版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、第二節(jié) 龍格-庫塔方法基本思想:基本思想:利用利用 在某些特殊點(diǎn)上的在某些特殊點(diǎn)上的函數(shù)值的函數(shù)值的線性線性組合組合來構(gòu)造高階單步法的來構(gòu)造高階單步法的。( , )f x y第二節(jié)第二節(jié) 龍格龍格- -庫塔法庫塔法什么叫平均斜率?什么叫平均斜率?對差商對差商 應(yīng)用微分中值定理,有,應(yīng)用微分中值定理,有,1()()iiy xy xh 1()()()iiiy xy xhy xh 利用微分方程利用微分方程 ,有,有( , )yf x y 1()()(, ()iiiiy xy xhf xh y xh 這里的這里的 稱為。稱為。(, ()iif xh y xh 第二節(jié) 龍格-庫塔方法可將改進(jìn)的歐拉格式改
2、寫成可將改進(jìn)的歐拉格式改寫成112121112(),(,),(,).iiiiiiyKKKyhfxyKyhfxK 的算術(shù)平均值作為平均斜率。的算術(shù)平均值作為平均斜率。該公式可以看作是用該公式可以看作是用 和和 兩個點(diǎn)處的斜率兩個點(diǎn)處的斜率 和和1 iixx 12 KK由改進(jìn)型歐拉公式我們可以猜想,如果在由改進(jìn)型歐拉公式我們可以猜想,如果在1,iix x 內(nèi)多預(yù)測幾個點(diǎn)的斜率,再對他們進(jìn)行加權(quán)平均,內(nèi)多預(yù)測幾個點(diǎn)的斜率,再對他們進(jìn)行加權(quán)平均,可能得到精度更好的平均斜率!可能得到精度更好的平均斜率!第二節(jié) 龍格-庫塔方法下面以下面以2階龍格階龍格- -庫塔方法庫塔方法為例來闡述這種思想為例來闡述這種
3、思想考察區(qū)間考察區(qū)間 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn) ,1,iix x 01, ipixxphp 用用 和和 的斜率的斜率 和和 的加權(quán)平均作為平均的加權(quán)平均作為平均 iipxx 12 KK斜率斜率 的近似值:的近似值:*K1122*KKK 即取即取11122()iiyyhKK 其中其中 和和 是待定常數(shù)。若取是待定常數(shù)。若取 ,則,則12 1(,)iiKf xy 問題在于如何確定問題在于如何確定 處的斜率處的斜率 和常數(shù)和常數(shù) 和和 。ipx 2K12 第二節(jié) 龍格-庫塔方法仿照改進(jìn)的歐拉方法,用歐拉方法預(yù)測仿照改進(jìn)的歐拉方法,用歐拉方法預(yù)測 的值,的值,()ipy x 1ipiyyphK 并用它來估計(jì)斜
4、率并用它來估計(jì)斜率 :2K2(,)ipipKf xy 于是得到如下形式的算法:于是得到如下形式的算法:111221211(),(,),(,).iiiiiiyyhKKKf xyKf xyphK 通過適當(dāng)選取參數(shù)通過適當(dāng)選取參數(shù) 和和 的值,使得公式具有的值,使得公式具有12, p 2階精度!階精度!第二節(jié) 龍格-庫塔方法由泰勒公式展開,要使公式具有由泰勒公式展開,要使公式具有 2 階精度階精度,只需,只需12211 2,p方程組有方程組有無窮無窮多解:多解:二級二級方法有無窮多種方法有無窮多種常見的常見的3種二級方法:種二級方法: 中點(diǎn)法(修正的中點(diǎn)法(修正的Euler法法)1221012,cc
5、a 取取122(,(,)nnnnnnhhyyhf xyf xy 二階二階龍格庫塔方法龍格庫塔方法122112,cca 取取12 (,)(,(,)nnnnnnnnhyyf xyf xh yhf xy 3()O h第二節(jié) 龍格-庫塔方法三級方法:三級方法:N = 3 類似于類似于N = 2的推導(dǎo)方法,可得到的推導(dǎo)方法,可得到1231;ccc 223312;c ac a 22223313;c ac a 323216c a b 4()O h常見的常見的2種三階方法:種三階方法: 庫塔庫塔三階方法三階方法112346()nnhyykkk 1(,);nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk312
