高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.1 二項(xiàng)式定理課堂導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修23

1、1.3.1 二項(xiàng)式定理課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)【例1】已知（）n展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值依次成等差數(shù)列.（1）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（2）求展開式中所有有理項(xiàng).解析：依題意，前三項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值是1，·,·（）2,且·=1+,所以n2-9n+8=0,所以n=8（n=1舍）.tr+1=（）8-r（）r=（-1）r.（1）若tr+1為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，即3r=16.因?yàn)閞n，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng).（2）若tr+1為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)=4為整數(shù).因?yàn)?r8,rn，所以r為4的倍數(shù)，所以r=0、4、8.則有理項(xiàng)為t1=x4,t5=x,t9=

2、x-2.溫馨提示 對(duì)二項(xiàng)展開式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)認(rèn)識(shí)的深刻和熟練，是解決類似問題的關(guān)鍵.二、利用二項(xiàng)式定理求系數(shù)的和【例2】已知（+3x2）n展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解：令x=1得各項(xiàng)系數(shù)的和為（1+3）n=4n，而各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為+=2n.由已知4n=2n+992,2n=32（2n=-31舍），n=5,設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)最大，則即r.又rn,r=4.系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng).t5=（）·（3x2）4=.溫馨提示 （1）賦值法是解決二項(xiàng)展開式有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）“和”問題的一般方法. （2）要注意系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.三、二項(xiàng)式定理的

3、綜合應(yīng)用【例3】（1）9192除以100的余數(shù)是幾？（2）求證：32n+2-8n-9（nn*）能被64整除.（1）解析：9192=（90+1）92=·9092+·9091+ ·902+·90+1,由于前面各項(xiàng)均能被100整除，只有末尾兩端不能被100整除，由于·90+1=8 281=8 200+81.被100除余81.（2）證明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1-8n-9=（8n+1+8n+8n-1+·8+1）-8n-9=8n+1+·8n+·8n-1+·82,而上式各項(xiàng)均為64的

4、倍數(shù)，32n+2-8n-9（nn*）能被64整除.溫馨提示 用二項(xiàng)式定理證明整除問題時(shí)，首先須注意（a±b）n中，a、b中有一個(gè)必須是除數(shù)的倍數(shù)，其次，展開式的規(guī)律必須清楚余項(xiàng)是什么，必須寫出余項(xiàng)，同理可處理系數(shù)的問題.各個(gè)擊破類題演練 1求（x+-1）5展開式中的常數(shù)項(xiàng).解析：由于本題只是5次展開式，可以直接展開（x+）-15,即（x+）-15=（x+）5-5（x+）4+10（x+）3-10（x+）2+5（x+）-1.由x+的對(duì)稱性，只有在（x+）的偶次冪中，其展開式才會(huì)出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，且是各自的中間項(xiàng)，所以，其常數(shù)項(xiàng)為-5-10-1=-51.變式提升 1若（2x+）4=a0+a1x+

5、a2x2+a3x3+a4x4,則（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2的值是（ ）a.1 b.-1 c.0 d.2解析：（2x+）4=（）4+（2x）1·（）3+（2x）2·（）2+·（2x）3·+（2x）4，a0=c04（）4=9，a1=·21·（）3=24,a2=·22·（）2=72,a3=·23·=32，a4=·24=16.（a0+a2+a4）2-（a1+a3）2=972-（56）2=9 409-9 408=1.答案：a類題演練 2（1）若（2x+）3=a0+a1x+a2x2+

6、a3x3,則（a0+a2）2-（a1+a3）2的值為（ ）a.-1 b.1 c.0 d.2（2）（2x+）3的展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為_.解析：（1）令x=1,則（2+）3=a0+a1+a2+a3,令x=-1,則（-2+3）3=a0-a1+a2-a3,相乘得（a0+a2）2-（a1+a3）2=（a0+a2）+（a1+a3）（a0+a2）-（a1+a3）=（2+）3（-2+）3=（-1）3=-1,選a.（2）各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為+=23=8.答案：（1）a （2）8變式提升 2+2+29等于（ ）a.3×210 b.310 c.（39-1） d.（3 10-1）解析：觀察結(jié)構(gòu)與二項(xiàng)

7、展開式結(jié)構(gòu)作比較，發(fā)現(xiàn)2（+2+22+29）=21·19+22·18+210=（2+1）10-1=310-1.所以原式=（310-1）,選d.答案：d類題演練 3求證：對(duì)任何自然數(shù)n,33n-26n-1可被676整除.證明：當(dāng)n=0時(shí)，原式=0,可被676整除；當(dāng)n=1時(shí)，原式=0，也可被676整除.當(dāng)n2時(shí)，原式=27n-26n-1=（26+1）n-26n-1=（26n+·26n-1+·262+·26+1）-26n-1=26n+·26n-1+·262.每一項(xiàng)都含262這個(gè)因數(shù)，故可被262=676整除，綜上所述，對(duì)一切自然

8、數(shù)n，33n-26n-1可被676整除.變式提升 3（1）設(shè)（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50=a0+a1x+a2x2+a3x3+a50x50,則a3為（ ）a. b. c. d.（2）（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是（ ）a.-297 b.-252 c.297 d.207解析：（1）（1+x）3+（1+x）4+（1+x）50=,x3的系數(shù)a3,即為（1+x）51展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為,選b.（2）（1-x3）（1+x）10=（1+x）10-x3（1+x）10,x5的系數(shù)為-=207,選d.答案：（1）b （2）d6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f375