第9講三次數(shù)學危機與悖論欣賞

1、第9講三次數(shù)學危機與悖論欣賞一、前言何謂悖論？一種理論系統(tǒng)中出現(xiàn)的邏輯矛盾就是悖論。它與謬論不同，謬論可以從已有的理論中指出它錯在哪里，而悖論盡管是自相矛盾的，但從它所在的理論體系中卻不能闡明其錯誤的原因。什么叫悖論？有人認為悖論有3種主要形式：一個論斷看起來好象肯定錯了，但實際上卻是對的（佯謬）；一個論斷看起來好象肯定是對的，但實際上卻錯了（似是而非的理論）；一系列推理看起來好象無懈可擊，可是卻導致了邏輯上的自相矛盾。這些關(guān)于悖論的說法未免失之過寬，它是以“人的直覺和日常經(jīng)驗”為標準的。而且，這很可能造成悖論與正確之間的混淆，前者對其錯誤之所在是沒有明確判斷的，而且對于由直覺得出的結(jié)論和日常

2、經(jīng)驗作出的判斷，其正確與否還難以作出。日本數(shù)學百科辭典說：“一個論斷能夠?qū)С雠c一般判斷相反的結(jié)果，而要推翻它又很難給出正當?shù)母鶕?jù)時，這種論斷稱為悖論”。這里，關(guān)于“很難給出正當?shù)母鶕?jù)”這句話過于含糊。在一定條件下“很難給出”與“能否給出”的含義是不一樣的。奧地利學者班格特·漢生認為，一些常見的悖論，除了非直謂的原因之外，其性質(zhì)就和數(shù)學上的方程沒有解一樣。在算術(shù)中，這類問題是靠引進新數(shù)、擴大數(shù)系來解決的。例如，在正整數(shù)系里無解，擴大到有理數(shù)系便有解了；，在實數(shù)系里無解，而擴大到復數(shù)系時有解了。悖論的發(fā)生常常是與人們在相應的歷史條件下的認識水平有密切關(guān)系的。例如，伽利略關(guān)于“自然數(shù)并不比

3、平方數(shù)多”的悖論，在有了集合論之后，在有了無窮基數(shù)概念之后，這個悖論產(chǎn)生的原因和解決的辦法就都有了。我們甚至不難設想，對于今天還不知道無窮基數(shù)概念的人來說，伽利略悖論可能仍然是一個悖論，但事實上它是已經(jīng)被消除了的，只是他不知道而已。所謂悖論與一定的歷史條件相聯(lián)系，其實質(zhì)在于悖論是相對于某個理論體系而言的。面對悖論，人們也就努力去探尋或建立新的理論，使之既不損害原有理論的精華，又能消除悖論。因此，客觀上，悖論推動了理論的研究與發(fā)展。數(shù)學中的悖論推動了數(shù)學的發(fā)展。另一方面，在悖論未消除之前，就是存在某種危機，理論的危機。數(shù)學史有所謂3次危機，都是與悖論有關(guān)的。其實，悖論何止3個，危機何止3次。然而

4、，造成重大的全局影響的可算是這樣3個或3次。二、第一次數(shù)學危機第一次數(shù)學危機發(fā)生的時間最早，而危機根本上被消除花費的時間又最長。古希臘數(shù)學認為，在數(shù)學中，算術(shù)比幾何是更基本的。算術(shù)以數(shù)為基礎，數(shù)則由整數(shù)組成（分數(shù)不過是兩整數(shù)之比）。一切幾何量都可由數(shù)表示，亦即可由整數(shù)和可比數(shù)表示。幾何線段的長當然也都可以由整數(shù)和可比數(shù)表示了。后來，發(fā)現(xiàn)了，（即邊長為1的正方形對角線和正五邊形對角線長）不是可比數(shù)。這就引發(fā)出了第一次數(shù)學危機：按當時的理論，一切數(shù)都是可比數(shù)，然而，即出現(xiàn)了一個（乃至更多）不可比數(shù)。在當時的理論體系下沒法解釋。誰的危機呢？當然不是今天數(shù)學理論的危機了，而是古希臘數(shù)學理論的危機。這場

5、危機從公元前一直拖到公元后19世紀才完全解決。所謂完全解決，就是說，新的理論建立起來了，在新的理論體系下，數(shù)系擴張了，被認為是“異物”的東西成了這個體系合理的“存在物”。為什么危機拖了這么久并未從根本上影響數(shù)學的發(fā)展呢？事實上，影響是存在的。例如，算術(shù)的基礎地位動搖了，幾何的地位上升。幾何的地位支撐數(shù)學的發(fā)展。此外，雖然在理論上還無法解釋這種數(shù)的時候，也無可奈何地跟它打交道，只不過把它們稱為“無理數(shù)”罷了。可真不容易，一直到19世紀才有了辦法，而且好象蒸籠里的一個饅頭熟了其他幾個饅頭就都熟了一樣，幾種辦法都出來了。戴德金有一個辦法比起另一些辦法來更易直觀理解一些。他把有理數(shù)集任作一劃分，或者說