6、2(,)nnkf xh yhkhk 第二節(jié) 龍格-庫塔方法 四級方法:四級方法:N = 45()O h局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差常見的常見的2種四階方法:種四階方法:經(jīng)典經(jīng)典龍格龍格- -庫塔庫塔方法方法11234226()nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk3222(,)nnhhkf xyk43(,)nnkf xh yhk第二節(jié) 龍格-庫塔方法解:解:201( )dyxydxyy 01( , )x 例例2:用用經(jīng)典的經(jīng)典的龍格龍格- -庫塔庫塔方法方法求解下列初值問題求解下列初值問題 。0 1 .h 經(jīng)典的四階經(jīng)典的四階龍格龍格- -庫塔公式:庫塔公式
7、:11234226()nnhyykkkk 12;nnnxkyy 2112222()nnnhxhkykhyk 4332()nnnxhkyhkyhk 3222222();nnnhxhkykhyk 第二節(jié) 龍格-庫塔方法 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny同保留同保留5位的位的精確值精確值完全一致:完全一致: 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416
8、 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny21yx第二節(jié) 龍格-庫塔方法第二節(jié) 龍格-庫塔方法二、二、高階高階和隱式和隱式Runge-Kutta方法方法注注:對于顯式對于顯式N級級R-K方法,最多只能得到方法,最多只能得到N級方法;級方法; N 1,2,3,4 5,6,7 8,9 10,11, N N-1 N-2()p N已經(jīng)證明已經(jīng)證明N級級R-K方法的方法的階階 具有下列關(guān)系:具有下列關(guān)系:()p N2N 若要得到若要得到N階以上方法,則使用階以上方法,則使用N級隱式級隱式R-K方法方法 N級
9、隱式級隱式R-K方法的一般形式:方法的一般形式:11Nnniiiyyhc k 11(,);,.,Nininijjjkf xa h yhb kiN N級隱式級隱式R-K法法可以達(dá)到可以達(dá)到2N階階第二節(jié) 龍格-庫塔方法(1)(1)一一級級二階二階的隱式的隱式中點(diǎn)中點(diǎn)方法:方法:11nnyyhk 1122(,)nnhkhkf xy (2)(2)二二級級四階四階的隱式的隱式R-K方法:方法:1212()nnh kkyy 112131326446() ,()nnhkkf xh yhk221131326464() ,()nnhkkf xh yhk 第二節(jié) 龍格-庫塔方法三、三、變步長變步長方法方法基本基
10、本思想思想:根據(jù)精度:根據(jù)精度自動自動地選擇地選擇步長步長對于對于經(jīng)典經(jīng)典Runge-Kutta方法:方法:0 1 2, , ,n Step1:設(shè)從設(shè)從 出發(fā),以出發(fā),以 為步長,經(jīng)過為步長,經(jīng)過一步一步計(jì)算得到計(jì)算得到nxh511( )()hnny xyChStep2:取取 為步長,再從為步長,再從 出發(fā),經(jīng)過出發(fā),經(jīng)過兩步兩步計(jì)算得到計(jì)算得到nx2h521122()()( )hnnhy xyC第二節(jié) 龍格-庫塔方法21111116( / )( )()()hnnhnny xyy xy 2111116( / )( )( ()()hhnnnny xyy xy 221111115( / )( /
11、)( )()hhhnnnny xyyy211( / )( )|hhnnyy 記記如果如果 ,則將步長,則將步長折半折半進(jìn)行計(jì)算,直到進(jìn)行計(jì)算,直到 為止為止 此時(shí)取此時(shí)取 為最終結(jié)果;為最終結(jié)果;21( / )hny 如果如果 ,則將步長,則將步長加倍加倍進(jìn)行計(jì)算,直到進(jìn)行計(jì)算,直到 為止為止 此時(shí)將步長此時(shí)將步長折半折半一次計(jì)算,得到的為最終結(jié)果。一次計(jì)算,得到的為最終結(jié)果。第二節(jié) 龍格-庫塔方法一、一、收斂性收斂性 /* *Convergence* */3 單步法的單步法的收斂性收斂性、相容性相容性和和絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性1(, )nnnnyyhxy h 對于初值問題對于初值問題 的一的一
