非圓齒輪的結構設計

1、2橢圓齒輪的結構設計2.1橢圓的基本數(shù)學理論2.1.1橢圓定義橢圓定義：平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離之比為一個常數(shù)e (0<e<1)的動點M的軌跡稱為橢圓。其中，該定點稱為橢圓的焦點，定直線稱為該焦點對應的準線，e稱為橢圓的離心率。2.1.2橢圓的方程如圖2.1所示，以原點為圓心，分別以a、b（a>b>0）為半徑作兩個圓，點B 是大圓半徑OA 與小圓的交點，過點A 作ANOx，垂足為N，過點B作BMAN，垂足為M，求當半徑OA 繞O旋轉時點M 的軌跡的參數(shù)方程。圖2.1 橢圓形成示意圖解：設M點的坐標為（x,y），是以Ox為始邊，OA為終邊的正角，取為參數(shù)。那么

2、x=ON=OAcos，y =NM=OBsinx=acosy=bsin （2.1）以上（2.1）式即為橢圓的參數(shù)方程，其中稱為“離心角”對（1）式進行消參 xa=cosyb=sin x2a2+y2b2=1 （2.2）以上（2.2）式即為橢圓的標準方程。2.2齒輪的基本理論2.2.1齒輪傳動齒輪傳動是機械傳動中最重要的傳動之一，形式很多，應用廣泛，傳遞的功率可達數(shù)十萬千瓦，它的圓周速度和轉速分別可達300m/s，100000r/min。同摩擦輪傳動和帶輪傳動相比較，齒輪傳動齒輪傳動具有傳動功率大，效率高，壽命長及傳動平穩(wěn)等特點2。齒輪傳動特點：（1）效率高 在常用的機械傳動中，以齒輪傳動效率為最高

3、。例如一級圓柱齒輪的傳動效率可達99%。這對大功率傳動十分重要，因為即使效率提高1%，也有很大的經(jīng)濟意義。（2）機構緊湊 在同樣的使用條件下，齒輪傳動所需空間尺寸一般較小。（3）工作可靠、壽命長 設計制造正確合理、使用維護良好的齒輪傳動，工作十分可靠，壽命可長達一、二十年，這也是其他機械傳動所不能比擬的。（4）傳動比穩(wěn)定 傳動比穩(wěn)定往往是對傳動性能的基本要求。齒輪傳動獲得廣泛應用，也就是由于具有這個特點。2.2.2圓柱齒輪結構圓柱齒輪可分為直齒圓柱齒輪、斜齒圓柱齒輪、人字齒輪、曲線齒圓柱齒輪。其中直齒圓柱齒輪簡稱直齒輪，其輪齒排列與軸線平行；斜齒圓柱齒輪簡稱斜齒輪，其輪齒與軸線斜成一個角度，沿

4、軸線螺旋方向排列在圓柱體上；人字齒輪形如“人”字，相當于兩個全等但旋向相反的兩個斜齒輪拼接而成；曲線齒圓柱齒輪簡稱曲線齒輪，其輪齒沿軸向彎曲成弧面。2.2.3漸開線標準直齒圓柱齒輪的基本參數(shù)和幾何尺寸如圖2.2所示為一直齒外齒輪的一部分。圖2.2 齒輪各結構參數(shù)齒輪上每一個用于嚙合的凸起部分稱為輪齒。每個輪齒都具有兩個對稱分布的齒廓。一個齒輪的輪齒總數(shù)成為齒數(shù)，用z表示。齒輪上相鄰輪齒之間的空間稱為齒槽；過所有齒頂端的園稱為齒頂圓，其半徑和直徑分別用rn和dn表示；過所有齒槽底邊的園稱為齒根圓，其半徑和直徑分別用rt和dt表示。在任意半徑rk的圓周上，齒槽的弧線長和輪齒的弧線長分別稱為該圓上的