6、分成兩個集與，使中的每個數(shù)（或點）小于中的每個數(shù)。就叫做一個有理分割。若中有最大數(shù)或中有最小數(shù)，那么，這個數(shù)當然是有理數(shù)，此時便說確定了一個有理數(shù)，或者干脆就說是個有理數(shù)。然而，中無最大數(shù)且中無最小數(shù)的情形肯定是存在的，例如，由所有平方小于2的有理數(shù)組成集，所有平方大于2的有理數(shù)組成集，那么中無最大數(shù)，中無最小數(shù)，但我們也稱確定了一個數(shù)，就叫實數(shù)，或者干脆說是一個實數(shù)。因為若把有理數(shù)視為是實數(shù)的一部分，那么，就可以統(tǒng)一地說，每個有理分割即一實數(shù)。如果把直線的點都理解為有理點，肯定是有縫隙的，戴德金實數(shù)理論一建立，便可填滿整個直線而無空隙了。當然，具體問題還很多，但新的理論建立起來了，危機解決了

7、，悖論消除了，具體問題再進一步研究去。三、第二次數(shù)學危機牛頓的微積分發(fā)現(xiàn)無疑是一件劃時代的事件。然而，第二次數(shù)學危機就發(fā)生在微積分身上，所以帶來的震動不亞于第一次數(shù)學危機。牛頓的微積分使用的是流數(shù)法，的流數(shù)記為（它相當于今日微積分教科書上的改變量）。下面，我們按照流數(shù)法來計算一下的微分：.這樣算起來也很簡單，很快就得到了的導數(shù)（或微商）。這種算法不僅簡單，而且有效。所以受到數(shù)學家特別是物理學家的歡迎。但是上述算法中也存在著邏輯上的漏洞。例如，上面那個式子中有3個等號，第二個等號成立的必要條件是，然而，第三個等號成立的條件必須是。怎樣解釋這一點呢？解釋不清楚。這就是微積分之初的一個悖論，并稱之為

8、貝克萊悖論。因為大主教兼哲學家的貝克萊也看出了這一漏洞并特別地攻擊了微積分，他稱這個時而為0、時而又不為0的無窮小量為“鬼魂”。他說，你們那些相信這種“鬼魂”的數(shù)學家們，有什么理由懷疑上帝的存在呢？牛頓17世紀建立了微積分之后，雖然發(fā)生了悖論，但像第一次數(shù)學危機那樣，這次危機出現(xiàn)后，也沒有阻止微積分的繼續(xù)前進，從17世紀到19世紀跨越兩個世紀的漫長日子里，一方面是微積分廣泛地運用于非數(shù)學領域，尤其是物理學、力學，天文學，另一方面與微積分有關(guān)的以它為基礎的許多新興數(shù)學分支涌現(xiàn)出來。這種前進的步伐表明，似乎人們?nèi)粵]有顧及那個悖論一樣。18世紀依然是在微積分基礎上繁榮發(fā)展的世紀，其間還出現(xiàn)了象歐拉

9、那樣高產(chǎn)的大數(shù)學家。然而，微積分在邏輯上存在的問題畢竟是數(shù)學家的一個心病?？偟孟敕ń鉀Q這個問題。19世紀，這個問題終于解決了，微積分的邏輯基礎建立起來了。這主要得益于嚴格的極限理論（康托爾、柯西等人所建立）。有了極限，前面用流數(shù)法計算的那個式子，可以改寫為以下式子：.這一串式子中就沒有矛盾了。這里，關(guān)于符號“”的嚴格敘述確實不是很容易把握的。這個概念與“”的嚴格敘述在性質(zhì)上是一樣的。最基本的是“”，亦即無窮小量的敘述，這就是貝克萊所說的那個“鬼魂”。由于實數(shù)理論的完整建立是依賴于極限概念的，所以，第一次數(shù)學危機和第二次數(shù)學危機幾乎同時在19世紀消除。新的理論體系有了更大的包容量，原有的悖論在新