12、種種000( , )();dyf x ydxy xyxx ( ) 1Def單步法單步法 產(chǎn)生的近似解,如果產(chǎn)生的近似解,如果 對于任一對于任一固定固定的的 ,均有,均有 ,0nxxnh 則稱該單步法是則稱該單步法是收斂收斂的。的。0lim()nnhyy x 類似地可以定義類似地可以定義隱式隱式單步法、多步法(單步法、多步法(4)的)的收斂性收斂性第二節(jié) 龍格-庫塔方法3 1 .Th設(shè)初值問題(設(shè)初值問題(*)對應(yīng)的下列)對應(yīng)的下列單步法單步法是是 階的,階的,1(, )nnnnyyhxy h p且函數(shù)且函數(shù) 滿足對滿足對 的的Lipschitz條件,即存在常數(shù)條件,即存在常數(shù)y 0L 1212
13、12| ( , )( , )|,x y hx y hL yyy y 則該則該單步法單步法是收斂的,且是收斂的,且()()pnny xyO h 證明:證明:()nnney xy 記記由由截?cái)嘟財(cái)嗾`差的定義誤差的定義11()()(, (), )nnnnny xy xhxy xhT 11 (, (), )(, )nnnnnnneehxy xhxyhT 第二節(jié) 龍格-庫塔方法因?yàn)橐驗(yàn)閱尾椒▎尾椒ㄊ鞘?階的:階的:p000,hhh 滿足滿足11|pnTCh 11| |pnnneehL eCh |ne 其中其中11,phLCh 212|nnneee 3231|()ne 2101|(.)nnnee 1000
14、1| exp ()|exp ()pnnneL xxeCh LL xx 101exp ()pnCh LL xx ()pneO h 00()h第二節(jié) 龍格-庫塔方法二、二、相容性相容性 /* *Consistency* */()( )( , ( ), )y xhy xhx y x h 0 ( )( ).( ) ( , ( ), ).y xhy xy xhx y x 0( )( , ( ), ).h y xx y x 1()pO h 100( )( , ( ), )py xx y x 對于對于 階方法:階方法:1(, )nnnnyyhxy h p() 若方法(若方法(*)的)的增量增量函數(shù)滿足:函數(shù)
15、滿足:2Def0( , , )( , )x yf x y 則稱該方法與初值問題(則稱該方法與初值問題(*)相容相容。第二節(jié) 龍格-庫塔方法設(shè)方法(設(shè)方法(*)與初值問題()與初值問題(*)相容相容,且,且 滿足滿足L-條件,條件, 則該方法(則該方法(*)是)是收斂收斂的,即當(dāng)?shù)模串?dāng) 固定,固定, 時(shí)時(shí)nxx 0h()nnyy x1(, )nnnnyyxyhh 0(, (), )()nnnxy xy x ()(, ()nnny xf xy x 再由再由相容性相容性得:得:上式說明:當(dāng)上式說明:當(dāng) 時(shí),方法(時(shí),方法(*)趨于)趨于原微分方程原微分方程0h 本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題本
16、章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容相容的的 第二節(jié) 龍格-庫塔方法三、三、絕對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性 /* *Absolute Stibility* */計(jì)算過程中產(chǎn)生的計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差舍入誤差對計(jì)算結(jié)果的影響對計(jì)算結(jié)果的影響首先以首先以Euler公式為例,來討論一下公式為例,來討論一下舍入誤差舍入誤差的傳播的傳播:1(,)nnnnyyhf xy 設(shè)設(shè)實(shí)際實(shí)際計(jì)算得到的點(diǎn)計(jì)算得到的點(diǎn) 的的近似近似函數(shù)值為函數(shù)值為 ,nnnyy nxny其中其中 為為精確值精確值, 為誤差為誤差n 1(,)nnnnyyhf xy 111nnnyy 11 (,)(,)(, )nnnnnnynnh f xyf
