第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專項備考講義八“解三角形問題”命題角度及解題技巧例析

1、“解三角形問題 ”命題角度及解題技巧例析解三角形是高中數(shù)學(xué)必修5 第一章的內(nèi)容，是高考考查的熱點內(nèi)容之一。它包括正弦定理、 余弦定理、三角形的面積公式、投影公式等知識。在高考中這部分內(nèi)容的考查還可以和必修 4 的第一章、 第三章結(jié)合在一起。高考對解三角形的考查不僅注重基礎(chǔ)知識、基本方法，也注重運算能力，靈活運用基礎(chǔ)知識的能力考查。解三角形問題在高考中主，客觀題都有出現(xiàn)。且多以解答題為主。現(xiàn)把近幾年高考中出現(xiàn)的題型總結(jié)如下：命題角度一、解三角形的基本題型【基本思路 】正余弦定理單一或結(jié)合運用，此類問題的基本思路是運用定理將邊化為角或?qū)⒔腔癁檫?，一般難度較低。多以選擇，填空題出現(xiàn)。例 1、（ 20

2、13·陜西卷） 設(shè) ABC的內(nèi)角 A, B, C 所對的邊分別為a, b, c, 若b cosCccos Ba sin A , 則 ABC 的形狀為()A. 直角三角形B. 銳角三角形C. 鈍角三角形D. 不確定解析 因為 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得22sinBcosC+sinCcosB=sinA,所以 sin(B+C)=sin A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形.例 2（2014·天津卷） 在 ABC 中，內(nèi)角A，B，C2sin B 3sin C，則 cos A 的值為 _解析 2sin B 3sin C， 2

3、b 3c.a3又 b c， a 2c， b c，422229222c c 4c1 cos Ab c a43 .2bc42× 2c× c例 3（ 2015 年福建卷） 若ABC 中， AC3 ，所對的邊分別是a，b，c.已知 bc 14a，A450 ， C750 ，則 BC_解析由題意得 B 1800A C600、由正弦定理得ACBC， 則sin Bsin AA Cs i n ABC，s i nB23所以 BC22 32命題角度二、與三角函數(shù)綜合【基本思路 】三角函數(shù)與解三角形的綜合性問題，是高考重點考查的內(nèi)容，這類問題大多屬于中檔題。解決此類問題，要根據(jù)已知條件，靈活運用正

4、余弦定理和三角函數(shù)化簡、求值、圖像性質(zhì)分析。1 與兩角和差、倍角公式綜合【基本思路 】 正余弦定理與兩角和差公式及倍角公式的結(jié)合，其基本解題思路是利用公式確定三角函數(shù)值，特別要注意角的范圍對三角函數(shù)值的制約作用，再靈活利用正余弦定理。例 4（ 2013 ·新課標卷）已知銳角 ABC 的內(nèi)角A， B， C 的對邊分別為a ， b ， c ，23 cos2Acos 2A0， a7 ，則 b（）c=6A.10B.9C.8D.5【解析】選 D.因為 23cos2 Acos2 A0 ，所以 23 cos2 A2 cos2 A10，解得cos2 A1，25方法一 :因為 ABC 為銳角三角形，所

5、以cos A1, sin A26.55由正弦定理ac76.得，6sin Csin Asin C25sinC12619.又 B( AC) ， cosC3535所以 sin Bsin( AC )sin AcosCcos Asin C ，sin B26 19 1126 506.由正弦定理ab得 ,7b535535175sin B2 650，解sin A65175得 b 5.方法二 :由余弦定理 a 2b2c 22bc cos A， cos A1，則 b23612b149 ，解55得 b 5例 5（ 2014 ·安徽卷） 設(shè) ABC的內(nèi)角 A，B，C 所對邊的長分別是 a，b，c，且 b 3

6、，c 1，A2B.(1)求 a 的值；(2) 求 sin A的值4【解析】 (1) 因為 A 2B，所以 sin A sin 2B2sin Bcos B，由余弦定理得a2 c2 b2cos B2acsin A，所以由正弦定理可得a2 c2 b2a 2b·2ac.2sin B因為 b 3， c 1，所以 a2 12，即 a23.(2)由余弦定理得b2 c2 a29 112cos A62bc121122.因為 0<A< ，所以 sin A 1cos A3.392 22124 2故 sin A 4 sin Acos 4cos Asin4 3×23× 2 6.