10、的體系下可以圓滿地予以消除。四、第三次數(shù)學危機17世紀，18世紀，19世紀，都是近代數(shù)學蓬勃發(fā)展的世紀，但特點有所不同。前兩個世紀可說是迅猛前進，廣為開拓的世紀；后一個世紀（19世紀）則可說是走向理；更加成熟的世紀，重大理論成果累累的世紀。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴展和完善；實數(shù)理論（極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎；群的公理、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎更為鮮明，等等和。然而，人們還在思索：整個數(shù)學的基礎在哪里呢？正是在這個時候,19世紀之末，集合論出現(xiàn)了。集合論為何引起廣泛關(guān)注呢？因為人們感覺到，集合論有可能成為整個數(shù)學的基礎。算術(shù)以整數(shù)、分數(shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)

11、為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。然而，算術(shù)的對象可說是以整數(shù)、分數(shù)等組成的集合為對象；微積分可說是以函數(shù)等組成的集合為對象；幾何可說是以點、線等組成的集合為對象。這樣一來，都是以集合為對象了。集合成了更基本的概念。從正整數(shù)出發(fā)，由一個正整數(shù)對（例如把表成可以表示有理數(shù)；由有理數(shù)對（序列）可以表示實數(shù)（如有理數(shù)對作成區(qū)間套）；由實數(shù)對可以表示復數(shù)；有了解析幾何，又可以由數(shù)來表示形。因此全部數(shù)學似乎都可歸結(jié)為正整數(shù)了，或者說，全部數(shù)學都可以算術(shù)為基礎了，就相當于解決了整個數(shù)學的基礎性問題。數(shù)學家弗雷格就做了這樣的工作，他在集合論的基礎上寫了一本研究算術(shù)的書，名字就叫算術(shù)基礎。可是，正

12、當弗雷格即將出版算術(shù)基礎一書的時候，羅素的集合論悖論出來了。頃刻之間，算術(shù)基礎動搖了，整個數(shù)學的基礎似乎也動搖了。這一動搖所帶來的震撼是空前的，許多為集合論興高采烈的數(shù)學家發(fā)出了哀嘆：我們的數(shù)學就是建立在這樣的基礎上的嗎？羅素的悖論在當時是無可辯駁的，這確實導致了一場深刻的危機。1919年，科學家羅素提出如下的理發(fā)師悖論：“村子里僅一名理發(fā)師，且村子里的男人都需要刮胡子，理發(fā)師約定：給且只給自己不給自己刮胡子的人刮胡子?！庇泻檬抡邌柪戆l(fā)師：“理發(fā)師先生，你自己的胡子誰來刮？”理發(fā)師無言以對。因為如果理發(fā)師說“我自己的胡子自己刮”，那么根據(jù)他與大家的約定，理發(fā)師不能給自己刮胡子的人刮胡子，即這里

13、他不該給自己刮胡子；如果理發(fā)師說：“我的胡子不自己刮”，那么根據(jù)他與大家的約定，理發(fā)師應給自己刮胡子?？梢娎戆l(fā)師怎么回答也不行！上述理發(fā)師悖論可以稍微數(shù)學化地來表述，設集合稍微數(shù)學化地來表述，設集合自己刮胡子的人若理發(fā)師，即理發(fā)師是自己刮胡子的人，但由“約定”，他不該給理發(fā)師刮胡子，即理發(fā)師，矛盾！若理發(fā)師，即理發(fā)師不自己刮胡子，由“約定”，他應給自己刮胡子，即理發(fā)師，矛盾！羅素進一步把上述悖論變成下面的一個數(shù)學悖論，稱為羅素悖論：“設，問還是？”顯然；若，由的定義，由是中一元素，應有性質(zhì)，矛盾！若，由的定義，矛盾！于是這里發(fā)生了無論如何擺脫不了矛盾的荒唐局面！在羅素表述悖論時，字字句句都未違

14、反康托爾樸素集合論的觀點，為什么出現(xiàn)了自相矛盾的事呢？要害是允許寫，即談某些集合自己是自己的元素，為了排除羅素悖論，保衛(wèi)自己已建成的大廈，數(shù)學家策墨羅(Zemelo)、弗蘭克爾(Fraenkel)等拋出一套所謂公理集合論的公理系統(tǒng)，按他們的公理規(guī)定，禁談，從而解除了第三次數(shù)學危機。第三次數(shù)學危機出現(xiàn)的前夕，數(shù)學界一派升平樂觀氣氛，1900年，龐加萊在第二次國際數(shù)學家大會上自信而興奮地宣稱：“我們可以說，現(xiàn)在的數(shù)學已經(jīng)達到了絕對的嚴格?！边^不了幾年，羅素悖論猶如晴天霹靂，使數(shù)學界一片嘩然，希爾伯特驚呼：“在數(shù)學這個號稱可靠性與真理性的模范里，每個人所學、所教、所用的概念及結(jié)構(gòu)的推理方法，竟導出不合理結(jié)果；如果數(shù)學思考也失靈的話，那么我們到哪里