VAR模型與向量VECM模型(7)

1、實用文案第7章 向量自回歸模型(VAR與向量誤差修正模型(VEC§ 7.1 向量自回歸模型(VAR(p)傳統(tǒng)的經濟計量學聯立方程模型建摸方法，是以經濟理論為基礎來描述經濟變量之間的結構關系，采用的是結構方法來建立模型，所建立的就是聯立方程結構式模型。這種模型其優(yōu)點是具有明顯的經濟理論 含義。但是，從計量經濟學建摸理論而言，也存在許多弊端而受到質疑。一是在模型建立之處，首先需要明確哪些是內生變量，哪些是外生變量，盡管可以根據研究問題和目的來確定，但有時也并不容易；二是所設定的模型，每一結構方程都含有內生多個內生變量，當將某一內生變量作為被解釋變量出現在方程左邊時，右邊將會含有多個其余內

2、生變量，由于它們與擾動項相關，從而使模型參數估計變得十分復雜，在未估計前，就需要討論識別性；三是結構式模型不能很好地反映出變量間的動態(tài)聯系。為了解決這一問題，經過一些現代計量經濟學家門的研究，就給出了一種非結構性建立經濟變量之間關系模型的方法，這就是所謂向量自回歸模型(Vector Autoregression Model)。VAR莫型最早是1980年，由引入到計量經濟學中，它實質上是多元AR莫型在經濟計量學中的應用，VAR莫型不是以經濟理論為基礎描述經濟變量之間的結構關系來建立模型的，它是以數據統(tǒng)計性質為基礎，把某一經濟系統(tǒng)中的每一變量作為所有變量的滯后變量的函數來構造模型的。它是一種處理具

3、有相關關系的多變量的分析和預測、隨機擾動對系統(tǒng)的動態(tài)沖擊的最方便的方法。而且在一定條件下，多元MA模型、ARM模型，也可化為VAR莫型來處理，這為研究具有相關關系的多變量的分析和預測帶來很大方便。7.1.1 VAR模型的一般形式1、非限制性VAR模型(高斯VAR模型)，或簡化式非限制性 VARI型設yt =(y1t y2t.ykt)為一 k維隨機時間序列，p為滯后階數，s =(山口么山)為一 k維隨機擾動的 時間序列，且有結構關系(1) . (1) . . (1) . .(2) .y1t =a11 y1t aa 12y2t4. a1kykt+a11y1t/a12y2t/ a1kyktdI+a(

4、p)11yu +a(p)12y2tT +. + a(p)1kykj +比y2t = >21 y1t 丿 +a")22y2t J * * a" 'k ykt 4 * a")21 Y1t 4 * a" ' 22 y2t/ * 十 a" ' 2k ykt / * + a(p)21y2t* +a(p)12y2a +. + a(p)2kyktr + u2ty -a(1) y +a(1) y + +)y +a(2) y +a(2) y+ 十孑2) y+ykt a k1y1t4 a k2y2t4 . a kk ykt-1 a k

5、1 y1t -2 a 12y2t-2 .a 1kykt_2 .+a(p)k1yu +a(p)k2y2心十. + a(p)kkyktr +uktt =1,2,.,T(7. 1 . 1)若引入矩陣符號，記可寫成(i)(i)a iia i2a(i)a(i)Cl 21U 22(i)a ik Ia(i)a 2k,1二 1,2,., p)k1k2a(i)kkyt = AytjL+Ad +. + Apyt,t = 1,2,., T(7. 1. 2)進一步，若引入滯后算子L ,則又可表示成(7. 1.3)A(L) yt = Ut,t = 1,2,., T其中：A( L)=IrALAL . Ap L ,為滯后算

6、子多項式.如果模型滿足的條件:| 參數陣Ap = 0, p - 0; 特征方程detA(L)= lk AL A2L2 . ApLp =0的根全在單位園外;Ut iidN(0, Z)，t=1,2,.,T,即卩ut相互獨立，同服從以 E(q)=：0為期望向量、Cov(ut) = E(utu/) = 3為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)分布。這時，ut是k維白噪聲向量序列，由于 ut沒有 結構性經濟含義，也被稱為沖擊向量；CovCqXt)=E(utx_j 0, j = 1,2,.，即ut與xt及各滯后期不相 關。則稱上述模型為非限制性 VAf模型(高斯VAR莫型),或簡化式非限制性VAF模型。2、受限制性VA

7、R莫型，或簡化式受限制性 VAR莫型如果將yt =(y1t y2t.ykt) 做為一 k維內生的隨機時間序列，受d維外生的時間序列 人=(x1t x?t.xdt)影響(限制)，貝U VAR莫型為yt = AyJAyt,+. + Apyj+Dxt+ut , t=1,2,.,T(7. 1. 4)A(L)% = -DXt +q,t = 1,2,., T-d11d2 .d1d其中：D =d21d22 .d2d_dk1dk2.dkd -此時稱該模型為受限制性VAR莫型，簡化式受限制性VAR莫型?；蚶脺笏阕颖硎境蓪τ谑芟拗菩訴AR莫型，可通過(7. 1. 5)% =5 y2t.ykt)對人=(冷乂2皿