17、xyhfx 如果如果 ,則誤差是,則誤差是不增不增的,故可認(rèn)為是的,故可認(rèn)為是穩(wěn)定穩(wěn)定的的11|yhf 第二節(jié) 龍格-庫塔方法例如:例如:對于初值問題對于初值問題0()yyy xa 精確解精確解為為0 x xyae 而而實(shí)際求解實(shí)際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa 精確解精確解為為0()x xyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)增長增長nx如果初值問題為如果初值問題為0()yyy xa 精確解精確解為為0 xxyae 第二節(jié) 龍格-庫塔方法實(shí)際求解實(shí)際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa
18、精確解精確解為為0()xxyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)遞減遞減nx當(dāng)當(dāng) 時(shí),微分方程是時(shí),微分方程是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的;的;0yf 而而 時(shí),微分方程是時(shí),微分方程是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。0yf 上面討論的上面討論的穩(wěn)定性穩(wěn)定性,與,與數(shù)值方法數(shù)值方法和方程中和方程中 有關(guān)有關(guān)f第二節(jié) 龍格-庫塔方法實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程:方程:0,Re( )yyC 1(, )nnnnyyhxy h 對單步法對單步法 應(yīng)用應(yīng)用實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程,方程,1()nnyEh y 3Defh 如果如果 ,當(dāng),當(dāng) 時(shí),則稱該時(shí),則稱該1()Eh 單步法是單步法是絕對穩(wěn)定絕對穩(wěn)定的,在復(fù)平面上復(fù)變量的,在復(fù)平面上復(fù)變量 滿足滿足1()Eh 的區(qū)域,稱為該單步法的絕對穩(wěn)定的區(qū)域,稱為該單步法的絕對穩(wěn)定域域,它與它與實(shí)軸實(shí)軸的的交集交集稱為絕對穩(wěn)定稱為絕對穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。1111()()pnnnTy xyO h 若單步法是若單步法是 階的,則階的,則p由由實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程可得:方程可得:1()exp()nny xyh 1exp()()()pnnyhEh yO h ()exp()Ehh 第二節(jié) 龍格-庫塔方法11
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 廣告業(yè)品牌傳播策略手冊
- 期中重難點(diǎn)檢測卷-小學(xué)英語六年級下冊 人教PEP版
- 地震避險(xiǎn)與自救技能培訓(xùn)手冊
- 國際市場營銷策略與執(zhí)行方案
- 醫(yī)院醫(yī)療設(shè)備維護(hù)管理手冊
- 醫(yī)療機(jī)構(gòu)疫情防控工作預(yù)案
- 火花塞間隙量規(guī)相關(guān)項(xiàng)目建議書
- M9U1課文知識復(fù)習(xí)+鞏固練習(xí)-2023-2024學(xué)年四年級英語上冊單元速記·巧練(外研版三起)
- 證券法學(xué)學(xué)習(xí)通超星期末考試答案章節(jié)答案2024年
- M3U2語法復(fù)習(xí)+鞏固練習(xí)-2023-2024學(xué)年五年級英語上冊單元速記·巧練(外研版三起)
- 2024年食品生產(chǎn)企業(yè)食品安全管理人員監(jiān)督抽查考試題庫(含答案)
- 材料、設(shè)備封樣及進(jìn)場驗(yàn)收管理規(guī)定
- 工程材料構(gòu)配件設(shè)備報(bào)審表
- 高速公路交工檢測方案(交工驗(yàn)收單位編制)
- 預(yù)制梁場成本分析
- 華東地區(qū)SMT公司信息
- 物業(yè)管理公司法律顧問服務(wù)方案
- 拌合站粉罐基礎(chǔ)驗(yàn)算(共11頁)
- 自動售貨機(jī)投放協(xié)議(模板)
- 初三數(shù)學(xué)第一單元測試卷(共4頁)
- 甘肅省公路路產(chǎn)損壞賠償收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)
評論
0/150
提交評論