5、齒槽寬和齒厚，分別用ek和sk表示。沿該圓上相鄰兩齒的同側齒廓見到弧線長稱為該圓上的齒距，用pk表示，則有 pk=sk+ek （2.3）由于該圓的周長為pkz，同時又等于dk，所以得 dk=pkz=mkz （2.4）式（2.4）中的比值pk=mk稱為該圓上的模數(shù)。由上面的式子可知，一個齒輪的不同圓周上的齒距是不同的，所以模數(shù)也是不同的。由于式子（2.4）中包含無理數(shù)，使計算制造和測量等比較麻煩。為了便于確定齒輪的幾何尺寸，人民有意識地制訂一個簡單的有理數(shù)列，并在齒輪上選擇一個圓，取該圓的模數(shù)在這個有理數(shù)列之中，從而使其直徑為有理數(shù)。這種人為規(guī)定的模數(shù)稱為標準模數(shù)，單位為毫米（mm）。在齒輪上，

6、這個模數(shù)等于選定的標準模數(shù)的圓稱為分度圓其半徑和直徑分別用r和d表示。顯然，當齒輪的齒數(shù)和標準模數(shù)值選定后，其分度圓就確定了。此后即以此作為齒輪尺寸的基準。為方便起見，將分度圓上的模數(shù)、齒厚、齒槽寬和齒距簡稱為模數(shù)、齒厚、齒槽寬和齒距，分別用m、s、e和p表示。根據(jù)模數(shù)的定義及式子（2.3）、（2.4）顯然有 m=p （2.5） p=s+e=m （2.6） d=pz=mz （2.7）另一方面，齒輪在不同圓周上的壓力角是不同的，基圓上的壓力角為零，離基圓越遠的圓，半徑越大，該圓上的壓力角也越大。分度圓上的壓力角叫簡稱壓力角，用表示，且有 rb=rcos （2.8）式（2.8）表明，當齒輪的模數(shù)m

7、和齒數(shù)z一經(jīng)確定，分度圓的大小也就確定；但是壓力角的大小可以不同，基圓的大小也隨之不同，因此分度圓相同的齒輪，其齒形可能不同。這就使齒輪的設計、制造、測量和互換性有很多不便，為此，人民規(guī)定了分度圓上壓力角的標準值，稱為標準壓力角，我國規(guī)定的標準壓力角為20°。此外，為了提高齒輪的綜合強度而需要增大壓力角時，推薦采用25°.其他國家常用的壓力角除20°外，還有15°、14.5°等。設計齒輪時，一般取標準壓力角，若因特殊需要而選取其他值時，必須注明并特制加工刀具。分度圓和節(jié)圓又原則性的區(qū)別。分度圓是一個齒輪的機會參數(shù)，每個齒輪都有一個大小確定的分度

8、圓；而節(jié)圓則是表示一對齒輪嚙合特性的圓。對于單個齒輪而言，節(jié)圓無意義；當一對齒輪嚙合時，他們的節(jié)圓隨中心距的變化（可分性）而變化。因此節(jié)圓和分度圓可以重合，也可以把重合。另外，分度圓壓力角是一個大小確定的角，嚙合角可以與之相等，也可以不相等，但嚙合角與節(jié)圓壓力角則是始終相等的。分度圓吧齒輪分為兩部分，介于分度圓與齒頂圓之間的部分稱為頂圓，其徑向高度成為齒頂高，用ha表示；介于分度圓與齒根圓之間的部分稱為齒根，其徑向高度稱為齒根高，用hf表示；齒頂圓與齒根圓之間的徑向高度成為齒全高，用h表示，故有: h=ha+hf （2.9）2.2.4漸開線標準齒輪的幾何尺寸和基本參數(shù)的關系標準齒輪具有以下三個

9、特征：（1）模數(shù)m和壓力角取標準值。（2）具有標準的齒頂高和齒根高。其中標準齒頂高和齒根高表示為： ha=ha*m （2.10） hf=(ha*+c*)m （2.11）上式中，ha*和c*分別稱為齒頂高系數(shù)和頂隙系數(shù)。我國規(guī)定ha*和c*的標準值為:正常齒制：ha*=1 c*=0.25短齒制： ha*=0.8 c*=0.3顯然，當ha*和c*分別取標準值時，按照式（2.10）和（2.11）計算得到的齒頂高和齒根高為標準齒頂高和標準齒根高。 （3）分度圓上齒厚等于齒寬，即 s=e=p2=m2只有同時具備上述三個特征的齒輪才是標準齒輪，否則為非標齒輪。但是需要強調的是對于任何齒輪，式（2.5）（2

