選修2121橢圓方程課件

1、1.1.回顧：我們是如何定義圓的呢？回顧：我們是如何定義圓的呢？ 圓就是平面內(nèi)到圓就是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)一個(gè)定點(diǎn)的距離的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡等于定長的點(diǎn)的軌跡平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離之和等兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？的點(diǎn)的軌跡是什么？橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 實(shí)實(shí) 驗(yàn)驗(yàn)同學(xué)們一起觀察以下操作：同學(xué)們一起觀察以下操作： 在圖板上，將一根無彈性的長為在圖板上，將一根無彈性的長為2a的細(xì)繩的細(xì)繩的兩端（兩端點(diǎn)距離為的兩端（兩端點(diǎn)距離為2c）用圖釘固定在不）用圖釘固定在不同處，套上鉛筆，使筆尖沿細(xì)繩運(yùn)動(dòng)，能得同處，套上鉛筆，使筆尖沿細(xì)繩運(yùn)動(dòng)，能得到什么圖形？到

2、什么圖形？繩長12ff12ff繩長反反 思思n（1）在畫出一個(gè)橢圓的過程中，細(xì)繩的兩在畫出一個(gè)橢圓的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？n（2）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？了沒有？說明了什么？n（3）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？歸納：歸納：橢圓的定義：橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)f1、f2的距離之和等于常數(shù)的距離之和等于常數(shù)（大于（大于|f1f2|）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓. 定點(diǎn)定點(diǎn)f1、f2叫

3、做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距叫做橢圓的焦距. 探究：探究：|mf1|+ |mf2|f1f2| 橢圓橢圓|mf1|+ |mf2|=|f1f2| 線段線段|mf1|+ |mf2|f1f2| 不存在不存在由上可知，只有當(dāng)滿足由上可知，只有當(dāng)滿足2a 時(shí)，時(shí)，得到的點(diǎn)的軌跡才是橢圓，所以在橢得到的點(diǎn)的軌跡才是橢圓，所以在橢圓的定義中要注意這個(gè)條件。圓的定義中要注意這個(gè)條件。21ff一、橢圓的定義一、橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點(diǎn)平面內(nèi)到兩定點(diǎn) 的距離的和等的距離的和等于常數(shù)于常數(shù)2a(2a ) 的點(diǎn)的軌跡叫的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓做橢圓.21ff21ff、其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做

4、其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距.文字語言文字語言f1f2m21mfmf =2a(2a )21ff數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)語言下面來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程下面來求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.怎樣建立平面直角坐標(biāo)系呢？怎樣建立平面直角坐標(biāo)系呢？ 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案oxyoxyoxymf1f2方案一方案一f1f2方案二方案二oxymoxy2 2原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運(yùn)算簡單； ( (一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對(duì)稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標(biāo)軸直

5、線作為坐標(biāo)軸.).)(對(duì)稱、對(duì)稱、“簡潔簡潔”)1f2fxyo),(yxm 取過焦點(diǎn)取過焦點(diǎn)f1、f2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段f1f2的的垂直平分線為垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系軸，建立直角坐標(biāo)系,如圖所示。如圖所示。 設(shè)設(shè)m(x,y)是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為是橢圓上任一點(diǎn)，橢圓的焦距為2c(c0)，m與與f1、f2的距離的和等于正常數(shù)的距離的和等于正常數(shù)2a(2a2c)，則，則f1(-c,0)、f2(c,0)。由定義知：由定義知：amfmf221()()222221 ycxmfycxmf-()()aycxycx22222-將方程移項(xiàng)后平方得：將方程移項(xiàng)后平方得：()()()

6、222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-兩邊再平方得：兩邊再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-課本課本p39頁推導(dǎo)過程頁推導(dǎo)過程()()22222222caayaxca-由橢圓定義知：由橢圓定義知：0,2222-cacaca即(): 0 222得設(shè)-bbca222222bayaxb兩邊同除以兩邊同除以 得：得：22ba這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在它所表示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上. 如果橢圓的焦點(diǎn)在如果橢圓的焦點(diǎn)在y軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，用類似的軸

7、上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，用類似的方法，可得出它的方程為：方法，可得出它的方程為：它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。1f2fxyo),(yxm22221(0)xyabab22221(0)yxabab二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程) 0(12222babyaxyx0m2f1f1橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸軸方程特點(diǎn)方程特點(diǎn)2焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是 （c，0）、（c，0）1f2f3222bac-)0(12222babxayyxm1f2f01橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在y軸軸方程特點(diǎn)方程特點(diǎn)2焦點(diǎn)是焦點(diǎn)是 （0，c）、（0，c）1f2f3222bac-給了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程后，如何來判斷它給了一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程后，如

8、何來判斷它的焦點(diǎn)落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上呢？的焦點(diǎn)落在哪個(gè)坐標(biāo)軸上呢？) 0(12222babyax)0(12222babxay哪個(gè)軸的分母大焦點(diǎn)就落在那個(gè)軸上哪個(gè)軸的分母大焦點(diǎn)就落在那個(gè)軸上注意：注意：（1）、在兩種方程中，總有）、在兩種方程中，總有0 ba（2）、）、 有關(guān)系式：有關(guān)系式：cba,最大即acbabac , 222222-（4）、）、 在在 的分母下，焦點(diǎn)在的分母下，焦點(diǎn)在x軸上；軸上； 在在 的分母下，焦點(diǎn)在的分母下，焦點(diǎn)在y軸上。軸上。2a2y2a（3）、結(jié)構(gòu)特征：左邊是和，右邊是）、結(jié)構(gòu)特征：左邊是和，右邊是12x()0 12222babyax ()0 12222babxay圖

