2022年初三數(shù)學一輪復習知識點串講專題17 三角形基礎

1、內裝訂線學校:_姓名：_班級：_考號：_外裝訂線2022年初三數(shù)學一輪復習知識點串講專題17 三角形基礎專題17 三角形的基礎【知識要點】知識點一 三角形的概念三角形的概念 ：由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形特性（1）三角形有三條線段（2）三條線段不在同一直線上 三角形是封閉圖形（3）首尾順次相接三角形用符號“”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”。三角形按邊分類  ：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角

2、。等邊三角形：底邊與腰相等的等腰三角形叫做等邊三角形，即三邊都相等。三角形三邊的關系（重點） （1）三角形的任意兩邊之和大于第三邊。 三角形的任意兩邊之差小于第三邊。（這兩個條件滿足其中一個即可） 用數(shù)學表達式表達就是：記三角形三邊長分別是a，b，c，則abc或cba。（2） 已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|ab|cab 三角形的分類：三角形按邊的關系分類如下： 不等邊三角形三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形 等邊三角形三角形按角的關系分類如下： 直角三角形（有一個角為直角的三角形）三角形 銳角三角形（三個角都

3、是銳角的三角形）鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）三角形的穩(wěn)定性Ø 三角形具有穩(wěn)定性 Ø 四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性 要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了。知識點二 與三角形有關的線段三角形的高概念：從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）。三角形的中線概念：在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線。性質：三角形三條中線的交于一點，這一點叫做“三角形的重心”。三角形的中線可以將三角形分為面積相等的兩個小三角形。三角形的角平分線概念：三角形的一個角

4、的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線。注意：三角形的角平分線是一條線段，角的平分線是一條射線。知識點三 與三角形有關的角三角形的內角和定理：三角形三個內角和等于180°。推論：直角三角形的兩個銳角互余。三角形的一個外角等于和它不相鄰的來兩個內角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。備注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。等角的補角相等，等角的余角相等。三角形的外角和定理：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角性質：1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和。 2.三角形的

5、一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角?！究疾轭}型】考查題型一 三角形的分類【解題思路】三角形的分類的靈活應用典例1（2020·河北保定市·九年級一模）如圖，一個三角形只剩下一個角，這個三角形為()A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上都有可能【答案】B【提示】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形有一個角是直角的三角形是直角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個角都是銳角的三角形是銳角三角形【詳解】從題中可知，只能看到一個角是鈍角所以這個三角形為鈍角三角形故選：B變式1-1（2020·山西模擬）若的三個內角，滿足關系式，則此三角形

6、（ ）A一定是直角三角形B一定是鈍角三角形C一定有一個內角為45°D一定有一個內角為60°【答案】D【提示】本題可利用三角形內角和公式求出的度數(shù)，繼而可利用舉反例進行排除求解本題【詳解】因為三角形內角和為180°，故180°，所以=60°，故D選項正確假設ABC為等邊三角形，此時符合題干要求，故可用此特例排除A，B，C選項故選：D考查題型二 三角形穩(wěn)定性在實際生活中的應用【解題思路】考查三角形的穩(wěn)定性，需理解穩(wěn)定性在實際生活中的應用；首先，明確能體現(xiàn)出三角形的穩(wěn)定性，則說明物體中必然存在三角形；典例2.如圖，窗戶打開后，用窗鉤可將其固定，其所運

7、用的幾何原理是（ ）A三角形的穩(wěn)定性B垂線段最短C兩點確定一條直線D兩點之間，線段最短【答案】A【提示】根據(jù)點A、B、O組成一個三角形，利用三角形的穩(wěn)定性解答【詳解】解：一扇窗戶打開后，用窗鉤將其固定，正好形成三角形的形狀，所以，主要運用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性故答案選A.變式2-1（2020·河北唐山市二模）如圖一個五邊形木架，要保證它不變形，至少要再釘上幾根木條（）A4B3C2D1【答案】C【提示】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，釘上木條后把五邊形分成三角形即可【詳解】如圖，要保證它不變形，至少還要再釘上2根木條故選C變式2-2下列圖形中，不是運用三角形的穩(wěn)定性的是()ABCD【答案】C

8、【解析】詳解：對于A、B、D選項，都含有三角形，故利用了三角形的穩(wěn)定性；而C選項中，拉閘門是用到了四邊形的不穩(wěn)定性.故選C.考查題型三 構成三角形三邊的條件【解題思路】查三角形的三邊范圍計算,關鍵牢記三邊關系典例3（2020·江蘇徐州市·中考真題）三角形的兩邊長分別為和，則第三邊長可能為（ ）ABCD【答案】C【提示】根據(jù)三角形的三邊關系判斷即可.【詳解】6-3=3第三邊長6+3=9,只有6cm滿足題意,故選C.變式3-1（2020·貴州黔東南苗族侗族自治州·中考真題）若菱形ABCD的一條對角線長為8，邊CD的長是方程x210x+240的一個根，則該菱形

