一元二次不等式的教案

1、3.2 一元二次不等式三維目標(biāo)一、知識(shí)與技能1. 經(jīng)歷從實(shí)際情境抽象出一元二次不等式模型的過程。2. 通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。3. 會(huì)解一元二次不等式。4. 培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)抽象概括能力和邏輯思維能力；通 過看圖象找解集，培養(yǎng)學(xué)生從“從形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化力，“由 具體到抽象” 、“從特殊到一般”的歸納概括能力。二、過程與方法 經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀1激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，陶冶學(xué)生的情操，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不

2、拔的意志，實(shí)事 求是的科學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神。2通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn) 化的，樹立辯證的世界觀。二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) :1. 一元二次不等式的解法；2. 一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式三者之間的關(guān)系。 教學(xué)難點(diǎn)：一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式三者之間的關(guān)系。 三、教學(xué)方法與教學(xué)手段教學(xué)方法：啟發(fā)式、發(fā)現(xiàn)法 教學(xué)手段 : 計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。四、教學(xué)過程（一）問題情境用一根長為 100m的繩子能圍成一個(gè)面積大于 600m2 的矩形嗎？由此引出課題 （板書課題 ） 。 分析：設(shè)矩形一邊的長為 x m （0<

3、x<50）根據(jù)題意得： x（50-x）>600即 x 2 -50x+600<0定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的不等式叫做一元二次不等式 .問題：如何解一元二次不等式呢？（二）推進(jìn)新課 請(qǐng)同學(xué)們解一元二次不等式 x2 2x 3 0 ？ 觀 察 函 數(shù) y x 2 2 x 3: 的圖像探究下列問題：（ 1） 是否存在 x 的值，使得y>0, y=0, y<0 無數(shù)個(gè)，兩個(gè)，無數(shù)個(gè)（ 2） 當(dāng) x 為何值時(shí)，能使y>0,y=0,y<0結(jié)合圖像分析，當(dāng) x=-1 或 3 時(shí)， y x2 2x 3 0 ，所以，方程的解就是函數(shù) 圖像與 x 軸

4、交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在 x 軸上方的圖像都滿足 y>0，所以 x2 2x 3 0 的解在兩交點(diǎn)的兩邊， 又因?yàn)?圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是所對(duì)應(yīng)的方程的解， 所以，解在所對(duì)應(yīng)方程的兩解之 外，所以它的解 x<-1 或 x>3;2在 x 軸下方的圖像都滿足 y<0, 所以 x2 2x 3 0 的解在兩交點(diǎn)之內(nèi)，也就是在 所對(duì)應(yīng)的方程的兩解之內(nèi)，所以它的解為 -1<x<3.2（1）滿足 x 2x 3 0 的 x 的取值范圍是 :-1<x<3, 我們把 -1<x<3 叫做不等 式 x2 2x 3 0的解，解的集合叫做不等式的解集。記作x|-1

5、<x<3.（2）不等式 x2 2x 3 0 的解集是： x|x<-1 或 x>3（ 3） 解不等式必須先解出相應(yīng)的二次方程的根， 并畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像， 根據(jù)圖像求出一元二次不等式的解集。根據(jù)求不等式 x2 2x 3 0 的解集的過程，可以得到如下的結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)函數(shù) y ax2 bx c（a 0） 圖像開口向上，與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)，不等式22ax2 bx c 0 的解在圖像與 x 軸的交點(diǎn)之外，也就是在方程 ax2 bx c 0 的兩根之外；不等式 ax2 bx c 0的解在圖像與 x 軸的交點(diǎn)之內(nèi)， 也就是在方程 ax2 bx c 0的兩根之內(nèi) 。解

6、一開始的問題情境中的 x 2 -50x+600<0 。（三）例題講解例1解下列不等式（ 1） 2x2 3x 2 0（2） x2 2x 1 0（3） x2 x 2 021解：法一 :方程 2x2 3x 2 0 的解為 x1,x2 21 2 2根據(jù)二次函數(shù) y 2x2 3x 2 的圖像，1可得原不等式的解集為 x|x或 x 22法 2：原不等式可化為 （x-2） （2x+1 ）>0,1所以，原不等式的解集為 x|x或 x 22結(jié)論：二次函數(shù)可以寫成一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式，寫成交點(diǎn)式立刻可以求到方程的根，從而得到函數(shù)的圖像， 根據(jù)圖像求到不等式的解集。 所以能寫成交點(diǎn)式即能分解因式， 采

