三角函數(shù)的誘導公式

1、三角函數(shù)的誘導公式教學目標1能借助單位圓中的三角函數(shù)線推導誘導公式二，并由此探究相關的其他誘導公式(難點)2誘導公式與同角三角函數(shù)基本關系式的綜合運用(重點)3各種誘導公式的特征(易混點)基礎·初探教材整理1誘導公式二公式四閱讀教材P23P24例1以上內容，完成下列問題1誘導公式二(1)對應角終邊之間對稱關系在平面直角坐標系中，的終邊與角的終邊關于原點對稱(2)誘導公式二sin()sin ；cos()cos ；tan()tan 2誘導公式三(1)對應角終邊之間的對稱關系在平面直角坐標系中，的終邊與角的終邊關于x軸對稱(2)誘導公式三sin()sin ；cos()cos ；tan()t

2、an 3誘導公式四(1)對應角終邊之間的對稱關系在平面直角坐標系中，的終邊與角的終邊關于y軸對稱(2)誘導公式四公式四：sin()sin ；cos()cos ；tan()tan (3)公式一四可以概括為：k·2(kZ)，±的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號判斷(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)誘導公式三可以將任意負角的三角函數(shù)值轉化為正角的三角函數(shù)值()(2)對于誘導公式中的角一定是銳角()(3)由公式三知cos()cos()()(4)在ABC中，sin(AB)sin C()解：(1)由公式三可知該結論成立(2)誘導公式中的

3、角是任意角，不一定是銳角(3)由公式三知cos()cos()，故cos()cos()是不正確的(4)因為ABC，所以ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C【答案】(1)(2)×(3)×(4)教材整理2誘導公式五、六閱讀教材P26第七行以下至“例3”以上內容，完成下列問題1公式五：sincos ，cossin 2公式六：sincos ，cossin 3公式五和公式六可以概括為：±的正弦(余弦)函數(shù)值，分別等于的余弦(正弦)函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號公式一六都叫做誘導公式若cos()，則sin_.【解析】cos()cos ，cos ，si

4、ncos .【答案】小組合作型給角求值問題(1)求下列各三角函數(shù)值sin；cos ；(2)求sin·cos(nZ)的值點評：(1)先化負角為正角，再將大于360°的角化為0°到360°內的角，進而利用誘導公式求得結果(2)分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論解：(1)sinsin sinsin sinsin .cos coscos coscos .(2)當n為奇數(shù)時，原式sin ·sin·sin ·cos ×；當n為偶數(shù)時，原式sin ·cos sin·cossin ·×.1已知角求

5、值的問題主要是利用誘導公式把任意角的三角函數(shù)值轉化為銳角的三角函數(shù)值求解如果是負角，一般先將負角的三角函數(shù)化為正角的三角函數(shù)，同時，準確記憶特殊角的三角函數(shù)值2凡涉及參數(shù)n的三角函數(shù)求值問題由于n為奇數(shù)、偶數(shù)時，三角函數(shù)值有所不同，故考慮對n進行分類討論其次，熟記誘導公式，熟悉各誘導公式的作用也是解題的關鍵再練一題1求下列各三角函數(shù)值(1)tan(855°)；(2)sin ；(3)cos·sin(nZ)解：(1)tan(855°)tan 855°tan(2×360°135°)tan 135°tan(180°

6、;45°)tan 45°1.(2)sin sinsin sincos .(3)當n為奇數(shù)時，原式cos ·cos··sin ×.當n為偶數(shù)時，原式cos ·sin cos·sin·×.給值(式)求值問題已知cos()，求cos的值 解：cos()cos ，cos ，為第一或第四象限角若為第一象限角，則cossin .若為第四象限角，則cossin .1已知一個角的某種三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值，若給定具體數(shù)值，但未指定角的取值范圍，就要進行討論2常見的互余關系有：與；與；與等3常見的互

7、補關系有：與；與等再練一題2(1)已知sina，則sin()AaBaC±aD不確定(2)若cos 165°a，則tan 195°()ABCD解：(1)因為2，所以2，所以sinsinsinsina.(2)cos 165°cos(180°15°)cos 15°a，故cos 15°a(a<0)，得sin 15°，tan 195°tan(180°15°)tan 15°.【答案】(1)B(2)B利用誘導公式證明三角恒等式求證：tan . 觀察被證式兩端，左繁右簡，可以