8、)作ols歸，得到殘差估計標準文檔yt =yt，從而將£變換成()或()形式的非限制性VAR模型，即(7. 1 . 6)(7. 1.7)W = A虬 入巾 . ApT ut, t =1,2,.,TA(L)yt =ut, t =1,2,.,T這說明受限制性 VAR模型可化為非限制性 VAR莫型。簡化式非限制、受限制 VAR莫型，皆簡記為 VAR(p)。3、結構式非限制性VAR模型實用文案如果y = (yit y2t.ykt)沖的每一分量受其它分量當期影響，無d維外生的時間序列Xt = (Xit冷瓦)影響(限制)，則模型化為Aoyt=AytjL + Ay +.+Apyt+Ut , t =

9、1,2，T(7. 1. 8)或利用滯后算子表示成A(L) yt = Ut,t = 1,2,., T(7. 1.9)其中. a =01 a(0)i2 a(0)2i 1a% a(0)2k,這時的 A(L)=代- AL-AL2- Apa(0)ki a%1 一此時稱該模型為結構式非限制性VAR莫型。如果A可逆，既逆陣 AJ0存在，則結構式非限制性 VAR莫型可化為簡化式非限制性VAR莫型1 1 1 1y = A °AytA 0人丫2 . A °Apyt“ A, t =1,2,., T(7. 1. 10)或利用滯后算子表示成A(L)yt = A 0Ut, t =1,2,.,T(7.

10、1. 11)這時，其中的 A(L) =1 _A0AL -AoL2 - .-A0ApLp4、結構式受限制性VAR莫型如果將yt =(%七y2t.ykt) 做為一 k維內生的隨機時間序列，其中每一分量受其它分量當期影響，且還受d維外生的時間序列 人=(x1t x2t.Xdt) 影響(限制)，則VAR模型為A)yt 二A%Dxt q, t =1,2,.,t (7. 1. 12)或利用滯后算子表示成A(L)yt 二-Dxt *, t =1,2,.,T(7. 1. 13 )此時稱該模型為結構式受限制性VAR莫型。如果A可逆，既逆陣 A40存在，則結構式受限制性 VAR莫型可化為簡化式受限制性 VAR模型

11、yt =A0Ay+ A0A2yt/+. + A°Apyt 卡+A0DXt + A0Ut, t=1,2,.,T(7. 1. 14)或利用滯后算子表示成A(L)% =-ADXt A°Ut, t=1,2,.,T(7. 1. 15 )這時，其中的 A(L) =1 -A'oAL -A0A2L2 - .-A40ApLp結構式非限制、受限制 VAR莫型，皆簡記為|SVAR(p)。7.1.2 簡化式VAR莫型的參數估計VAR模型參數估計，簡化式VARI型比較簡單可采用 Yule-Walker估計、OLS古計、極大似然估計法等進 行估計，且可獲得具有良好統(tǒng)計性質的估計量。結構式VAR

12、莫型參數估計比較復雜，可有兩種途徑：一種是化成簡化式，直接估計簡化式模型參數，然后再通過簡化式模型參數與結構式模型參數的關系，求得結構 式模型參數估計，但這存在一個問題是否可行，什么情況下可行，這與結構式模型的識別性有關。另一種 標準文檔途徑是直接對結構式模型參數進行估計，但這也存在一個問題，上述方法不可應用，原因是每一方程含有 眾多內生的與擾動項相關變量，那么，如何估計？這也與結構式模型的識別性有關。對于簡化式VAf模型()( )，在沖擊向量滿足假設UtiidN (0,D，t =1,2,，T , 即ut相互獨立，同服從以 E(ut) =0 為期望向量、Cov(uJ = E(utUt"

13、;) =E為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)分布。這時，ut是k維白噪聲向量序列的條件下，模型參數陣A,A,.,Ap及龍也可采用Yule-Walker估計、OLS古計、極大似然估計。設yt -(y1t y2tyj, t =1,2,，T為長度為T的樣本向量1、Yule-Walker 估計(7.1.16)在T充分大時，首先估計自協(xié)方差陣1 -,?=+,A =j 11p 1A2P -20T?h!八 yt yt_h /Tt i 1則可得模型參數陣的 Yule-Walker估計(矩估計)為-一飛'?.?p.1A=+= !?？ =?0.+| 1冬1 ?p_(7.1.17 )2、OLS估計模型參數陣 A,A2