7、用第二種方法還是挺方便的，一下子就可以找到方程的根。（2）方程 x2 2x 1 0 的解為 1，根據(jù)二次函數(shù) y x2 2x 1的圖像，可得原不等式的解集為 x| x R且x 1 。（3）判別式（ 1）2 4 2 0 ，所以方程無解，由二次函數(shù)的圖像可得，原不等式的解集為 R。問題：請(qǐng)各位同學(xué)思考一下解一元二次不等式的步驟？第一步：求出方程 ax 2 bx c 0 的根；第二步：確定函數(shù) y ax2 bx c 的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像；第三步：根據(jù)圖像確定所求不等式的解集。例 1中涉及到的函數(shù)圖像與 x 軸分別有 2個(gè)，1個(gè)，0個(gè)交點(diǎn)， 而交點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，結(jié)果也非 常不同，函數(shù)

8、圖像與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是通過 控制的。由此可以得到：當(dāng) a>0 時(shí)一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式的相互關(guān)系及其解法：x例 2. 解不等式：22x 5x40不等式的解集為2變式 1： 2x5x20不等式的解集為1 x|x或 x 22變式 2：2x2 25x不等式的解集為1 x| 2 x 22x25x20變式 3：3x213x100解：不等式2x25x2120 的解為 x或x 2 ，不等式 3x 213x 10 0 的解為2 21x 5 ，所以原不等式組的解集為 x| x或 2 x 5 。3 32結(jié)論： 做一元二次不等式的題目時(shí)， 能分解因式的就分解因式做， 如果不能， 可以根據(jù)

9、的符號(hào)確定函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像確定不等式的解集；或者不能分解因式的，也可以配方做。例 3：已知不等式 ax 2 bx 1 0 的解集是 x|3<x<4, 求實(shí)數(shù) a,b 的值。分析：一般地，解一元二次不等式時(shí)，什么時(shí)候會(huì)出現(xiàn)x 介于兩者之間？只有當(dāng)圖像與 x軸有 2 個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 才會(huì)出現(xiàn) x 介于兩者之間，且這兩者就是一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的方程的根。故方程ax2 bx 1 0 的兩個(gè)根為3，4.解：法一：代入法）方程 ax2bx1 0 的兩個(gè)根為 3 ，4，2把 3， 4 代入方程 ax2 bx 1 0 ，可得：9a3b16a4b 110a 0 ，解得 12 0 b 712法二：利

10、用根與系數(shù)的關(guān)系）方程 ax2bx0 的兩個(gè)根為3，4，所以，b24a(1)，解得12712(四)1.練習(xí)與反饋求下列函數(shù)的定義域：5.已知集合 M=x | x216，N=x|(x 2)(x 5) 0 ，則yx2 3x 4x |x4或x 12. 不等式4x2 4x 10 的解集是|x|x 123. 不等式x2 (x 1) 20 的解集是4. 不等式x2 5x 60 的解集是x| 1 x 61M N = x| 4 x 5 ， M N= x | 2 x 46. 若不等式 ax0的解集是 x| 1 x 1，則 a= -6 b=327.若函數(shù) f (x)ax3 a 0 對(duì)于一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù)

11、 a的取值范圍？分析：根據(jù)4(3a) 0 得到 -6<a<2.8. 求不等式 (x-2)(x-a)<0 解：分析 :方程 (x-2)(x-a)=0 不知道哪個(gè)根大，所以要討論，可分為 解：當(dāng) a<2 時(shí)，不等式的解集為當(dāng) a=2 時(shí)，不等式的解集為當(dāng) a<2 時(shí)，不等式的解集為x|2<x<a.變式：求不等式(x1)(x2m2 m 1)0的解集？解：當(dāng)m21，即m<-1 或 m>0時(shí)，不等式的解集為x|1m2 m 1 ;m21，即m=-1 或 m=0時(shí)，不等式的解集為1，即-1<m<0時(shí)，不等式的解集為 x |2mmx 1的解集？

12、 的兩個(gè)根為 2， a,a<2,a=2,a>2 三種情況討論。 x|a<x<2;五、課堂小結(jié)1、一元二次方程二次函數(shù) , 一元二次不等式之間有何關(guān)系2、如何求解一元二次不等式 ?3、這節(jié)課你學(xué)到了什么思想方法六、布置作業(yè)課本 69頁， 1,2,3,4 ；課本 71頁 1,2,3. 備用題：例 4. 已知函數(shù) f (x) x2 2mx m 2若不等式 f(x)>0 對(duì)一切 x R 成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍？ 解：由題意得： f(x) 的圖像開口向上，與 x 軸沒有交點(diǎn)。 所以，(2m)2 4( m 2) 0 解得， -2<m<1，所以，實(shí)數(shù) m的取值范