7、例 6.（2015 北京理科） 在 ABC 中， a4 ， b5 ， c6，則 sin 2 Asin C【解析】sin2A2 sin A cos A2a b 2c 2a22 4253616sinCsin Cc2bc625162、與三角函數(shù)圖像性質(zhì)綜合【基本思路 】三角函數(shù)圖像性質(zhì)是三角函數(shù)的核心內(nèi)容，每年高考必考。它包括正弦型、余弦型、正切型函數(shù)的定義域、至于、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性、圖形變換等知識，主要考查正弦型函數(shù)的圖像性質(zhì)，及靈活運用這些性質(zhì)的能力及運算的準確性。例 7、2014 浙江卷 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c.已知 a b，c3，22cos

8、Acos B 3sin Acos A 3sin Bcos B.(1)求角 C 的大?。?(2)若 sin A 5，求 ABC 的面積【解析】(1) 由題意得 1cos 2A1 cos 2B 33313222 sin 2A 2 sin 2B，即 2 sin 2A2cos 2A 2sin 2B1cos 2B，sin 2A sin 2B .266由 ab，得 A B，又 A B (0， )，得 2A 2B ，66即 A B2 ，所以C 33 .(2)由 c3， sin A4，a c，得 a 8.5sin Asin C5由 a<c，得 A<C，從而 cos A3，故 sin Bsin(AC

9、) sin Acos C cos Asin C 4 35103.所以， ABC 的面積為1acsin B83 18S25.2a,b, c ，已知ABC例 、（2015年天津理科） 在ABC中，內(nèi)角 A, B,C所對的邊分別為8的面積為 3 15， bc 2,cos A1 ,則 a 的值為.4【解析】：因為0 A，所以 sin A1cos2 A15，4又SABC1 bc sin A15 bc 315,bcb c24 ，24 ，解方程組得 b 6,c28bc24由余弦定理得a2b2c2221，所以 a8 .2 b c o s A 642 6 46 443 、與三角形面積公式的結(jié)合【基本思路 】這類

10、問題主要分兩種題型。 第一種直接根據(jù)已知條件求三角形的面積，第二種是利用題中給出的已知條件選擇正確的面積公式求出未知的邊或角，進而增加已知的邊角個數(shù)，進一步利用正余弦定理求解三角形。例 9.（2013·新課標全國卷）ABC 的內(nèi)角 A, B,C 的對邊分別為a, b,c ，已知 b2 ，B， C，則ABC 的面積為（）64A.23 2B.3 1C.23 2D.3 1【解析】選 B.因為 B, C,所以 A7.由正弦定理得bc412，解得6sinsin64c 22 。所以三角形的面積為1 bc sin A12 22 sin 7.2212因為 sin 7sin()32212 (31 )

11、，12342222222所以 1bc sin A 2 22(31)31，選 B.2222例 10、 2014 ·福建卷 在 ABC 中， A 60°， AC 4，BC23，則 ABC 的面積等于_BCAC，得 sin B4sin 60° 1，解析 由sin A sin B23 B 90°， C 180° (AB) 30°，11則 SABC 2· AC· BCsin C 2× 4× 23sin 30° 23，即 ABC 的面積等于23.例 11、2014 ·新課標全國卷 鈍角三

12、角形 ABC 的面積是 1，AB 1，BC2，則 AC ()2A 5B. 5C 2D 111112解析 根據(jù)三角形面積公式，得 2BA·BC·sin B 2，即 2× 1×2× sin B2，得 sin B 2，其中 C<A.若 B 為銳角，則 B ，所以 AC1 22× 1× 2×2 1AB ，易知 A 為423直角，此時 ABC 為直角三角形，所以B 為鈍角，即B4 ，所以 AC1 2 2×1× 2×25.2例 12、（ 15 年天津理科） 在ABC中，內(nèi)角 A, B,C所對

13、的邊分別為a,b,c ，已知ABC的面積為 3 15， b c2,cos A1 ,則 a 的值為.4【解析】因為 0A，所以 sin A1cos2 A15，4又SABC1 bcsin A15 bc 3 15,bc24 ，解方程組bc 2得 b 6,c4 ，bc2428由余弦定理得a2b2c22bc cos A6242264164 ，所以 a8 .4命題角度三、與向量綜合【基本思路 】 向量的平行、垂直和向量的數(shù)量積是向量坐標運算的重點，其解題思路是利用向量的公式、法則，結(jié)合三角形的正余弦定理、投影公式、面積公式解決。例 13、2014 ·山東卷 的面積為 _ 在 ABC 中，已知 A