14、,，Ap的OLS古計，即求使1 TppQ(A, A,Ap)=遲(%-E Ajyt_j)(yt-遲 jt斗)I j+jmjm=minT?八yty；/Tt -p -1(7.1.18)下的A1, A2,Ap作為a , A2,Ap估計。記由此可推得A=A2 =I?F =+p-2由此可見，模型參數陣A1, A?,., Ap的OLS古計(7.1.15)呂?；與 Yule-Walker 估計(7.1.13)(7.1.19 )形式相同,但式中的？的計算不同.但是，當T充分大時與相差很小，這時與相差也很小，這時二者的估計及估計量的性質等價。因此， 在T充分大時，可直接采用Yule-Walker估計比 標準文檔實

15、用文案較簡單方便。(7.1.20 )1997.1.pp199 )(7.1.21 )T 而e的估計為？=眾Ai?A =丄無T ui 其中：？ = yt Aiyt 丄A2yt _2 Ap yt _p3、極大似然估計可證明,模型參數陣AA,，A的極大似然估計與OLS古計完全等價。除此之外，還有遞推估計法（參見：馬樹才，經濟時序分析，遼寧大學出版社, 這里不在贅述。7.1.3 簡化式VAR莫型的預測在已知yti, yt>.時，對y的一步線性預測?t(1) = AYtA2yt_2Apyt_p其一步預測誤差為yt = yt _ 0（1） = e一步預測誤差的方差陣為Eyt y;二Eq©二s

16、的估計為S?二（1 _kp）（?0 一 A ?）（ ）Ti£在已知丄yt».時，如果利用模型參數的估計量AhA2,.,Ap，對yt進行一步線性預測，則%的實際一步線性預測為其一步預測誤差為步預測誤差的方差陣為?(1)=AYt二 A2W2 Apyt()yt二yt -知= (A1 -A)X(A -盡)山 (Ap -Ap)yt_p =etEMYt二Eqe(二D的估計為(7.1.24 )3=(1 kP)(1_kP)j(?0_J 人？)T Ti =17.1.4 VAR 模型階數p的確定VAR模型的定階是一個矛盾過程 ，階數p的確定，既不能太大，又不能太小，必須兼顧。因為，一方面，希望

17、滯后階數p要大一些，以便使模型能更好地反映出動態(tài)特征，但另一方面，又不希望太大，否則， 階數p太大，會造成需要估計的模型參數過多，而使模型自由度減少。因此，在定階時需要綜合考慮，以 既要有足夠大的滯后項，又能有足夠大的自由度為原則確定階數。VAR莫型的定階方法有多種:1、FPE準則（最小最終預測誤差準則）FPE準則（最小最終預測誤差準則），即利用一步預測誤差方差進行定階。因為，如果模型階數合適, 則模型對實際數據擬合優(yōu)度必然會高，其一步預測誤差方差也必然會??；反之，則相反。設給定時間序列向量長度為T的樣本向量為yt =（y1t y2t.ykt） , t =1,2,T ,則其一步預測誤差方差 陣

18、的估計量為（）式，它是一個k k階陣，因此可定義其最終預測誤差為FPEk(p) "etD? =(1 字(1 一孚)上pdetd A?)7(7.1.25 )顯然,FPEk(p)是p的函數。所謂最小最終預測誤差準則，就是分別取p=l, 2,，M,來計算FPEk(p),使FPEk(p)二min值所對應的p,為模型合適階數。相應的模型參數估計A,定，Rp為最佳模型參數估計。其中，M為預先選定的階數上界，一般取M二T/10kT/5k之間。在實際計算過程中，可如下判斷： 如果FPEk(p)的值，隨著p從1開始逐漸增大就一直上升，則可判定p=1; 如果FPE/p)的值，隨著p從1開始逐漸增大就一直

19、下降，則可判定該隨機時間序列不能用AR(p)模型來描述； 如果FPEk(p)的值，在某一 p值下降很快，而后又緩慢下降，則可判定該p值為所確定的階數； 如果FPEk(p)的值，隨著p從1開始逐漸增大而上下劇烈跳動，難以找到最小值，這可能由于樣 本數據長度T太小造成的，應增大樣本長度，重新進行定階、估計模型參數，建立模型。利用FPE言息準則還可以用來檢驗模型的建立是否可由部分分量，比如前r(r乞k)個分量y1t y2t.yrt ,t =1,2,T來進行，方法如下：pp記()式中的kxk階矩陣(？0送Aj?)的左上角r階子方陣為(玄送A?)聞，則前r個分 i=1T量y1t y2t.yrt, t =

20、1,2,., t的最終預測誤差為FPEr(p) =detD?r 二(1 蟲)r(1-0)'det(?o 八 A ?)r r()T T7當 r =k 時，()為式。如果，mi nFPEr(p)乞mi nFPEk(p)，則可認為僅用前r個分量y1t y2t.yrt, t=1,2，T建立模型 即可，沒有必要采用k維隨機時間序列yt =(y1t y2t.ykt)建立模型，因為從最小最終預測誤差準則角度， 用k維隨機時間序列二(y1t y2t.ykt) 建立模型比僅采前r個分量y2t.yrt, t =1,2,., T建立模型， 帶來擬合優(yōu)度的顯著改善；反之，則相反。2、AIC(Akaike In

