選修2121橢圓方程課件

1、1.1.回顧：我們是如何定義圓的呢？回顧：我們是如何定義圓的呢？ 圓就是平面內(nèi)到圓就是平面內(nèi)到一個定點一個定點的距離的距離等于定長的點的軌跡等于定長的點的軌跡平面內(nèi)到平面內(nèi)到兩定點的距離之和等兩定點的距離之和等于常數(shù)于常數(shù)的點的軌跡是什么？的點的軌跡是什么？橢圓及其標準方程橢圓及其標準方程數(shù)數(shù) 學學 實實 驗驗同學們一起觀察以下操作：同學們一起觀察以下操作： 在圖板上，將一根無彈性的長為在圖板上，將一根無彈性的長為2a的細繩的細繩的兩端（兩端點距離為的兩端（兩端點距離為2c）用圖釘固定在不）用圖釘固定在不同處，套上鉛筆，使筆尖沿細繩運動，能得同處，套上鉛筆，使筆尖沿細繩運動，能得到什么圖形？到

2、什么圖形？繩長12ff12ff繩長反反 思思n（1）在畫出一個橢圓的過程中，細繩的兩在畫出一個橢圓的過程中，細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？端的位置是固定的還是運動的？n（2）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變）在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？了沒有？說明了什么？n（3）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩）在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關系？定點距離大小有怎樣的關系？歸納：歸納：橢圓的定義：橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點f1、f2的距離之和等于常數(shù)的距離之和等于常數(shù)（大于（大于|f1f2|）的點的軌跡叫橢圓）的點的軌跡叫橢圓. 定點定點f1、f2叫

3、做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距叫做橢圓的焦距. 探究：探究：|mf1|+ |mf2|f1f2| 橢圓橢圓|mf1|+ |mf2|=|f1f2| 線段線段|mf1|+ |mf2|f1f2| 不存在不存在由上可知，只有當滿足由上可知，只有當滿足2a 時，時，得到的點的軌跡才是橢圓，所以在橢得到的點的軌跡才是橢圓，所以在橢圓的定義中要注意這個條件。圓的定義中要注意這個條件。21ff一、橢圓的定義一、橢圓的定義平面內(nèi)到兩定點平面內(nèi)到兩定點 的距離的和等的距離的和等于常數(shù)于常數(shù)2a(2a ) 的點的軌跡叫的點的軌跡叫做橢圓做橢圓.21ff21ff、其中這兩個定點叫做

4、其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做兩焦點的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距.文字語言文字語言f1f2m21mfmf =2a(2a )21ff數(shù)學語言數(shù)學語言下面來求橢圓的標準方程下面來求橢圓的標準方程.怎樣建立平面直角坐標系呢？怎樣建立平面直角坐標系呢？ 探討建立平面直角坐標系的方案探討建立平面直角坐標系的方案oxyoxyoxymf1f2方案一方案一f1f2方案二方案二oxymoxy2 2原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單；原則：盡可能使方程的形式簡單、運算簡單； ( (一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的一般利用對稱軸或已有的互相垂直的線段所在的直線作為坐標軸直

5、線作為坐標軸.).)(對稱、對稱、“簡潔簡潔”)1f2fxyo),(yxm 取過焦點取過焦點f1、f2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段f1f2的的垂直平分線為垂直平分線為y軸，建立直角坐標系軸，建立直角坐標系,如圖所示。如圖所示。 設設m(x,y)是橢圓上任一點，橢圓的焦距為是橢圓上任一點，橢圓的焦距為2c(c0)，m與與f1、f2的距離的和等于正常數(shù)的距離的和等于正常數(shù)2a(2a2c)，則，則f1(-c,0)、f2(c,0)。由定義知：由定義知：amfmf221()()222221 ycxmfycxmf-()()aycxycx22222-將方程移項后平方得：將方程移項后平方得：()()()

6、222222244ycxycxaaycx-()222ycxacxa-兩邊再平方得：兩邊再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa-()()22222222caayaxca-課本課本p39頁推導過程頁推導過程()()22222222caayaxca-由橢圓定義知：由橢圓定義知：0,2222-cacaca即(): 0 222得設-bbca222222bayaxb兩邊同除以兩邊同除以 得：得：22ba這個方程叫做橢圓的標準方程，這個方程叫做橢圓的標準方程，它所表示的橢圓的焦點在它所表示的橢圓的焦點在x軸上軸上. 如果橢圓的焦點在如果橢圓的焦點在y軸上且關于原點對稱，用類似的軸

7、上且關于原點對稱，用類似的方法，可得出它的方程為：方法，可得出它的方程為：它也是橢圓的標準方程。它也是橢圓的標準方程。1f2fxyo),(yxm22221(0)xyabab22221(0)yxabab二、橢圓的標準方程二、橢圓的標準方程) 0(12222babyaxyx0m2f1f1橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸軸方程特點方程特點2焦點是焦點是 （c，0）、（c，0）1f2f3222bac-)0(12222babxayyxm1f2f01橢圓的焦點在橢圓的焦點在y軸軸方程特點方程特點2焦點是焦點是 （0，c）、（0，c）1f2f3222bac-給了一個標準方程后，如何來判斷它給了一個標準方程后，如

8、何來判斷它的焦點落在哪個坐標軸上呢？的焦點落在哪個坐標軸上呢？) 0(12222babyax)0(12222babxay哪個軸的分母大焦點就落在那個軸上哪個軸的分母大焦點就落在那個軸上注意：注意：（1）、在兩種方程中，總有）、在兩種方程中，總有0 ba（2）、）、 有關系式：有關系式：cba,最大即acbabac , 222222-（4）、）、 在在 的分母下，焦點在的分母下，焦點在x軸上；軸上； 在在 的分母下，焦點在的分母下，焦點在y軸上。軸上。2a2y2a（3）、結構特征：左邊是和，右邊是）、結構特征：左邊是和，右邊是12x()0 12222babyax ()0 12222babxay圖

