高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23

1、2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、離散型隨機(jī)變量的方差【例1】袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，但不放回原袋中，直到取到白球?yàn)橹?，求取球次?shù)的期望及方差.解析：當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕厝?，所以的可能值?，2，3，4，5，易知：p（=1）=0.2,p(=2)=·=0.2,p(=3)=··=0.2,p(=4)=···=0.2,p(=5)=····1=0.2,所求的概率分布為12345p0.20.20.20.20.2e

2、=1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,d=(1-3)2×0.2+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.2+(4-3)2+(5-3)2×0.2=2.溫馨提示 求期望和方差的問(wèn)題關(guān)鍵是求隨機(jī)變量的分布列，即求每種情況的概率.因此求事件的概率是基礎(chǔ)，另外方差可用定義求，也可以用公式：d=e2-(e)2求.二、離散型隨機(jī)變量的方差的作用【例2】a、b兩臺(tái)測(cè)量?jī)x器測(cè)量一長(zhǎng)度為120 mm的工件時(shí)分布列如下：a：1181191201211220.060.140.600.150.05b：1

3、181191201211220.090.150.520.160.08試比較兩種儀器的優(yōu)劣.解析：設(shè)隨機(jī)變量1表示用a儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，隨機(jī)變量2表示用b儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，從而有e1=118×0.06+119×0.14+120×0.60+121×0.15+122×0.05=119.99,d1=(118-119.99)2×0.06+(119-119.99)2×0.14+(120-119.99)2×0.60+(121-119.99)2×0.15+(122-119.99)2×0.05=0

4、.729 9,e2=118×0.09+119×0.15+120×0.52+121×0.16+122×0.08=119.99,d2=(118-119.99)2×0.09+(119-119.99)2×0.15+(120-119.99)2×0.52+(121-119.99)2×0.16+(122-119.99)2×0.08=0.989 9，由此可知，e1=e2,d1<d2,a儀器測(cè)量結(jié)果波動(dòng)較小，表明a儀器質(zhì)量較好.溫馨提示 本題若僅由e1=e2,易產(chǎn)生兩臺(tái)儀器性能一樣好的錯(cuò)覺(jué).這表明在實(shí)際問(wèn)題

5、中僅靠期望值不能完全反映隨機(jī)變量的分布特征，還要研究其偏離平均值的離散程度（即方差）.三、離散型隨機(jī)變量的方差的最值【例3】 若隨機(jī)事件a在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p<1）,用隨機(jī)變量表示a在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù).（1）求方差d的最大值？（2）求的最大值.解析：隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，并且有p（=1）=p，p（=0）=1-p，從而e=0×(1-p)+1×p=p,d=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.(1)d=p-p2=-(p2-p+)+=-(p)2+,0<p<1,當(dāng)p=時(shí)，d取得最大值，最大值為.

6、(2)=2-(2p+),0<p<1,2p+2,當(dāng)2p=,p=時(shí)，取“=”，因此，當(dāng)p=時(shí)，取得最大值2-2.各個(gè)擊破類題演練 1已知某離散型隨機(jī)變量x服從的分布列為x10ppq且0<p<1.q=1-p,求d（x）.解析：由題目知x服從二點(diǎn)分布，所以e（x）=p,d(x)=(1-p)2·p+(0-p)2·q=q2p+p2q=pq.這表明在二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量x圍繞期望的平均波動(dòng)大小為pq.變式提升 1 已知某離散型隨機(jī)變量x服從下面的二項(xiàng)分布：p（x=k）=0.1k0.94-k(k=0,1,2,3,4),求e（x）和d（x）.解析：根據(jù)題目知

7、道離散型隨機(jī)變量x服從參數(shù)n=4和p=0.1的二項(xiàng)分布，所以e（x）=np=4×0.1=0.4,d(x)=npq=4×0.1×0.9=0.36.類題演練 2 一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)選擇正確答案得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分.某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，求此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差.解：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中選擇正確答案的個(gè)數(shù)為x，所得的分?jǐn)?shù)（成績(jī)）為y，則y=4x.由題知xb（25，0.6）,ex=25×0.6=15,dx=25×0.6×

8、0.4=6,ey=e(4x)=4ex=60,dy=d(4x)=42×dx=16×6=96.答：該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的期望與方差分別是60與96.點(diǎn)評(píng)：審清題意得出xb（25，0.6）是解本題的重要一步.變式提升 2若x是離散型隨機(jī)變量，p（x=x1）=,p(x=x2)= ,且x1<x2,又已知ex=,dx=,則x1+x2的值為（ ）a. b. c.3 d.解析：由ex=x1+x2=得2x1+x2=4又dx=（x1-）2·+(x2-)2·=得18x12+9x22-48x1-24x2+29=0由，且x1<x2得x1+x2=3.答案：c類題演練 3

9、設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有a和，且p（a）=p，令隨機(jī)變量x=1， 則x的方差dx等于（ ）a.p b.2p(1-p) c.-p(1-p) d.p(1-p)解析：ex=0·（1-p）+1·p=p,dx=(0-p)2·（1-p）+(1-p)2·p=p-p2=p(1-p).答案：d變式提升 2甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，它們收獲情況如下：甲：畝產(chǎn)量（單位：公斤）300320330340畝數(shù)20254015乙：畝產(chǎn)量（單位：公斤）310320330340畝數(shù)30204010試評(píng)價(jià)哪種水稻的質(zhì)量較好.解：設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為1,2,則p（1=

10、300)=,p(1=320)=,p(1=330)=,p(1=340)=;p(2=310)=,p(2=320)=,p(2=330)=,p(2=340)=.從而有e1=300×+320×+330×+340×=323.e2=310×+320×+330×+340×=323.這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等，進(jìn)一步求各自的方差，得d1=（300-323）2×+(320-323)2×+(330-323)2×+(340-323)2×=171,d2=(310-323)2×+(320-323)2×+(330-323)2×+(340-323)2×=101,即有d1>d2.這說(shuō)明乙種水稻其畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定，因此乙種水稻質(zhì)量較好.6edbc3191f2351dd815ff33d4435