14、B·AC tan A，當 A時， ABC62，所以 ABC 的解析 因為 AB·AC |AB|· |AC|cos Atan A，且 A，所以|AB|· |AC|631 12×sin1.面積 S |AB|· |AC|sin A ×36226例 14、2014 ·遼寧卷 在 ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c，且 a>c.已知 BA·BC 2， cos B1， b 3.求： 3(1)a 和 c 的值；(2)cos(B C)的值1解析 (1) 由 BA· BC 2 得 c&#

15、183;a·cos B 2，又 cos B ，所以 ac 6.3由余弦定理，得a2 c2 b2 2accos B， 又 b3，所以 a2 c29 2× 213.ac 6，a 2， a 3，因為 a c，所以 a 3， c2.解得或c 2.a2 c2 13，c 321 2 2 2(2)在 ABC 中， sin B1 cos B1 33 .由正弦定理，得sin Ccsin B2·2242b339.因為 a b c，所以 C 為銳角，因此 cos C 1 sin2C1492 27.917224223所以 cos(B C) cos Bcos C sin Bsin C 3&

16、#215;93 ×927.例15、 (15 年陜西理科 )C 的內(nèi)角， C 所對的邊分別為 a ， b ， c 向量ma,3b與 ncos,sin平行（ ）求；（ ）若a7， b2求C 的面積III解析 （ I ）因為 m/n ，所以 a sin B -3bcos A = 0 ，由正弦定理，得sinAsinB -3sinBcosA= 0又 sin0，從而 tan A =3，由于 0A，所以 A3(II)解法一：由余弦定理，得a2= b2 + c2 - 2bc cos A而 a =7 b = 2,3得 7 = 4 + c2 -2c ，即 c2 - 2c - 3 = 0，因為 c >

17、; 0 ，所以 c = 3 .故ABC的面積為 1 bcsinA= 33.22命題角度四、與不等式綜合【基本思路 】不等式的性質(zhì)、 均值定理、比較法是不等式的重要內(nèi)容。這類問題的關(guān)鍵是靈活運用不等式的性質(zhì)、準確理解運用均值定理應(yīng)用的條件、把握好用比較法解決問題的一般步驟。例 16、 (2013 ·新課標全國高考理科) ABC的內(nèi)角 A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csinB.(1)求 B(2)若 b=2,求 ABC面積的最大值 .【解析】 (1)因為 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以sin(B+C)

18、=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因為 sinC 0,所以 tanB=1,解得 B= .42222222(2)由余弦定理得 :b =a +c -2accos ,即 4=a +c - 2ac,由不等式得 a +c 2ac,當且僅當 a=c 時 ,4取等號 ,所以 4 (2-2)ac,解得 ac4+2 2,所以 ABC的面積為 1acsin2 ×244(4+22 )=2 +1.所以 ABC 面積的最大值為2 +1.例 17、2014 ·新課標全國卷 已知 a，b，c 分別為 ABC 三個內(nèi)角 A， B，C 的對邊， a2，且 (2 b

19、) ·(sin A sin B) (c b)sin C，則 ABC 面積的最大值為 _解析 根據(jù)正弦定理和222bc，根據(jù)余弦定a2 可得 (a b)(a b) (c b)c，故得 b c a理得 cos Ab2 c2 a2122222bc ，所以 A3.根據(jù) b c a bc 及基本不等式得bc2bc a ，2即 bc 4，所以 ABC 面積的最大值為1×4×3 3.22例 18、 2014 ·重慶卷 已知 ABC 的內(nèi)角 A， B，C 滿足 sin 2A sin(A B C) sin(CAB) 1，面積 S 滿足 1S 2，記 a， b， c 分別為 A，B， C 所對的邊，則下列不等式一定成2立的是()A bc(b c)>8B ab(a b)>162C 6 abc 12D 12 abc 24解析 因為 AB C ，所以 A C B，C ( A B)，所以由已知等式可得sin 2A sin( 2B) sin 2(A