9、圖 形形方方 程程焦焦 點點f( (c，0)0)f(0(0，c) )a,b,c之間的關系之間的關系c2 2= =a2 2- -b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)定定 義義12yoffmx1ofyx2fm注注: :共同點：共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊是1.2x2y不同點：焦點在不同點：焦點在x軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大. 焦點在焦點在y軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大.11625)2(22yx11)3(2

10、222mymx11616)1(22yx0225259)4(22-yx123)5(22-yx11624)6(22-kykx練習練習1.下列方程哪些表示橢圓？下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點在何軸？則判定其焦點在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點坐標，寫出焦點坐標.?1162522yx116914422yx112222mymx判定下列橢圓的焦點在判定下列橢圓的焦點在 軸，并指明軸，并指明a、b，寫出焦點坐標寫出焦點坐標答：在答：在 x 軸。（軸。（-3，0）和（和（3，0）答：在答：在 y 軸。（軸。（0，-5）和（和（0，5）答：在答：在y 軸。（軸。（0，-1）和（和（0，

11、1）小結（一）小結（一）橢圓的標準方程有幾種？橢圓的標準方程有幾種？方程都有什么特點？方程都有什么特點？如何判斷標準方程的如何判斷標準方程的焦點落在哪個軸上？焦點落在哪個軸上？例例1橢圓的兩個焦點的坐標分別是（橢圓的兩個焦點的坐標分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點），橢圓上一點p到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 12yoffmx.解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為 ) 0( 12222b

12、abyax192522yx求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,定義法例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點點（， - -），求求它它的的標標準準方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因為為橢橢圓圓的的焦焦點點在在x x軸軸上上，所所以以設設它它的的標標準準方方程程為為x xy y+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 2

13、2 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因為為c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程為為xyxy+=1.+=1.1061062222xyxy例例3.3.若若+=1,+=1,表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足

14、什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點點坐坐標標. .2 22 2x xy y解解 ： 若若+ += = 1 1表表 示示 焦焦 點點 在在 x x軸軸 上上 的的 橢橢 圓圓 ， 則則mmn nmm n n 0 0, , 且且 c c = =mm - - n n , ,所所 以以 ， 焦焦 點點 坐坐 標標 為為 ( (mm - - n n , ,0 0) ), ,( (- -mm - - n n , ,0 0) ). .2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點點在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪哪個個坐坐標標軸軸上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢

15、橢圓圓，mm, ,n n應應滿滿足足什什么么條條件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn,n,當當mn0mn0，表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當當nm0nm0，表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2222xyxy解解：(1)(1)若若+=1+=1表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，mnmn 則則 nm0, nm0,且且c =n-m,c =n-m, 所所以以，焦焦點點坐坐標標為為(0, n-m),(0,- n-m).(0, n-m),(0,- n-m).2222xy

16、xy(2)(2)若若+=1+=1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn.n.mnmn2222分分析析：點點p p在在圓圓x +y =4x +y =4上上運運動動, ,點點p p的的運運動動引引起起點點mm的的運運動動. .我我們們可可以以由由mm為為線線段段pdpd的的中中點點得得到到點點mm與與點點p p坐坐標標之之間間的的關關系系式式, ,并并由由點點p p的的坐坐標標滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點點mm的的坐坐標標所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +y y = =4 4上上任任取取一一個個點點p p，過過點點p p作作x

17、x軸軸的的垂垂線線p pd d，d d為為垂垂足足. .當當點點p p在在圓圓上上運運動動時時，線線段段p pd d的的中中點點m m的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00 02 22 22 22 2解解 : : 設設點點的的坐坐標標為為( (x x, ,y y) ), ,點點的的坐坐標標為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因為為點點( (x x , ,y y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x

18、x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點點的的是是軌軌跡跡一一個個橢橢圓圓. .代入法小結小結(二二)本節(jié)課我們主要學習：本節(jié)課我們主要學習：橢圓的定義橢圓的定義推導出橢圓的兩個標準方程推導出橢圓的兩個標準方程()0 12222babyax12yoffmxy xof2f1m()0 12222babxay定定 義義圖圖 形形方方 程程焦焦 點點f(f(c c，0)0)f(0f(0，c)c)a,b,c之間之

19、間的關系的關系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|mf1|+|mf2|=2a (2a2c0)橢圓的標準方程橢圓的標準方程求法： 一定定焦點位置；二設設橢圓方程；三求求a、b的值.再見！再見！練習練習2.2.求適合下列條件的橢圓的標準方程：求適合下列條件的橢圓的標準方程：(2)焦點為焦點為f1(0,3)，f2(0,3),且且a=5；2212516yx2216xy(1)a= ,b=1,焦點在焦點在x x軸上；軸上；6(3)兩個焦點分別是兩個焦點分別是f1(2,0)、f2(2,0),且過且過p(2,3)點；點； (4)經(jīng)過點經(jīng)過點p(2,0)和和q(0,3).2211 61 2xy22xy+= 149小結：求橢圓標準方程的步驟：小結：求橢圓標準方程的步驟：定位：確定焦點所在的坐標軸；定位：確定焦點所在的坐標軸；定量：求定量：求a, b的值的值.練習練習3. 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請，請?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點坐標為，焦點坐標為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若c為橢圓上一點，為橢圓上一點，f1、f2分別為橢圓的左、右焦點，分別為橢圓的左、右焦點， 并且并且cf1=2,則則cf2=_. 1162522yx變式：變式： 若橢圓的方程為若橢圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1