21、 formation Criterio n)與 SC ( Bayes In formation Criterio n)信息準則AIC、SC言息準則，也稱最小信息準則，定義AIC-2I/T 2n/T , SC - -21/T nln T/T().亠Tk ,T c2其中：l=(1+I n2® In ?, n為模型需要估計參數個數，對(),n = pk2 ；對于2 2 1.4),n = k(d pk);對于(n = (p 1)k ;對于() , n = k(d pk) k。所謂最小信息準則，就是分別取p=1, 2,來計算AIC或者SC,使AIC或SC二min值所對應的p ,為A1,龍,，A

22、p為最佳模型參數估計。模型合適階數。相應的模型參數估計3、似然比檢驗法(Likelihood Ratio,LR檢驗)：由于Ut iidN (0,二),t =1,2,T，即Ut相互獨立，同服從以 E(Ut) =0為期望向量、Cov(ut)二E(utq) = 3為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)分布。因此，yt 2 記y=:,人=認 A?川 Ap ,則在給yt，yt/,，y_p卅的條件下， = (% 丫斗小)的+條件分布為yt ytjL,yt».,y» N(AY,n)于是，在給yt二，yt,.，y.1的條件下，yi,y2,.,yT的聯合分布密度，即似然函數為L(A, 3) =(2 二)*

23、/2T/21 T1exp(-(yt-AY；) L(yt-AY；)t=4對數似然函數為TktIn L(AQ)=In(2兀)+ In I22/ (yt -AY)十(yAY)2y將參數估計代入,則有標準文檔_ TkIn L(A, 2) 一In(2 二)2 2因此，有一 TkIn L(A,2ln(2 二)+-ln f2.d Tk2(7.1.28)現在，欲檢驗假設 H0:樣本數據是由滯后階數為 p的VAR莫型生成；樣本數據是由滯后階數為p 1的VAR莫型生成取似然比統(tǒng)計量為LR=2I nL(A,fpI nL(A,fp)=T(I n|£pI n 駕)2(k2)分布 ()在給定的顯著性水平：下，當

24、LR 2：.(k2)，則拒絕H0，表明增加滯后階數，可顯著增大似然函數值；否則，則相反。LR檢驗在小樣本下，可取似然比統(tǒng)計量為(7.1.30)Gran ger因果關系，這也是建LR=(T_m)(I n 梓詞I n| 用)天 2(k2)分布 其中，m = d kp.7.1.5 VAR 模型的Gran ger因果關系檢驗VAR莫型的另一重要應用是可用來檢驗一個變量與另一變量間是否存在 立VAR模型所需要的。1、Granger因果關系的涵義設yt =(y1ty2t)為一 2維隨機時間序列，如果在給定y1t、y2t的滯后值下y1t的條件分布與僅在給定的y1t的滯后值下y1t的條件分布相同，即f (y1

25、t y12,y1t».,ygy2t 4 ,y2t_2,.,y2tp) = f (y1ty1t V,y1t-2yg)實用文案則稱對y1t存在Gran ger非因果性關系，否則，y2t對y1t存在Granger因果性關系。Gran ger因果性關系涵義的另一表述：在其條件不變下，如果加上y2t的滯后值，并不對只由y1t的滯后值下對 比七進行預測有顯著改善，則稱y2t對yit存在Granger非因果性關系，否則，壯 對yit存在Gran ger因果性關系。2、Gran ger因果關系檢驗設 =(yit y2t) 為一 2維隨機時間序列，p為滯后階數，w二牡比)為一 2維隨機擾動的時間序列，

26、則有2元VAR莫型為yit=a 11y1t1 ' a 12y2t1' a 11y1t_2' a 12y2t_2a 11y1t_p' a12y2t_pU1tU2t(1)丄 (1)丄丄丄 丄 (P)丄 (P)y2t=a 21y1ta 22y2tA a21y1t_2a22y2t_2 a 21y2t_pa 12y2t_pt = 1,2,., T(7 1. 31)標準文檔顯然，欲檢驗y2t對y1t是否存在Gran ger非因果性關系，等價地,檢驗假設 Ho: a(1)12 =a(2) 12 =. = a(P)12 = 0； H1: a(1)12,a 12,.a(p)12

27、中至少有一個不為其用于檢驗的統(tǒng)計量為F(p,T _2p_1)(7. 1. 32)(SS& -SSR/PSSRy1,y2 /(T -2卩-1)其中，SSFy1,y2為模型()中第1方程殘差平方和，SSRy1為模型()中第1方程去掉y2各期 滯后項后擬合殘差平方和。在給定的顯著性水平 下，當F F：.(p,T-2p-1)時，拒絕Ho。如果模型(7. 1. 31)滿足qiidN(O, 3) , t =1,2,.,T，即ut相互獨立，同服從以 E(ut) = O為期望向量、Cov(ut)二E(qut)二二為方差協(xié)方差陣的k維正態(tài)分布條件，則也可采用如下統(tǒng)計量進行檢驗T(SSR1 -SS%)SS