10、.11）都是適用的。因此標準外圓柱齒輪的齒頂圓直徑和齒根圓直徑分別為： da=d+2ha=m(z+2ha*)df=d-2hf=m(z-2ha*-2c*) （2.12）綜上所述，標準齒輪的幾何參數(shù)決定于模數(shù)m、壓力角、齒數(shù)z、齒頂高系數(shù)ha*和齒根高系數(shù)c*，故這五個參數(shù)為標準齒輪的基本參數(shù)。2.2.5圓的漸開線及其方程1、圓的漸開線的定義如圖2.3所示，當一直線n-n沿著一個圓的圓周作純滾動時，直線上任意一點K的軌跡AK稱為該圓的漸開線，簡稱漸開線，這個圓稱為基圓，其半徑用rb表示，直線n-n稱為漸開線的發(fā)生線，角k(-AOK)稱為漸開線段AK的展角。圖2.3 漸開線形成原理圖2、漸開線的性質

11、（1）因為發(fā)生線在基圓上作純滾動，所以發(fā)生線在基圓上滾過的一段長度等于基圓上被滾過的一段弧長，即。（2） 漸開線上任意一點的法線必須與其基圓相切。（3）發(fā)生線與基圓的切點N也是漸開線在點K的曲率中心，故NK是相應的曲率半徑。（4）基圓越小，漸開線越彎曲；基圓越大，漸開線越平直。（5）因為漸開線從基圓開始向外展開，故基圓以內(nèi)無漸開線。3、漸開線方程根據(jù)漸開線的形成原理可以得出它的方程式。如圖2.3所示，點A為漸開線在基圓上的起始點，K為漸開線上任意一點，其向徑用rK表示。若以此漸開線為齒輪的齒廓，當另一個齒輪的齒廓同它在點K嚙合時，該齒廓在點K所受的正壓力應該沿著齒廓在該點發(fā)線NK的方向。同時齒

12、輪繞點O轉動時，齒廓上點K速度的方向垂直于直線OK，即沿著直線mm。法線NK與mm之間所夾的銳角稱為齒廓在該點壓力角，記為k。根據(jù)漸開線的性質，由OKN中的關系可得 rk=rbcosk (2.13)又因為 tank=NKON=ANrb=rbk+krb=k+k即k=tank-k上式表明，展角k隨壓力角k變化而變化，故k又稱為角k的漸開線函數(shù)，工程上用invk表示k，即 k=invk=tank-k (2.14)為了方便計算，工程中已將不同壓力角的漸開線函數(shù)invk計算出來列成表格。綜上所述，聯(lián)立（2.13）、（2.14）兩式即得漸開線的極坐標參數(shù)方程式為rk=rbcoskk=invk=tank-k

13、 （2.15）2.3橢圓齒輪基本理論2.3.1非圓齒輪的節(jié)曲線1、基本概念節(jié)曲線是一對互相嚙合的齒輪在其嚙合過程中實現(xiàn)無滑動地滾動的共扼曲線。知道一個齒輪的節(jié)曲線后，便可根據(jù)共軛關系，求出另外一個共扼齒輪的節(jié)曲線齒輪的齒頂和齒根輪廓線是其節(jié)曲線的等距線（在法線方向上等距）。在切齒過程中，刀具節(jié)線沿齒輪節(jié)曲線作無滑動的滾動。主動和從動非圓齒輪轉角間的關系叫做位置函數(shù)3。用下式表示 2=F1 （2.16）其中下腳標1和2分別對應于主動輪和從動輪。傳動比一主動輪回轉角的函數(shù)形式確定的齒輪瞬時角速度比為 i21=21=d2dtd1dt=F'1 （2.17）位置函數(shù)和傳動比函數(shù)是非圓齒輪副的幾何

14、特性。非圓齒輪副中的主動齒輪，無論其運動規(guī)律在時間上怎樣改變，都不會影響位置函數(shù)和傳動比函數(shù)的特性。在定平面內(nèi)節(jié)曲線切點的軌跡叫復節(jié)曲線。實際上，復節(jié)曲線是齒輪副的瞬時回轉中心在定平面中的軌跡。2、節(jié)曲線的方程式節(jié)曲線的計算可以分為兩種情況：（1）按給定的傳動比函數(shù)i12=f1計算齒輪的節(jié)曲線。設齒輪副的中心距為a（圖2.4），主動輪1的轉角為1，瞬時角速度為1，從動輪2的轉角為2，瞬時角速度為2。在起始位置1=0，2=0。又設要求齒輪副傳遞的轉角函數(shù)關系為 2=F1 （2.18）則齒輪副的傳動比函數(shù)i12為 i12=12=d1dtd2dt=f1 （2.19） f1=1F'1 （2.2

