數(shù)列復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)和結(jié)論總結(jié)

1、數(shù)列復(fù)習(xí)基本知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典結(jié)論總結(jié)1、數(shù)列的概念：數(shù)列是按一定次序排成的一列數(shù)。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數(shù)，如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_（答：）；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_（答：）；（3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍（答：）；（4）一給定函數(shù)的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（）（答：A）A B C D遞推關(guān)系

2、式：已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任何一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（前n項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，則這個(gè)式子就叫數(shù)列的遞推關(guān)系式。數(shù)列的分類：按項(xiàng)數(shù)多少，分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；按項(xiàng)的增減，分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列、常數(shù)列。按項(xiàng)有無界限，分為有界數(shù)列、無界數(shù)列。數(shù)列的前n項(xiàng)和： .已知求的方法（只有一種）：即利用公式 =注意：一定不要忘記對(duì)n取值的討論！最后，還應(yīng)檢驗(yàn)當(dāng)n=1的情況是否符合當(dāng)n2的關(guān)系式，從而決定能否將其合并。2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：1、 等差數(shù)列的定義：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫等差數(shù)列的公差。即.(或)

3、.（1） 等差數(shù)列的判斷方法：定義法：為等差數(shù)列。 中項(xiàng)法： 為等差數(shù)列。通項(xiàng)公式法：（a,b為常數(shù)）為等差數(shù)列。前n項(xiàng)和公式法：（A,B為常數(shù)）為等差數(shù)列。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。公式變形為:. 其中a=d, b= d.如(1)等差數(shù)列中，則通項(xiàng)（答：）；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_（答：）（3）等差數(shù)列的前和：，。公式變形為：，其中A=，B=.注意：已知n,d, , 中的三者可以求另兩者，即所謂的“知三求二”。如（1）數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則，（答：，）；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求

4、數(shù)列的前項(xiàng)和（答：）.（4）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）3.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和都等

5、于首末兩項(xiàng)之和.當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）等差數(shù)列中，則_（答：27）；（2）在等差數(shù)列中，且，是其前項(xiàng)和，則A、都小于0，都大于0B、都小于0，都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0（答：B）(4) 項(xiàng)數(shù)成等差,則相應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列.即成等差.若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為 。（答：225）（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)， ；. 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)， ； ；。 如（1）在等差數(shù)列中，S1122，則_（答：2）；（2）項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)

6、的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（答：5；31）.（6）單調(diào)性：設(shè)d為等差數(shù)列的公差，則 d>0是遞增數(shù)列；d<0是遞減數(shù)列；d=0是常數(shù)數(shù)列(7)若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.如設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_（答：）(8) 8、已知成等差數(shù)列，求的最值問題： 若,d<0且滿足,則最大；若,d>0且滿足,則最小. “首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次

7、函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如（1）等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。（答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169）；（2）若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n是 （答：4006）(9)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究.4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：如果數(shù)列從第二項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)

8、列，這個(gè)常數(shù)叫等比數(shù)列的公比。即 （或（1）等比數(shù)列的判斷方法：定義法，其中或。如（1）一個(gè)等比數(shù)列共有項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則為_（答：）；（2）數(shù)列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：數(shù)列是等比數(shù)列。（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)：或。如設(shè)等比數(shù)列中，前項(xiàng)和126，求和公比. （答：，或2）（3）等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。如（1）等比數(shù)列中，2，S99=77，求（答：44）特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。（4）等比中項(xiàng)：如果a、G、

9、b三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G=.提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)。如已知兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為_（答：AB）提醒：（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式中，涉及到5個(gè)元素：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為，（公比為）；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是1

10、6，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）5.等比數(shù)列的性質(zhì)：（1）對(duì)稱性：若是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積都等于首末兩項(xiàng)之積.即當(dāng)時(shí)，則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.如（1）在等比數(shù)列中，公比q是整數(shù)，則=_（答：512）；（2）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則 （答：10）。(2) 若是等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列；若成等比數(shù)列，則、成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比，則數(shù)列 ，也是等比數(shù)列。當(dāng)，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 若是等比數(shù)列，且各項(xiàng)均為正數(shù)，則成等差數(shù)列。 如（1）已知且，設(shè)數(shù)列滿足，且，則. （答：）；（

11、2）在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，則的值為_（答：40）(3) 單調(diào)性：若，或則為遞增數(shù)列；若,或 則為遞減數(shù)列；若，則為擺動(dòng)數(shù)列；若，則為常數(shù)列.(4) 當(dāng)時(shí)，這里，但，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且，則 （答：1）(5) .如設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則的值為_（答：2）(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，.(7)如果數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為（）， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：若，則既是

12、等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若，則是等差數(shù)列；若，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是 （答：）等差數(shù)列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比數(shù)列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：_（答：）已知（即）求，用作差法：。如已知的前項(xiàng)和滿足，求（答：）；數(shù)列滿足，求（答：）已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對(duì)所有的都有，則_（答：）若求用累加法：。如已知數(shù)列滿足，則=_（答：）已知求，用累乘法：。如已知數(shù)列中，前項(xiàng)和，若，求（答：）已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。特別地，（1）形如

13、、（為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為的等比數(shù)列后，再求。如已知，求（答：）；已知，求（答：）；（2）形如的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如已知，求（答：）；已知數(shù)列滿足=1，求（答：）注意：（1）用求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當(dāng)時(shí)，）；（2）一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足，求（答：）7.數(shù)列求和的常用方法：（1）公式法：直接利用或可通過轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和公式求解。特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式：，.如（1）等比

14、數(shù)列的前項(xiàng)和S2，則_（答：）；（2）計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是，那么將二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_（答：）（2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常把數(shù)列的各項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列，然后利用公式求和。如求：（答：）（3）倒序相加法：倒序相加法：數(shù)列特點(diǎn)：與首末等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則采用此法。（聯(lián)系：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和推導(dǎo)過程以及高斯小時(shí)后巧解算術(shù)題）. 如已知，則_（答：）（4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，即數(shù)列是一

15、個(gè)“差·比”數(shù)列，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）. 如設(shè)為等比數(shù)列，已知，求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（答：，；）； （5）裂項(xiàng)相消法：裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)抵消，從而前n項(xiàng)化成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：； ；，； ；如（1）求和： （答：）；（2）在數(shù)列中，且S，則n_（答：99）；（6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如求數(shù)列1×4，2×5，3×6，前項(xiàng)和= （答：）；求和： （答：）8. “分期付款”、“森林木材”型應(yīng)用問題(1)這類應(yīng)用題一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題.但在求解過程中，務(wù)必“卡手指