13、圍為 -2<m<1.變 1. 若存在 x R ，使得 f(x)<0, 求實(shí)數(shù) m的取值范圍？解：由0 ，解得 m<-2 或 m>1.2變 2：若函數(shù) g(x)x2 2mx m 2的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍？解：因?yàn)?g(x) 的定義域?yàn)?R,所以，對(duì)于任意的 x，都有 x 2 2mx m 2 0 恒成立，所以，(2m)24( m2) 0 ，解得，2 m 1 。結(jié)論：ax2 bxc 0( a0) 恒成立a00ax2 bxc 0( a0) 恒成立a00變題：若函數(shù) f(x)=kx26kx (k8) 的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍？分析：由題意得，對(duì)于

14、任意的x R ，都有 kx2 6kx (k 8)0 恒成立，2kx2 6kx (k 8) 0是形似一元二次不等式，所以要分k=0 和k>0 兩種情況考慮。解：由題意得，對(duì)于任意的 x R，都有 kx2 6kx (k 8) 0 恒成立，當(dāng) k=0 時(shí)， kx2 6kx (k 8) 8 0 恒成立；當(dāng) k>0 時(shí)，( 6k)2 4k (k 8) 0，化簡得，k 2 k0 ，解得，0k因?yàn)?k>0,所以 0 k 1因?yàn)?k=0 符合題意，所以 k 得取值范圍為0k1。例 5：求解不等式x20x1解：方法一：不等式 x 2 0 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 x1x2x10(1)0或x2x100(2)，

15、不等式( 1)的解集為 x|-2<x<1 ，不等式(2)的解集為所以不等式x20 的解集為 x|-2<x<1 x1。分式不等式的定義：分母中含有未知數(shù)的不等式叫做分式不等式。x2方法二：分析：分式不等式0實(shí)際上就是說明分子 x+2 和分母 x-1 是異號(hào)的，拋開x1形式上的差異，在本質(zhì)上與不等式 (x+2)(x-1)<0 是一樣的。解：原不等式可轉(zhuǎn)化為 (x+2)(x-1)<0 ，可得 -2<x<1 ，所以，原不等式的解集為 x|-2<x<1.變題：解不等式 x 2 0x1問題：如果是分式不等式 x 2 0 ，是不是可以轉(zhuǎn)化為 (x+

16、2)(x-1) 0?x1分析：不等式在轉(zhuǎn)化過程中要等價(jià)，而上述轉(zhuǎn)化就是不等價(jià)的。因?yàn)樵?x 2 0 中，只x1有分子 x+2 可以等于 0，而分母 x-1 不能等于 0。但在 (x 2)(x 1) 0 中，兩個(gè)因式都可 以為 0.那應(yīng)該怎么辦呢？將這個(gè)分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式時(shí)， 應(yīng)將分母不為 0 這一因素考慮在內(nèi)， 因此分式不等 式 x 2 0 可等價(jià)轉(zhuǎn)化為 (x 2)(x 1) 0。x 1 x 1 0對(duì)一元二次不等式教學(xué)設(shè)計(jì)的說明本節(jié)課是新授課， 首先我通過一個(gè)生活中的實(shí)例引入課題， 激發(fā)學(xué)生對(duì)本堂課的學(xué)習(xí)興 趣。因?yàn)橐獙W(xué)會(huì)解一元二次不等式，就要先通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)

17、、 方程的聯(lián)系， 而一元二次方程、 二次函數(shù)與一元二次不等式三者之間的關(guān)系是本節(jié)課的教學(xué) 重點(diǎn)及難點(diǎn)。 這個(gè)突出重點(diǎn)， 突破難點(diǎn)的過程我是這么解決的： 請(qǐng)同學(xué)們解一元二次不等式 x2 2x 3 0 ？觀 察 函 數(shù) y x 2 2 x 3: 的圖像探究下列問題：( 3) 是否存在 x 的值，使得 y>0, y=0, y<0無數(shù)個(gè)， 兩個(gè)，無數(shù)個(gè)( 4) 當(dāng) x 為何值時(shí)，能使 y>0,y=0,y<02結(jié)合圖像分析，當(dāng) x=-1 或 3 時(shí)， y x2 2x 3 0 ，所以，方程的解就是函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。在 x 軸上方的圖像都滿足 y>0，所以 x2 2x 3 0 的解在兩交點(diǎn)的兩邊，又因?yàn)閳D像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是所對(duì)應(yīng)的方程的解，所以它的解在兩根之外，為 x<-1 或 x>3;在 x 軸下方的圖像都滿足 y<0, 所以 x2 2x 3 0 的解在兩交點(diǎn)之內(nèi)，也就是在所對(duì)應(yīng)的 方程的兩解之內(nèi)，所以它的解為 -1<x<3.通過分為兩個(gè)小問題一步步解決這個(gè)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)解一元二次不等式。在這個(gè)過程中向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法， 數(shù)學(xué)思想方法是指數(shù)學(xué)科學(xué)在千百年的 發(fā)展過程中形成的提出、發(fā)現(xiàn)、論證和解決數(shù)學(xué)問題的思想體系、處理技巧與思維