“五法”搞定空間距離

1、“五法”搞定空間距離郾城試驗高中 李春枝空間距離包括點到面、異面直線間、線到面、面到面的距離等多種情況，因此，求空間距離的方法也很多?，F(xiàn)將五種常用的方法歸納如下：一、 定義法。求空間距離,有時我們可按照定義求垂線段或公垂線段的長度。所以，只要能找出或作出垂線段或公垂線段，然后利用解三角形等方法就可求出其長度。例1、 平面內(nèi)有RtABC，C=90°，P是平面ABC外一點，且PA=PB=PC，P到平面ABC的距離為40cm,AC=18cm,求點P到BC的距離。分析：求點到直線的距離，一般可直接或結(jié)合三垂線定理等作出垂線段。P解：如圖作PO平面ABC，垂足為O。PA=PB=PC，則AO=B

2、O=CO。OO為ABC的外心。AB又C=90°，O點落在AB邊的中點，即PO的長就是DC作ODBC，由三垂線定理知PDBC，PD就是點P到BC邊的距離，又ODAC且OD=AC，OD=9，在RtPOD中，PD=41P到BC的距離為41cm。二、 轉(zhuǎn)化法。在求空間距離時，有時可根據(jù)需要進行各種距離之間的相互轉(zhuǎn)化，即：線線距離線面距離面面距離點面距離，從而打開思路，或使解題思路和解題過程簡化。例2、 如圖，正方形ABCD邊長為1，過D作PD平面ABCD，且PD=1，E、F分別是AB、BC的中點，求直線AC到平面PEF的距離。分析：要想求直線AC到平面PEF的距離，可在AC上找一點到，求其到

3、平面PEF的距離或到平面PEF上一直線（或一點）的距離即可。P解：ACEF，AC平面PEF，設AC與BD交于點O,AC與平面PEF的距離，就是點O到平面PEF的距離。EFBD，EFPD，EF平面PBD，平面PEF平面PBD，交線為PG，過O作OHPG于H點，DC則OH平面PEF，OH就是O點到平面PEF的距離。OHF在RtPDG中，OHPG，PDGOHG，GEBA，而PD=1，OG=，PG=，OH=。即直線AC到平面PEF距離是。本例的關鍵是把線面的距離轉(zhuǎn)化為點線距離，再通過解三角形來求解，類似地求面面距離也是轉(zhuǎn)化為點面距離；另一方面求點到面距離還可以轉(zhuǎn)化另一點到平面的距離。讀者可在解決問題時

4、認真體會其妙處。三、 等積法。點到面的距離，往往可以用等體積法來解。如例2、設O到平面PEF距離為h，則由VO-PEF=VP-OEF得h·SPEF=PD·SOEF ，h=。等積法關鍵在于把點到平面的距離看作一個棱錐的一個底面上的高，再將此棱錐用另外的底面及相應的高求出體積即可。四、 向量法。利用向量法來求距離常用的方法又有兩種，其一是建立直角坐標系，其二是直接利用向量的運算來求解。例3、已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為1，求異面直線AA1和BD1的距離。分析：充分利用“向量數(shù)量積為0向量垂直”這一結(jié)論。解法一（向量法）：取AA1的中點M，連結(jié)MD1、MB，設O為

5、BD1的中點。D1C1B1A1，OMD，BAC，=（）=0，MOBD1。又=0，MOAA1。MO是 AA1 與BD1的公垂線段。2=z=，故AA1和BD1的距離是。D1C1A1解法二（坐標向量法）如圖建立空間直角坐標系。則A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），B1D1（0，0，1），=（0，0，1），=（-1，-1，1），DCBAy設=（x,y,z）是與的公垂線的方向向量，x由得z=0，x= -y。取=（1,-1,0）又=（0，1，0），則d=兩種方法均利用向量法求解,但思路卻不一樣.方法一以向量為工具達到了兩個目的,一是找出公垂線段,二是用向量的模得到公垂線段的長度.整體用的還是定義法的思路.方法二同樣以向量為工具,但利用公式d=（即在方向上的射影長度）求出距離,思路更加新穎,計算也更加簡單。此法可用于求點到面、和異面直線間的距離。其中，求點到平面距離時，可求點到平面上任一點構(gòu)成的向量在平面法向量上的射影長度。求異面直線距離時，可求異面直線各一點構(gòu)成的向量在異面直線公垂向量上的射影長度。五、函數(shù)法。求距