15、0）圖2.4 外嚙合非圓齒輪副可以證明，兩齒輪在任一瞬時，總有一個相對運動速度等于零的點P，稱之為瞬時傳動節(jié)點(簡稱瞬心)。它位于聯(lián)心線O1O2上，且滿足條件1O1P=2O2P分別用r1、r2表示線段O1P、O2P，則瞬時傳動比又可以表示為： i12=12=r2r1=a-r1r1 （2.21）當瞬時傳動比i12是變數(shù)時，瞬心P的位置及r1、r2是變化的。瞬心在齒輪1、2回轉平面上的軌跡，稱為兩齒輪的瞬心線，也就是齒輪的節(jié)曲線。由式（2.21）可得主動輪1的節(jié)曲線方程為 r11=a1+i12=a1+f1 （2.22）得到從動輪2的節(jié)曲線方程為 r2=a-r11=ai121+i122=011i12

16、d1=011f1d1 （2.23）上面是以極坐標形式表示的外嚙合非圓齒輪副節(jié)曲線方程。按此式計算節(jié)曲線時，兩極角的計量方向與相應的回轉角速度方向相反(見圖2.4)。如果給定的條件是齒輪1的節(jié)曲線方程：r1=r11則傳動比函數(shù)為 i12=f1=a-r11r11 （2.24）從動輪2的節(jié)曲線方程為 r2=a-r112=011i12d1=01r11a-r11d1 （2.25）如果齒輪2是內(nèi)齒輪（圖2.5），則回轉角的方向相同。圖2.5內(nèi)嚙合非圓齒輪副用同樣的方法可以求得主、從動輪的節(jié)曲線方程r1=ai12-1=af1-1 （2.26）r2=a+r11=ai12i12-12=011i12d1=01r1

17、1a-r11d1 （2.27）(2)按要求再現(xiàn)的函數(shù)計算節(jié)曲線設要求非圓齒輪傳動再現(xiàn)某個函數(shù)y=fx，x在閉x1，x2內(nèi)連續(xù)可導?？闪钪鲃虞?的轉角1與自變量x成正比，從動輪2的轉角與f(x)成正比，即寫成1=k1x-x12=k2fx-fx1 （2.28）則傳動比為i12=d1d2=k1k2f'(x) （2.29）上面兩式中的k1、k2是比例常數(shù)，f'(x)是函數(shù)f(x)對x的一階導數(shù)。由式（2.22）、式（2.23）、式（2.28）及式（2.29），可以得到外嚙合主動、從動輪1和2的節(jié)曲線方程式分別為1=k1(x-x1)r1=ak2f'(x)k1+k2f'(x

18、) （2.30）2=k2fx-fx1r2=a-r1=ak1k1+k2f'(x) （2.31）設齒輪1的節(jié)曲線在P點的切線t的正方向(轉角1加大的方向)，與r1的正方向夾角用1表示(圖2.4)，則由節(jié)曲線方程r1=r11可知 tan1=r1dr1d1 （2.32）對于傳遞傳動比函數(shù)i12=f1的非圓齒輪副，（2.22）可得 tan1=-i12+1i12' （2.33）對于再現(xiàn)函數(shù)y=fx的非圓齒輪副，由式（2.30）可得 tan1=f'xk1+k2f'xf''x （2.34）同樣設計齒輪2的節(jié)曲線在P點的切線正方向(轉角2加大的方向)，與r2正方向

19、夾角用2表示，則由節(jié)曲線方程r2=r22可知 tan2=r2dr2d2 （2.35）由式（2.23）和式（2.31）均可得到tan1=-tan2，即1+2=180°這也證明了兩齒輪的曲線在P點有共同的切線。此外還可以證明兩節(jié)曲線在傳動過程中是作純滾動的，在同一時間內(nèi)，兩節(jié)曲線切點滾過的弧長相等。2.3.2橢圓齒輪副橢圓齒輪是非圓齒輪中最常用的一種。當用相同的橢圓齒輪傳動時，隨著橢圓偏心率的不同，可得到不同的傳動比變化曲線。以完成各種機構的變速傳動，或作為速度和加速度調節(jié)之用。圖2.6 橢圓齒輪副如圖2.6所示，齒輪1為橢圓齒輪，與其共軛的非圓齒輪為齒輪2。設齒輪1的基礎圓的半徑為R、

