廣東省揭陽市2016屆高三學(xué)業(yè)水平考試試題數(shù)學(xué)(理)

1、絕密啟用前揭陽市2015-2016學(xué)年度高中三年級學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)(理科)本試卷共4頁，21小題，滿分150分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答第卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮搽干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，寫在本試卷上無效。3.答案第卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，則（A

2、） （B） （C） （D）2.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的和為（A） （B） （C） （D）3.在等差數(shù)列中，已知，則此數(shù)列的公差為（A） （B） （C） （D）4.如果雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為，那么該雙曲線的方程式（A） （B） （C） （D）5.利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間（0,1）上產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)a,則不等式成立的概率是（A） （B） （C） （D）6.設(shè)是兩個(gè)非零向量，則“”是 “”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分又不必要條件7.已知奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且，則的值為（A）3 （B）0 （C）-3 （D）8.函數(shù)的最大值和最小正周期分別為（A） （B）

3、 （C） （D）9.某人以15萬元買了一輛汽車，此汽車將以每年的速度折舊，圖1是描述汽車價(jià)值變化的算法流程圖，則當(dāng)n=4時(shí)，最后輸出的S的值為（A）9.6 （B）7.68 （C）6.144 （D）4.915210.如圖2，網(wǎng)格紙上小正方形是邊長為1，粗線畫出的是一正方體被截去一部分后所得幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（A）54 （B）162 （C） （D）11.已知直線與圓心為C的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)a的值為（A）或 （B）或 （C）或 （D）或12.若函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A） （B） （C） （D）第卷本卷包括必答題和選考題兩部分，第13題第21題為必答

4、題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22題第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：（本大概題共4小題，每小題5分,共20分，請把正確的答案填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上）13已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 14.在的展開式中，的系數(shù)是 15.已知正方形的一個(gè)面在半徑為的半球底面上，A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)都在此半球面上，則正方體的體積為 16.設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 三、解答題：解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17. （本小題滿分12分）已知a,b,c分別是ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，且（）求的值（）若，求ABC的面積18. （本小題滿分12分）某商場銷售某

5、種品牌的空調(diào)器，每周周初購進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場每銷售一臺空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺空調(diào)器僅獲利潤200元。（）若該商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)周需求量n（單位：臺，）的函數(shù)解析式；（）該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺），整理得下表：周需求量n1819202122頻數(shù)12331以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進(jìn)20臺空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。19. （本小題滿分12分）如圖3，在三棱柱

6、中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D為AB的中點(diǎn)。（）求證：/平面（）若四邊形是正方形，且，求直線與平面所成角的正弦值。20. （本小題滿分12分）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且短軸的長為2，離心率等于。（）求橢圓C的方程；（）過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若，求證：為定值。21. （本小題滿分12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）求a、b的值；（）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。請考生在（22）、（23）、（24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一個(gè)題目計(jì)分。22(本小題滿分10分)選修41：幾何證明選講如圖4，四邊形ABC

7、D內(nèi)接于，過點(diǎn)A作的切線EP交CB的延長線于P，已知。（）若BC是的直徑，求的大?。唬ǎ┤?求證：23. （本題滿分10分） 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是（）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，求的值。24. （本題滿分10分） 選修45：不等式選講已知函數(shù)。（I）解不等式：（II）若，求證：揭陽市2015-2016學(xué)年度高中三年級學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評分說明一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的

8、解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制訂相應(yīng)的評分細(xì)則二、對計(jì)算題當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一、選擇題：D D A B A C C B C D C D解析：7.由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱得，則.8.，故9.依題意知，設(shè)汽車年后的價(jià)值為,則，結(jié)合程序框圖易得當(dāng)時(shí)，10.依題意知該幾何體如右圖示：故其表面積為.11.圓即，所以，由得,所以圓心C到直線的距離

9、，故或.12. 函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，即方程有唯一的實(shí)根直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點(diǎn)，由，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，故當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有唯一的交點(diǎn).或因由得或，若顯然存在唯一的零點(diǎn)，若，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且故存在唯一的零點(diǎn)，若，要使存在唯一的零點(diǎn)，則有解得，綜上得.二、填空題：13. 9；14. 20；15.；16. 解析：15設(shè)正方體的棱長為，把半球補(bǔ)成全球，則問題為長、寬、高分別為、的長方體內(nèi)接于球，解得，所以正方體的體積為16.由，. 三、解答題：17解：（I）、為的內(nèi)角，由知，結(jié)合正弦定理可得：-3分,-4分 .-5分（II）解法

10、1：，由余弦定理得：，-7分整理得： 解得：（其中負(fù)值不合舍去）-9分，由得的面積-12分【解法2：由結(jié)合正弦定理得：，-6分， , ,-7分=,-9分由正弦定理得：，-10分的面積-12分】18.解：（I）當(dāng)時(shí)，-2分當(dāng)時(shí)，-4分所以-5分（II）由（1）得-6分-7分-9分 的分布列為-12分19.（I)證法1：連結(jié)AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)E，連接DE，則E為AC1中點(diǎn)，-2分D為AB的中點(diǎn)，DEBC1，-4分BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-5分BC1平面A1CD. -6分【證法2：取中點(diǎn)，連結(jié)和，-1分平行且等于 四邊形為平行四邊形 -2分平面，平面平面,-3分同理可得平

11、面-4分 平面平面又平面BC1平面A1CD. -6分】(II) -7分又 ，又 面-8分法一：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，的中點(diǎn)為，以O(shè)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.-9分則，.-10分平面的一個(gè)法向量所以直線A1D與平面CBB1C1所成角的正弦值為-12分【法二：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則-7分面，故,面-9分延長、相交于點(diǎn)，連結(jié)，則為直線與平面所成的角. -10分因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，又即直線與平面所成的角的正弦值為.-12分】【法三：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則-7分面，故,平面-9分取中點(diǎn)M，連結(jié)BM，過點(diǎn)M作，則平面，連結(jié)BN，,為直線與平面所成的角，-10分,即直線與

12、平面所成的角的正弦值為.-12分】20.解：（I）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知-2分解得，-4分橢圓C的方程為 -5分（II）證法1：設(shè)A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. -6分顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，則直線l的方程是，-7分將直線的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得-9分 -10分又-12分【證法二：設(shè)點(diǎn)A、B、M的坐標(biāo)分別為易知F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. -6分-7分將A點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中，得去分母整理得 -9分同理，由可得-10分05510202=-+yll即 是方程 的兩個(gè)根，-12分】21解：（I）且直線的斜率為0，又過點(diǎn)，-2分即解得-3分（II）當(dāng)時(shí)，不等式-5分令，-7分令，當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增且，所以當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，即恒成立-9分當(dāng)即時(shí)，在上上單調(diào)遞減，且，故當(dāng)時(shí)，即所以函數(shù)在單調(diào)遞減，-10分當(dāng)時(shí)，與題設(shè)矛盾,綜上可得的取值范圍為-12分22.解：（I）EP與O相切于點(diǎn)A，-1分又BC是O的直徑，-3分四邊形ABCD內(nèi)接一于O，-5分（II）-7分-8分又-10分23.解：（I）直線的普通方程為，-2分曲線C的直角坐標(biāo)系方程為-4分（II）C的圓心