9、圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)定定 義義12yoffmx1ofyx2fm注注: :共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.11625)2(22yx11)3(2

10、222mymx11616)1(22yx0225259)4(22-yx123)5(22-yx11624)6(22-kykx練習(xí)練習(xí)1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?1162522yx116914422yx112222mymx判定下列橢圓的焦點(diǎn)在判定下列橢圓的焦點(diǎn)在 軸，并指明軸，并指明a、b，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在答：在 x 軸。（軸。（-3，0）和（和（3，0）答：在答：在 y 軸。（軸。（0，-5）和（和（0，5）答：在答：在y 軸。（軸。（0，-1）和（和（0，

11、1）小結(jié)（一）小結(jié)（一）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種？方程都有什么特點(diǎn)？方程都有什么特點(diǎn)？如何判斷標(biāo)準(zhǔn)方程的如何判斷標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上？焦點(diǎn)落在哪個(gè)軸上？例例1橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點(diǎn)），橢圓上一點(diǎn)p到兩焦點(diǎn)距離之和等于到兩焦點(diǎn)距離之和等于10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 12yoffmx.解：解： 橢圓的焦點(diǎn)在橢圓的焦點(diǎn)在x軸上軸上設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ) 0( 12222b

12、abyax192522yx求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,定義法例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個(gè)個(gè)焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點(diǎn)點(diǎn)（， - -），求求它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因?yàn)闉闄E橢圓圓的的焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上，所所以以設(shè)設(shè)它它的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 2

13、2 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因?yàn)闉閏 c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程為為xyxy+=1.+=1.1061062222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足

14、什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo). .2 22 2x xy y解解 ： 若若+ += = 1 1表表 示示 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 在在 x x軸軸 上上 的的 橢橢 圓圓 ， 則則mmn nmm n n 0 0, , 且且 c c = =mm - - n n , ,所所 以以 ， 焦焦 點(diǎn)點(diǎn) 坐坐 標(biāo)標(biāo) 為為 ( (mm - - n n , ,0 0) ), ,( (- -mm - - n n , ,0 0) ). .2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪哪個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢

15、橢圓圓，mm, ,n n應(yīng)應(yīng)滿滿足足什什么么條條件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn,n,當(dāng)當(dāng)mn0mn0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當(dāng)當(dāng)nm0nm0，表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦點(diǎn)點(diǎn)在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，mnmn 則則 nm0, nm0,且且c =n-m,c =n-m, 所所以以，焦焦點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xy

16、xy(2)(2)若若+=1+=1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn2222分分析析：點(diǎn)點(diǎn)p p在在圓圓x +y =4x +y =4上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng), ,點(diǎn)點(diǎn)p p的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)引引起起點(diǎn)點(diǎn)mm的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng). .我我們們可可以以由由mm為為線線段段pdpd的的中中點(diǎn)點(diǎn)得得到到點(diǎn)點(diǎn)mm與與點(diǎn)點(diǎn)p p坐坐標(biāo)標(biāo)之之間間的的關(guān)關(guān)系系式式, ,并并由由點(diǎn)點(diǎn)p p的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點(diǎn)點(diǎn)mm的的坐坐標(biāo)標(biāo)所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +y y = =4 4上上任任取取一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)p p，過過點(diǎn)點(diǎn)p p作作x

17、x軸軸的的垂垂線線p pd d，d d為為垂垂足足. .當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)p p在在圓圓上上運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，線線段段p pd d的的中中點(diǎn)點(diǎn)m m的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x, ,y y) ), ,點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo)為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因?yàn)闉辄c(diǎn)點(diǎn)( (x x , ,y y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x

18、x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點(diǎn)點(diǎn)的的是是軌軌跡跡一一個(gè)個(gè)橢橢圓圓. .代入法小結(jié)小結(jié)(二二)本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)：本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)：橢圓的定義橢圓的定義推導(dǎo)出橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出橢圓的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程()0 12222babyax12yoffmxy xof2f1m()0 12222babxay定定 義義圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)f(f(c c，0)0)f(0f(0，c)c)a,b,c之間之

19、間的關(guān)系的關(guān)系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法： 一定定焦點(diǎn)位置；二設(shè)設(shè)橢圓方程；三求求a、b的值.再見！再見！練習(xí)練習(xí)2.2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為f1(0,3)，f2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上；軸上；6(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)分別是f1(2,0)、f2(2,0),且過且過p(2,3)點(diǎn)；點(diǎn)； (4)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)p(2,0)和和q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定量：求定量：求a, b的值的值.練習(xí)練習(xí)3. 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請(qǐng)，請(qǐng)?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若c為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，f1、f2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 并且并且cf1=2,則則cf2=_. 1162522yx變式：變式： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1