28、R1,y22(p)(7. 1. 33)在給定的顯著性水平：下，當 2 2：(P) 時，拒絕H 0,上述Granger因果性關系檢驗，可推廣到對任意k維VAR莫型以及SVAR模型中的某一或某幾個隨機時間序列(包括內生、外生變量)是否對另一時間序列具有Gran ger因果性的檢驗上去。§ 7.2 VAR ( p)模型的脈沖響應函數與方差分解在實際應用中，由于通常所設定的 VAR莫型都是非經濟理論性的簡化式模型，出它無需對變量作任何 先驗性約束，因此，在分析應用中，往往并不利用VAR模型去分析某一變量的變化對另一變量的影響如何，而是分析當某一擾動項發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時，對系統(tǒng)

29、的動態(tài)影響，這鐘分析方法稱為脈標準文檔沖響應函數方法(Impulse Respo nse Fun ctio n,IRF)。7.2.1脈沖響應函數基本思想對VAR莫型采用脈沖響應函數分析擾動項發(fā)生變化，或者說模型受到某種沖擊時，對系統(tǒng)的動態(tài)影響,就是分析擾動項發(fā)生變化是如何傳播到各變量的。設yt = (y1t y2t) 為一 2維隨機時間序列，滯后階數p=2, w二(u比)為一 2維隨機擾動的時間序列，則有2元VAR莫型為一J"+J1)+J2)y1t a 11 y1t+ a 12y2td+a11y1t_2*a12y2t_2 *U1t(1) (1) (2)2t=a 21 y1ta + a

30、 22y2t + a2*12+a22y2t_2*U2t(7. 2. 1)擾動項滿足白噪聲假設條件，即E(uJ = 0,t =1,2,.,T ；Cov(uJ 二 E(UtW)二二 L"ij ,t 二 1,2,., T ；Cov(Ut,Us) = E(UtUs) =0(t = s),t, s = 1,2,., T現在假設上述VAR莫型系統(tǒng)從t = 0時期開始運行，并設 ,=y, = y2, = y2,2= 0,在t = 0時給定擾動項u10 =1、u20 = 0,并且其后u1t二u2t =0,(t =1,2,.)，即在t = 0時給定y1t一脈沖，我們來討論Wt、y2t的響應。由于 u1

31、0 二1、u20 =0,由(7 . 2 . 1)，在 t =0 時，于是有，y1,0 二1、y2,0 = 0 ；將上述結果再代入(7. 2. 1),在t =1時，于是有，y1, a(1)112 = a21 ；再將上述結果代入(15. 2. 1),在t = 2時，于是有，/(1)2丄 丄y1,2 = (a 11) a 12 a 11a 21,(1)(1)丄丄2,2 = a 21a 11 a 22 a 21a 21如此下去，可求得結果,0, %,1, %,2,%,3,.,稱此結果為由y1的沖脈沖引起的的響應函數;所求得的y2,0,y2,1, y2,2,y2,3,.，稱為由的沖脈沖引起的y2t的響應

32、函數。反過來，也可求得在t =0時，給定擾動項比0 = 0、U20 -1,并且其后 比=u = 0,(t = 1,2,.)，即在t =0給定y2t 一脈沖時，由目2的沖脈沖引起的y1t、y2t的響應函數。7.2.2 VAR模型的脈沖響應函數假設有 VAR(p)模型yt = Ayt 4 A2y.-Ap%TUt , t =1,2,., T(7. 2. 2)引入滯后算子 B，表示成A(L)yt = ut, t = 1,2,., T(7.2. 3 )其中：A(L) = I k - AL 4L-一ApLP,為滯后算子多項式.在滿足特征方程detA(L) = lk - A(L-A2L .-ApLP =0的

33、根全在單位園外 條件下，則yt =C(L)qVAR(p)是可逆的，即可將 yt表示成白噪聲Ut滑動和形式(7.2. 4 )其中：C(L) = A(L) J = C0 C1L - C2L2C0 = I k(k 階單位陣)(72 4 )中第i方程為(7. 2. 5)kyit = ' (C)ij ujt ' C j u jt J ' C)ij Ujt _2.),t=1,2,.Tj 二當 k =2 時，為yitc(0)ii'C(0)21C22C12U1t Jc(2)C2)1121C12u1t 2C22丄22 .t = 1,2,., T(7. 2. 6)現在假定在基期給

34、個單位脈沖，即u-0,0,而u2t =0,t= 0,1,2,.則可求得由的脈沖引起y2的響應函數為:t =0,0) y20 - C 21t 1,y21 = C 21由此可看出，對于(7.2. 4 )式的一般情形，由yj的脈沖引起yi的響應函數為：t = °,yi0 二 c®ijt =1, %1 =c jt =2,%2 = c jr申roO由yj的脈沖引起yi的累積響應函數為：c(q)ijq=0由(7. 2. 4 )式，其中的Cq中的第i行、第j列元素可表示為C"q)ij = yit q / ： U jt , q = 0,1,2,.； t = 1,2,., T( 7