9、ABCD的周長為（）A16B24C16或24D48【答案】B【提示】解方程得出x4或x6，分兩種情況：當ABAD4時，4+48，不能構成三角形；當ABAD6時，6+68，即可得出菱形ABCD的周長【詳解】解：如圖所示：四邊形ABCD是菱形，ABBCCDAD，x210x+240，因式分解得：（x4）（x6）0，解得：x4或x6，分兩種情況：當ABAD4時，4+48，不能構成三角形；當ABAD6時，6+68，菱形ABCD的周長4AB24故選：B變式3-2（2020·寧夏中考真題）現(xiàn)有4條線段，長度依次是2、4、6、7，從中任選三條，能組成三角形的概率是（ ）ABCD【答案】B【提示】從四

10、條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率【詳解】解：從長度分別為2、4、6、7的四條線段中任選三條有如下4種情況：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7； 其中能構成三角形的有2、6、7；4、6、7這兩種情況，所以能構成三角形的概率是，故選：B變式3-3（2020·貴州畢節(jié)市·中考真題）已知等腰三角形有兩條邊的長分別是3,7,則這個等腰三角形的周長為()A17B13C17或13D10【答案】A【提示】分3是腰長與底邊兩種情況討論求解【詳解】解：3是腰長時，三角形的三邊分別為7、3、3，3+3=67，不能組成三角形；3是底邊長

11、時，三角形的三邊分別為7、7、3，能組成三角形，周長=7+7+3=17，綜上所述，這個等腰三角形的周長是17，故選A變式3-4（2020·浙江紹興市·中考真題）長度分別為2，3，3，4的四根細木棒首尾相連，圍成一個三角形（木棒允許連接，但不允許折斷），得到的三角形的最長邊長為（）A4B5C6D7【答案】B【提示】利用三角形的三邊關系列舉出所圍成三角形的不同情況，通過比較得到結論.【詳解】長度分別為5、3、4，能構成三角形，且最長邊為5；長度分別為2、6、4，不能構成三角形；長度分別為2、7、3，不能構成三角形；長度分別為6、3、3，不能構成三角形；綜上所述，得到三角形的最長

12、邊長為5故選：B.考查題型四 確定三角形第三邊的取值范圍【解題思路】查三角形的三邊范圍計算,關鍵牢記三邊關系典例4（2020·湖南益陽市·中考真題）如圖，的對角線，交于點，若，則的長可能是（ ）ABCD【答案】D【提示】先根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到OA、OB的長度，再根據(jù)三角形三邊關系得到AB的取值范圍，即可求解【詳解】解：四邊形ABCD是平行四邊形，OA=AC=3，BO=BD=4，在AOB中，4-3<AB<4+31<AB<7，結合選項可得，AB的長度可能是6，故答案為：D變式4-1（2020·山東濟寧市·中考真題）已知三

13、角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是_(寫出一個即可)，【答案】4（答案不唯一，在3x9之內皆可）【提示】根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于三邊”，求得第三邊的取值范圍，即可得出結果【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系，得：第三邊應大于6-3=3，而小于6+3=9，故第三邊的長度3x9故答案為：4（答案不唯一，在3x9之內皆可）考查題型五 與三角形高有關的相關計算問題典例5（2020·北京海淀區(qū)·九年級二模）如圖，在中，通過測量，并計算的面積，所得面積與下列數(shù)值最接近的是（ ）ABCD【答案】D【提示】作出AB邊上的高，測量出長度，

14、依據(jù)三角形面積公式計算即可得到結果.【詳解】如圖，過點C作CDAB，垂足為點D，則CD為AB邊上的高，經過測量，CD2cm所以， 故選：D.變式5-1（2019·江蘇徐州市一模）如圖，在中，過點C作于點D，已知，則的長是（ ）A5BC6D【答案】B【提示】先根據(jù)勾股定理求出BC的長度，然后利用等面積法即可求出CD的長度【詳解】解：在中，故選：B變式5-2（2019·陜西渭南市·中考模擬）如圖，在ABC中，AB2，BC4，ABC的高AD與CE的比為( )A1：2B2：1C1：4D4：1【答案】A【提示】利用ABC的面積公式列出方程求解即可【詳解】SABCABCEBC

15、AD，AB2，BC4，×2CE×4AD，.故選A考查題型六 與三角形中線有關的相關計算問題典例6（2020·福建中考真題）如圖，面積為1的等邊三角形中，分別是，的中點，則的面積是（ ）A1BCD【答案】D【提示】根據(jù)題意可以判斷四個小三角形是全等三角形,即可判斷一個的面積是【詳解】分別是，的中點,且ABC是等邊三角形,ADFDBEFECDFE,DEF的面積是故選D變式6-1如圖，AD是的中線，已知的周長為25cm，AB比AC長6cm，則的周長為(    )A19cmB22cmC25cmD31cm【答案】A【解析】AD是BC邊