20、向徑r1、變形距為e(也可以稱為偏心量)，非圓齒輪2的向徑為r2，兩齒輪的中心距為2a。當非圓齒輪1轉過1角時，非圓齒輪2轉過2角。橢圓齒輪的節(jié)曲線方程式為： R1=a1-e21+ecos1 （2.36）式中1向徑的極角；a橢圓的長半軸；e橢圓的對稱中心到焦點的距離；b橢圓的短半軸R1+R2=2a即： R2=a1+2ecos1+e21+ecos1 （2.37）橢圓齒輪傳動比函數(shù)為：i12''=2ecos11-e2 （2.38）圖2.7 傳動角變化曲線由上式可知：當1=0°，360°時，傳動比有最大值，i21max=1+e1-e，當1=180°時，傳

21、動比有最小值，i2min=1-e1+e，傳動比隨主動輪傳動角1的變化規(guī)律如圖2.7所示。當主動輪1的角速度1為常數(shù)時，從動輪2的最大角速度2max與最小角速度2min之比為:1/3由此可見，橢圓齒輪的離心率e越大，值也越大，則傳動比的變化也劇烈。在一般的設計中，常取1/3，可使運動平滑無突跳。若主動齒輪以等角速度1回轉且1為已知時，則很容易求得從動輪的瞬時角速度： d2dt=11-e21+2ecos1+e2 （2.39）當1=0時，從動輪的瞬時角速度最小d2dtmin=1a-ca+c （2.40）當1=180°時，從動齒輪的瞬時角速度最大d2dtmax=1a+ca-c （2.41）最

22、大角速度和最小角速度交替出現(xiàn)，設K為最大和最小角速度之比，則： k=a+ca-c2 （2.42）通常取k5,就可保證構件運動平滑而無“跳動”。設計橢圓齒輪時，通常根據(jù)機器的結構特點選取中心距A2a,在滿足某一速比K時，則短半軸可由下式求出： b=2ak141+k12 （2.43）在大多數(shù)情況下，K值不超過4。這樣的橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不會太扁平，其周長近似于a+b。因此橢圓齒輪的齒數(shù)等于直徑為(a +b)的圓齒輪齒數(shù)： z=a+bm （2.44）式中m齒輪的模數(shù)一對共軛的橢圓齒輪中，每一個橢圓齒輪的齒數(shù)均為奇數(shù)。因此，計算出齒數(shù)后，應選取相近的奇數(shù)。同時要準確的計算橢圓節(jié)曲線的全場S，使其等于整

23、數(shù)倍齒距，即s=mz。2.4橢圓齒輪的結構設計2.4.1結構設計由包裝機原技術參數(shù)如下，每次包裝機刀輥需切削的透明紙長度為169.3mm，包裝速度為800包/min，即刀輥轉速n1=800r/min則透明紙輸送速度為 V輸送=169.3×800=135440mm/min產(chǎn)品正常工作時要求 V裁切V輸送原機型采用圓柱齒輪，則V裁切=Dn1135440 則D135440n1=53.89mm改裝型設備采用橢圓齒輪傳動，裁切時刀輥被加速到最大速度范圍，而且切刀被安裝在很小的斜面內(nèi)，可按最高速度計算 n1=800mm/min n2=imax×n1=1+1-×n1 =ca橢圓齒輪傳動的最大和最小角速度之比為K，且 K=a+ca-c2若選取不同的K值來分析他對刀輥上的切刀旋轉直徑的影響，即如表2.1所示4。表2.1 K值分析表KeD（mm）20.17157338.106130.26794931.113440.33333326.945050.38196624.100360.42020422.0005實踐證明，當K5時，橢圓齒輪節(jié)曲線形狀不太扁平，可以保證機構運動平滑而無“跳動”，使傳動平穩(wěn)，故在大多數(shù)情況下，取K5。在保證刀輥強度、剛度的情況下，應盡可能減小刀輥直徑,這樣可大幅減