35、. 2. 7 )作為q的函數，它描述了在時期t，其他變量和早期變量不變的情況下，yt .q對yjt的一個沖擊的反應，稱為脈沖響應函數。用矩陣可表示為Cq=：$ .q/：U( 7. 2. 8 )即Cq中的第i行、第j列元素等于時期t的第j變量擾動項增加一個單位，其它時期擾動項為常數時，對 時期t q的第i個變量值的影響。7. 2. 3方差分解VAR莫型的脈沖響應函數是用來描述VAR莫型中一個內生變量的沖擊給其它內生變量所帶來的影響的，它是隨時間的推移，觀察模型中各變量對于沖擊是如何反應的。而方差分解是要通過分析每一結構沖擊對內生變量變化(通常用方差來度量)的貢獻度，進一步評價不同結構沖擊的重要性

36、的，與脈沖響應函數相標準文檔VAR莫型中的變量產生影響的每個比，方差分解是一種比較粗糙的把握變量間關系的方法，它給出的是對 擾動項的相對重要信息。方差分解的基本思想是：由(7. 2. 5 )式kyit 八(c(0)jUjt cMtcjU2 )，i =1,2,.,k;t =1,2,.T( 7. 2. 9 )可知，左邊括號內為是第 j擾動項uj從過去無限遠至現在時點對第 i內生變量yi影響的總和。在E(w)=0，Uj無序列相關的假設下，對其求方差，可得qQE(c(0)jUjtCjUjtCjUjt”.)2 八一 (c(q)ij)=, i,j=1,2,.,k( 7. 2. 10)q=0它是把第j擾動項

37、uj從過去無限遠至現在時點對第 i內生變量yi影響總和，用方差加以評價的結果。如果C ov(ut)二E(utut)二3為對角陣，貝U yit的方差為k : (7. 2. 11)Var(yQ 八' (c(q)j),),j =1,2,.,k; t=1,2,.,TjT q=0由此可知，yit的方差可分解成k個不相關的v (c(q)ij)jj ( j -1,2,.,k )的影響。q=0由此，可測定出各個擾動項對y,方差的相對方差貢獻率為O0Zyit)£ (c(q)RVCj ,：) =q=0(cfjj(7. 2. 12)i,j =1,2,., k在實際應用計算中，不可能從過去無限遠的

38、c(q)0來評價。在模型滿足平穩(wěn)性條件下,由于c(q)ij隨著q的增大是按幾何級數衰減的，故只要取前s有限項計算即可。其近似相對方差貢獻率為RVCj j(s)s /' (c_ q £,i, j =1,2,., k(c(q)ij)2j(7. 2. 13RVCji (s)有如下性質:0乞RVCj ,s)乞1(7. 2. 14k' RVCj )f(s) -1,j ii 1,2,., k(7. 2. 15如果RVCji (s)大，則意味著第j變量(第j擾動項)對第i變量yi影響大，反之,則相反。§ 7.3 Johansen協(xié)整檢驗與向量誤差修正模型(VEC)實用文案

39、前面我們已經介紹了單方程的協(xié)整檢驗與誤差修正模型。且其協(xié)整檢驗方法是以回歸模型為基礎的 基于回歸殘差序列的 ADF僉驗法進行檢驗的。現在我們把它推廣到VAR莫型上去，并給出以 VAR莫型為基礎基于回歸系數的協(xié)整檢驗方法。在單方程協(xié)整檢驗中，由于是基于回歸殘差序列進行，故在第一階段需要采用OLSS行回歸分析，應用很不方便。為此，Johansen (1988)及Juselius(1990) 提出了一個 以VAR莫型為基礎的基于回歸系數的 特別適合于多變量的協(xié)整檢驗法。7. 3. 1 Johansen 協(xié)整檢驗1、協(xié)整定義：設 =(yit ,y2t,.,ykJ 為一 k維隨機時間序列，t =12，T

40、，如果 yt I (d),且每一 yit I (d), i =1,2,k 存在非零向量：=(：仆：2,., ：k)，使：ytl(d-b), 0 ： b _ d則稱yt為協(xié)整，記為|yt CI (d, b),:為協(xié)整向量。若yt為協(xié)整，則最多存在k -1個線性無關的協(xié)整向量。即若記由yt的所有協(xié)整向量組成的矩陣為A ,則 A 秩，0 Era nt (A) = r 乞 k 一1。例如，k=2，yt=(y1t,y2t),%t,y2tl(1)，若有 G 使t- Gy2t I (0)，按照上述，最多存在k -1 =2 -1 =1個線性無關的協(xié)整向量，則協(xié)整向量匕=(1-G),C!)唯一。因為若有C2也使

