第5節(jié)定積的幾何和經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

1、第七、八節(jié)第七、八節(jié) 定積分的幾何定積分的幾何應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積二、體積二、體積三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 baxxfad)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 baxxfxfad)()(12一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1 1、 直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形xxxxd xxd 例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素xxxad)(d2 選選

2、 為積分變量為積分變量x1 , 0 xxxxad)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說(shuō)明：說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.兩曲線

3、的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy問(wèn)題：?jiǎn)栴}：積分變量只能選積分變量只能選 x 嗎嗎 ？xy22 4 xyxyo)(yx cd曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dcyyad)( 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dcyyyad)()(12 yyyd )(1yx )(2yx xyocdyyyd 例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y 422)214(dyyys24| )614(4232 yyy選選x

4、為積分變量為積分變量 20)2(2dxxxs 82)4(2dxxxxy22 4 xy 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)二、旋轉(zhuǎn)體的體積二、旋轉(zhuǎn)體的體積1 1、繞、繞 x 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積)(xfy 、ax 、bx 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成軸旋轉(zhuǎn)一周而成體體積為多少？積為多少？ 取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間d,xxx ， 取取以以xd為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的

5、薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素， xxfvd)(d2 xxxd xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為xxfvbad)(2 )(xfy y解解xhry xo直線直線 方程為方程為opxxhrvhd20 hxhr03223 .32hr 例例 1 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)o及點(diǎn)及點(diǎn)),(rhp的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞 x軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為 r、高為、高為 h的圓錐體，的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積計(jì)算圓錐體的體積 hpr軸旋轉(zhuǎn)而成的體積軸旋轉(zhuǎn)而成的體積圍成圖形繞圍成圖形繞xbxaxxgyxfy ,),(

6、),( )2(21 10222)()(dxxxvx 1010524| 5121xxdxxx 103 22( )( )bxavfxgx dx的的體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成圍圍成成圖圖形形繞繞，求求例例xyxxy22 1 2 2、繞、繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積xyo軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的體體積積為為圍圍成成圖圖形形繞繞ydycyyx ,),( )3( 2( )dycvy dy軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的體體積積為為圍圍成成圖圖形形繞繞ydycyyxyx ,),(),( )4(21 2|( )|byavx f xdx軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為圍成圖形繞圍成圖形繞yyb

7、xaxxfy0,),( )5( cda 2a )(xy2221( )( )dycvyy dy生生的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)產(chǎn)產(chǎn)繞繞軸軸繞繞求求例例yxbyax(2),(1) 1 12222 軸軸繞繞解解x)1( :22xaaby aaxdxyv2 adxxaab02222)(2 234ab 軸軸繞繞y)2(法一法一22ybbax bbydyybbav222)( bdyybba02222)(2 ba234 法二法二dxxfxvay| )(|220 adxxaxab0224 ba234 axxaab03222| )31(2 .,1,1- 2積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體軸軸

8、成成平平面面圖圖形形分分別別繞繞圍圍軸軸過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)的的切切線線與與求求例例yxxyxxy ,121: xy解解xay121,)0 , 0( 則切線方程為則切線方程為點(diǎn)點(diǎn)過(guò)過(guò)代入方程有代入方程有切點(diǎn)切點(diǎn))1,( aaxya212 切切線線為為),1,( aa設(shè)設(shè)切切點(diǎn)點(diǎn)為為 202122)1()21(dxxdxxvx 6| )21(|12212203 xxx 10222)2()1(dyyyvy 158| 32511035 yyy158d12)d21(22021 xxxxxxvy四、平行截面面積為已知的四、平行截面面積為已知的 立體的體積立體的體積xoabxxxd 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知

9、道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.)(xa表表示示過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xa為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),d)(dxxav .d)( baxxav立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)半半徑徑為為r的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.rr 解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222

10、ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xrxa 立體體積立體體積xxrvrrdtan)(2122 .tan323 r xyo三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用0 x0cdx)x(c)x(c 1。已知生產(chǎn)某產(chǎn)品固定成本為。已知生產(chǎn)某產(chǎn)品固定成本為 ,邊際成本為邊際成本為 x為產(chǎn)量，則總成本函數(shù)為為產(chǎn)量，則總成本函數(shù)為)x(c 0c2。已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為。已知銷售某產(chǎn)品的邊際收益為 ，x為銷售量，為銷售量，則總收益函數(shù)為則總收益函數(shù)為)x(r x0dx)x(r)x(r3。已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量。已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量q的變化率為的變化率為 ，則

11、，則（1）總產(chǎn)量函數(shù)為）總產(chǎn)量函數(shù)為（2）從）從 的總產(chǎn)量的總產(chǎn)量) t (q 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)到到21tt t0dt) t (q)x(q 21ttdt) t (q)x(q4.已知設(shè)利潤(rùn)函數(shù)的變化率為已知設(shè)利潤(rùn)函數(shù)的變化率為 ，則，則（1）總利潤(rùn)函數(shù)為）總利潤(rùn)函數(shù)為（2）從）從 的利潤(rùn)增量為的利潤(rùn)增量為)x(l 時(shí)時(shí)變到變到產(chǎn)量產(chǎn)量21xx0 x0cdx)x(l)x(l 21xxdx)x(l)x(l?18)(),/(26)(,2000 23232為為多多少少最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)產(chǎn)產(chǎn)方方可可獲獲最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)試試確確定定該該礦礦何何時(shí)時(shí)停停止止生生增增加加收收益益為為年年百百萬(wàn)萬(wàn)元元的的追追加加成成本本為為在在時(shí)時(shí)刻刻萬(wàn)萬(wàn)建建成成某某煤煤礦礦投投資資例例ttrttct 試試確確定定廠廠商商的的最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)萬(wàn)萬(wàn)元元設(shè)設(shè)固固定定成成本本為為例例,430)(,260)(,2 1qqcq-qr