cos,|n