41、得y1t -C2丫2t I (0),則(y1t _C1y2t)-( y1t _ C2Y2t) ( C2 _ C1) y2t I (0)這與已知y2t I (1)矛盾，故G = C2，即：=(1 - G), G)唯一。2、Johansen協(xié)整檢驗基本思想設yt =(y1t %,yQ 為一 k維隨機時間序列，t =1,2,t ,且%I (1),即每一 1(1),i =1,2,., k，受d維外生的時間序列 Xt =(冷X2t.Xdt)影響(限制)，則首先可建立VAR模型yt =Ayt4 宀丫2Ap%m DXt q , t =1,2,., T(7. 3. 1)將上式進行差分變換，也稱為協(xié)整變換，可寫

42、成P4：yt 二二ytj 亠二=Dxt u(7. 3. 2)impp其中，二=7 A -丨，-i 嘉 Aj(7. 3. 3)i dj 出;1在(7. 3. 2)中，由于 1(1),所以 yt 1(0)、 y- I (0), j = 0,1,., p，'丨 i 嘰 I (0)i=1因此，只要yt4 I(0),則y1t4 ,y2t4,.,ykt4，亦即%t必,之間具有協(xié)整關系，而y1t4 ,y2t4,., ykt4之間是否具有協(xié)整關系取決于k k階矩陣二的秩rank (二)。因為，二與模型全部參數陣A,A2,.,AP有關，故稱 二為壓縮矩陣(影響矩陣)。設rank (二)=r，則r有3種情

43、況： 如果r = k，這意味著二是一列滿秩陣，則只有當y1tJ ,y2t j,.,ykt j I (0)時，才能保證1 1(°)，但這與已知yt I (1)相矛盾，故r = k,只能有r<k. 如果r=0,則口 =0,由(7. 3. 2),這時用不著討論 y1tJL ,y2tJL,., yktJL之間是否具有有協(xié)整關 系。除上述兩種極端情形外，一般情況是： 如果0 :：: r : k ,這意味著，ykt中一定存在r個協(xié)整關系(協(xié)整組合)，其余 k - r個關系仍然為1(1)關系。在這種情況下，可將-分解成兩個k r階陣:、的乘積n 3 '且 rank (： ) = r、

44、rank ( -) = r。將其代入到(7. 4. 2)式中，有L* = I - yt 二亠二匸yt Dxt ut(7. 3. 4)y上式要求，yt I (0)向量，其每一行都是I (0)變量，即2 = ( 1匕的每一列都是一協(xié)整向量，所以1決定了 y1tl,y2tjL,.,yktd之間協(xié)整向量的個數和形式，故稱一：稱為協(xié)整向量陣，r為協(xié)整向量個數。:的每一行是出現在上述每一方程中的r個協(xié)整組合的一組權數，故稱為調整參數陣，或修正參數陣。顯然，在yt 1(1)假定條件下，最大可能r二k -1，這就是對于k維向量yt = (%七，y2t,，yQ最大可能存在k -1個線性無關的協(xié)整向量的道理。根據

45、上述分析，可知欲檢驗y(y1t ,y2t,.,ykt)是否具有協(xié)整關系，就轉化為對矩陣-的秩數的檢驗，由于rank (二)=二的非零特征根的個數，因此，就可以通過檢驗-的非零特征根的個數，來檢驗rank(l)，從而來判定 =(%七，y2t,，yQ是否具有協(xié)整關系。這就是Johansen協(xié)整檢驗的基本思想。3、Johansen協(xié)整檢驗現在假設二的k個特征根為2 .'!<。Joha nsen協(xié)整檢驗有兩種方法：1、特征根跡檢驗(trace檢驗)由于r個最大特征根可得到r個協(xié)整向量，而對于其余 k - r個非協(xié)整組合而言，應該有'r1 -'2二-'k三0 ,因此

46、，檢驗rank (二)是否等于r,等價地檢驗假設 Hr0：r 0,'r1=0； 巴1 ： ' r 10, r = 0,1,2,., k - 1可用于檢驗的特征根跡統(tǒng)計量為k一T、ln(1-1), r =0,1,2,，k-1(7. 3. 5)i工十具體顯著性檢驗程序如下：當0 :某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即不顯著時，接受H。" =0)，表明有k個特征根，o個協(xié)整向量，即yt, ym，ykt)不存在協(xié)整關系。當'0 某一顯著性水平下的Johansen分布臨界值，即顯著時，拒絕量。這時必須接著檢驗1。當:某一顯著性水平下的Johansen分布臨界