8、從左端入手，利用誘導公式進行化簡，逐步地推向右邊解：原式左邊tan 右邊原式得證關于三角恒等式的證明，常用方法：(1)從一邊開始，證得它等于另一邊，一般由繁到簡(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子無論用哪種方法都要針對題設與結論間的差異，有針對性地變形，以消除其差異再練一題3已知tan(7)2，求證2.【證明】tan(7)2，tan 2，2.探究共研型誘導公式中的分類討論思想探究1利用誘導公式能否直接寫出sin(k)的值？【提示】不能因為k是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定當k是奇數(shù)時，即k2n1(nZ)，sin(k)sin()sin ；當k是偶數(shù)時，即k2n(nZ)，sin(k)sin .探究

9、2如何化簡tan呢？【提示】當k為奇數(shù)時，即k2n1(nZ)，tantan；當k為偶數(shù)時，即k2n(nZ)，tantan .所以tan設k為整數(shù)，化簡：.本題主要考查分類討論的思想以及誘導公式常用的解決方法有兩種：為了便于運用誘導公式，必須把k分成偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論；觀察式子結構，kk2k，(k1)(k1)2k，可使用配角法解：法一：當k為偶數(shù)時，設k2m(mZ)，則原式1；當k為奇數(shù)時，設k2m1(mZ)，同理可得原式1.法二：由于kk2k，(k1)(k1)2k，故cos(k1)cos(k1)cos(k)，sin(k1)sin(k)，sin(k)sin(k)所以原式1.由于kZ的任意性，

10、對于不同的k值，可能導致不同的結果，因而要加以分類討論，正確的思維就是分為奇數(shù)與偶數(shù)加以分析再練一題4化簡(nZ)的結果為_解：(1)當n2k(kZ)時，原式sin .(2)當n2k1(kZ)時，原式sin .所以化簡所得的結果為(1)n1·sin .【答案】(1)n1sin 構建·體系1下列各式不正確的是()Asin(180°)sin Bcos()cos()Csin(360°)sin Dcos()cos()解：cos()cos()cos()，故B項錯誤【答案】B2(2016·梅州抽檢)sin 600°的值為()ABCD解：sin 6

11、00°sin(720°120°)sin 120°sin(180°60°)sin 60°.故選D【答案】D3cos 1 030°()Acos 50°Bcos 50°Csin 50°Dsin 50°解：cos 1 030°cos(3×360°50°)cos(50°)cos 50°.【答案】A4若sin<0，且cos>0，則是()A第一象限角B第二象限角C第三角限角D第四象限角解：由于sincos <0，

12、cossin >0，所以角的終邊落在第二象限，故選B【答案】B5已知sin ，求cossin(3)的值. 解：sin ，coscoscoscossin ，cossin(3)sin()sin .學業(yè)分層測評(五)(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1設sin 160°a，則cos 340°的值是()A1a2BCD±解：因為sin 160°a，所以sin(180°20°)sin 20°a，而cos 340°cos(360°20°)cos 20°.【答案】B2已知，tan ，則si

13、n()()ABCD解：因為sin()sin ，且tan ，所以sin ，則sin().【答案】B3已知sin，則cos等于()ABCD解：coscossin.故選A【答案】A4設tan(5)m，則的值為()ABC1D1解：由tan(5)m，得tan m，所以.【答案】A5若f(cos x)cos 2x，則f(sin 15°)的值為()ABCD解：因為f(sin 15°)f(cos 75°)cos 150°.【答案】A二、填空題6若atan，btan，則a，b的大小關系是_. 解：atantantantan，btantantantantan，0<&l

14、t;<，tan<tan，a>b.【答案】a>b7已知tan(3)2，則_.解：由tan(3)2，得tan 2，則原式 2.【答案】2三、解答題8求sin(1 200°)·cos 1 290°cos(1 020°)·sin(1 050°)tan 945°的值解：原式sin(3×360°120°)·cos(3×360°210°)cos(2×360°300°)·sin(2×360°

15、;330°)tan(2×360°225°)sin(180°60°)·cos(180°30°)cos(360°60°)·sin(360°30°)tan(180°45°)sin 60°cos 30°cos 60°sin 30°tan 45°××12.9已知f().(1)化簡f()；(2)若f，且是第二象限角，求tan .解：(1)f()sin .(2)由sin，得cos

16、，又是第二象限角，所以sin ，則tan .能力提升1計算sin21°sin22°sin23°sin289°()A89B90CD45解：原式sin21°sin22°sin23°sin244°sin245°sin2(90°44°)sin2(90°3°)sin2(90°2°)sin2(90°1°)sin21°sin22°sin23°sin244°sin245°cos244°cos23°cos22°cos21°(sin21°cos21°)(sin22°cos22°)(sin23