16、上的中線，BD=CD，ABD和ACD周長的差=（AB+BD+AD）（AC+AD+CD）=ABAC，ABD的周長為25cm，AB比AC長6cm，ACD周長為：256=19cm故選A變式6-2如圖，小明在以為頂角的等腰三角形中用圓規(guī)和直尺作圖，作出過點的射線交于點，然后又作出一條直線與交于點，連接，若的面積為4，則的面積為( )A1B2C3D4【答案】A【提示】由圖提示可得到AD為BAC的角平分線，E點為AB的中點，因為ABC為等腰三角形，所以AD為BC邊上的中線，然后利用中線與面積的關系即可求解.【詳解】由圖提示可得到AD為BAC的角平分線，E點為AB的中點ABC為等腰三角形AD為BC邊上的中線

17、SABD=SABC=2又在ABD中，E為AB中點，即可得到ED為AB邊的中線SBED= SABD=1故選A考查題型七 與三角形重心有關的計算【解題思路】重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1典例7（2020·山東煙臺市·中考真題）如圖，點G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF，若AB4.4，AC3.4，BC3.6，則EF的長度為（ ）A1.7B1.8C2.2D2.4【答案】A【提示】由已知條件得EF是三角形的中位線，進而根據(jù)三角形中位線定理求得EF的長度【詳解】解：點G為ABC的重心，AEBE，BFCF，EF1.7，故選：A變式7-

18、1（2020·山東淄博市·中考真題）如圖，在ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且ADBE，垂足為點F，設BCa，ACb，ABc，則下列關系式中成立的是（ ）Aa2+b25c2Ba2+b24c2Ca2+b23c2Da2+b22c2【答案】A【詳解】設EFx，DFy，根據(jù)三角形重心的性質得AF2y，BF2EF2x，利用勾股定理得到4x2+4y2c2，4x2+y2b2，x2+4y2a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關系【解答】解：設EFx，DFy，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，點F為ABC的重心，AFACb，BDa，AF2DF2y，BF2EF

19、2x，ADBE，AFBAFEBFD90°，在RtAFB中，4x2+4y2c2，在RtAEF中，4x2+y2b2，在RtBFD中，x2+4y2a2，+得5x2+5y2（a2+b2），4x2+4y2（a2+b2），得c2（a2+b2）0，即a2+b25c2故選：A考查題型八 與三角形內角和定理的有關的計算【解題思路】掌握三角形的內角和定理是解題關鍵典例8（2020·四川廣安市·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則l+2的度數(shù)為（）A210°B110°C150°D100

20、6;【答案】A【提示】根據(jù)三角形的內角和定理可得AMNANM=150°，根據(jù)平角的定義可得1AMN=180°，2ANM=180°，從而求出結論【詳解】解：A=30°，AMNANM=180°A=150°1AMN=180°，2ANM=180°12=180°180°（AMNANM）=210°故選A變式8-1（2020·四川中考真題）如圖所示，直線EFGH，射線AC分別交直線EF、GH于點B和點C，ADEF于點D，如果A20°，則ACG（）A160°B110

21、76;C100°D70°【答案】B【提示】利用三角形的內角和定理，由ADEF，A20°可得ABD70°，由平行線的性質定理可得ACH，易得ACG【詳解】解：ADEF，A20°，ABD180°AABD180°20°90°70°，EFGH，ACHABD70°，ACG180°ACH180°70°110°，故選：B變式8-2（2020·遼寧葫蘆島市·中考真題）一個零件的形狀如圖所示，則的度數(shù)是（ ）A70°B80°

22、C90°D100°【答案】B【提示】延長DE與BC交于點F，則四邊形ABFD是平行四邊形，則A=F，利用三角形內角和定理，即可求出答案【詳解】解：延長DE與BC交于點F，如圖：，四邊形ABFD是平行四邊形，A=F，在BDF中，A=80°；故選：B變式8-3（2020·遼寧錦州市·中考真題）如圖，在中，平分，則的度數(shù)是（ ）ABCD【答案】C【提示】在中，利用三角形內角和為求，再利用平分，求出的度數(shù)，再在利用三角形內角和定理即可求出的度數(shù)【詳解】在中，平分故選C考查題型九 利用直角三角形兩個銳角互余進行相關計算典例9（2020·山東淄博市·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，CDAB，ACBC，若B50°，則DCA等于（ ）A30°B35°C40°D45°【答案】C【詳解】由ACBC可得ACB90°，又B50°，根據(jù)直角三角形兩個銳角互余可得CAB40°，再根據(jù)平行線的性質可得DCACAB40°【解答】解：ACBC，ACB90°，又B50°，CAB90°B40°，CDAB，DCACAB40°故選：C變式9-1（2020·寧夏中考真題）如圖擺放的一副學生用直