47、值，即不顯著時，接受整向量。依次進行下去，直到接受Hr0，說明存在r個協(xié)整向量時為止。這時,特征根所對應的經過正規(guī)化的特征向量。顯然整個檢驗過程應該是序貫進行的，整個序貫檢驗過程如下:當o :某一顯著性水平下的 向量(即不存在協(xié)整關系)。當0 -某一顯著性水平下的 量。這時必須接著檢驗。當i :某一顯著性水平下的 向量。當i某一顯著性水平下的 量。甲+當；某一顯著性水平下的2、最大特征根檢驗由于r個最大特征根可得到，r1 ='r2 =. =，k=°，因此，Joha nsen分布臨界值，即不顯著時，接受Joha nsen分布臨界值，即顯著時，拒絕Joha nsen分布臨界值，即

48、不顯著時，接受Joha nsen分布臨界值，即顯著時，拒絕Joha nsen分布臨界值，即不顯著時，接受 r個協(xié)整向量，而對于其余最大特征根檢驗用于檢驗假設k -r個非協(xié)整組合而言H°o(r =0)，表明至少有1協(xié)整向Hio(r =1)，表明只有1個協(xié)這r個協(xié)整向量就是最大的r個Hoo(r =0)，表明只有0個協(xié)整Hoo(r =0)，表明至少有1協(xié)整向H!o(r =1)，表明只有1個協(xié)整He(r =1)，表明只少2個協(xié)整向Hro，表明只有r個協(xié)整向量。應該有H r0 ： ' r 1 = 0； H 門：r 10, r = O,1,2,k - 1用于檢驗的最大特征根檢驗的統(tǒng)計量為

49、r = -T I n(1 譏 1), r=0,1,2，k-d( 7. 3. 6)具體顯著性檢驗程序如下：當0 :臨界值，不顯著時，接受 H00(r =0)，表明最大特征根為0,無協(xié)整向量；當o 臨界值，顯著時，拒絕 Hoo(r =0)，接受He，表明至少有1個最大特征根不為0，至少有1個 協(xié)整向量。須接著檢驗1。當1 :臨界值，不顯著時，接受Hw(r -1)，表明最大特征根不為0，其余特征根皆為0，只有1個協(xié)整向量；檢驗截止。當1 臨界值，顯著時，拒絕 He(r =1)，接受Hu，表明至少有兩個最大特征根不為0,至少有2個協(xié)整向量。須接著檢驗2。依次進行下去，直到接受Hr0，共有r個協(xié)整向量時

50、為止。4、協(xié)整方程形式7. 3. 2 向量誤差修正模型(VEC)由()式可知，設yt=(yit, y2t,，ykt)為一 k維隨機時間序列，t =1,2,T，且ytl(1,即每一 yit l(1), i =1,2,., k，如果yt不受d維外生的時間序列 人=(冷x”/)影響(限制)，VAR莫 型變?yōu)閥t = Ay+. + Apyt“+Ut , t=1,2,.,T(7. 3. 7)將上式進行協(xié)整變換，可寫成P 二yt 二二yt' iyt _l ut(7. 3. 8)i 4PP其中，二八 A I， - -7 Aj(7. 3. 9)i 4j=t 1如果yt存在協(xié)整關系，則()的二ytj I

51、 (0),這時可寫成yt = ： ： yt二 i，yt_L ut(7. 3. 10)其中,0yti =ecmt即為誤差修正項，反映的是變量之間的長期均衡關系。即，上式可寫成P /yt - - ecm二Aytut(7. 3. 11)i總即為向量誤差修正模型(VEQ ,其中每一方程都是一個誤差修正模型(ECM。VEC莫型中的參數向量，反映的是變量之間的均衡關系偏離長期均衡狀態(tài)時，將其調整到均衡狀態(tài)的調整速度，故稱其為 調整參數陣，或修正參數陣。所有作為 解釋變量的差分項 厶yt(i =1,2,., p-1)的系 數向量:i(i =1,2,., p -1)，反映的是各變量的短期波動.-：yt-L對作

52、為被解釋變量 yt的短期變化yt的影響。在實際應用中，對于影響不顯著的那些短期波動.yt_L的項可以從模型中剔除。上述只是討論了簡單的 VE(模型，我們也可以象 VAR莫型那樣構造結構式 VE(模型，也可以對 VE(模型討 論Gran ger因果關系檢驗、脈沖響應函數和方差分解等等。關于這些更詳細的內容，可參見Davidson和Mackinnon(1993)以及漢蜜而頓(1999)的著作。 Davids on ,Russell and James G.Mack innon .Estimati on and Inference inEcono metrics.Oxford:Oxford Uni versity Press,1993,715-730. 詹姆。漢密爾頓：時間序列分析(劉明志譯)，中國社會科學出版社，1999，第19章。§ 7.4 SVAR(p)模型7 . 4. 1 SVAR模型的識別與約束條件如果二卜牡ywykt)沖的每一分量 受其它分量當期影響,無d維外生的時間序列 x =(& x2t.xdt)影響(限制)，則由(7. 1 . 8)式，結構式非限制性SVAR( p)模型為Aoyt=AytjL + Aeyu +.+Apyt+Ut , t =1,2,.,T(7. 4. 1)或利用滯后算子表示成A(L) yt = Ut,t = 1,2,