向量與三角形四心(教師版)

1、向量與三角形內(nèi)心、外心、重心、垂心知識的交匯一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心高線的交點：高線與對應邊垂直；（3）內(nèi)心角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）是的重心.證法1：設是的重心.證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心(2)若O是的重心，則（3）為的垂心.證明：如圖所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，為的垂心(4) O是ABC所在平面內(nèi)一點則O是ABC的垂心證明：由，得，所以

2、。同理可證。容易得到由以上結(jié)論知O為ABC的垂心。(5) 設，則向量必垂直于邊BC，該向量必通過ABC的垂心（6） 若H是ABC(非直角三角形)的垂心，則SBHC：SAHC：SAHB=tanA：tanB：tanC 故tanA·+tanB·+tanC·=（7）若點O為ABC所在的平面內(nèi)一點，滿足 ，則點O為ABC的外心。證明：因為，所以同理得由題意得，所以，得。故點O為ABC的外心。（8）兩點分別是的邊上的中點,且（9）若O是ABC的外心，則SBOC：SAOC：SAOB=sinBOC：sinAOC：sinAOB=sin2A：sin2B：sin2C 故sin2A

3、83;+sin2B·+sin2C·=（10）設,是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.證明：分別為方向上的單位向量，平分,)，令（)化簡得（11）設，則向量必平分BAC，該向量必通過ABC的內(nèi)心; 設，則向量必平分BAC的鄰補角 （12）O是ABC的內(nèi)心充要條件是 （13）若O是ABC的內(nèi)心，則SBOC：SAOC：SAOB=a：b：c故a·+b·+c·=或sinA·+sinB·+sinC·=; （14）設為ABC所在平面內(nèi)任意一點，I為ABC的內(nèi)心， * 內(nèi)心I（，）證明：由是的內(nèi)心。(其中是三邊)（見內(nèi)心

4、的充要條件的證明）, I（，）.（15）為的外心。與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論 隨著新課程對平面幾何推理與證明的引入，三角形的相關(guān)問題在高考中的比重有所增加。平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的結(jié)合就顯得尤為自然，因此對三角形的相關(guān)性質(zhì)的向量形式進行探討，就顯得很有必要。本文通過對一道高考模擬題的思考和探究，得到了與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論。希望在得出結(jié)論的同時，能引起一些啟示。 結(jié)論： 設點在內(nèi)部，若，則證明： 已知點在內(nèi)部，且 設：，則點為DEF的重心， 又， 說明: 此結(jié)論說明當點在內(nèi)部時，點把所分成的三個小三角形的面積之比等于從此點出發(fā)分別指向與三個小三角形相對應的頂點

5、的三個向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應用舉例：設點在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述結(jié)論易得：，所以，故選D 當把這些點特定為三角形的“四心”時，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設點在內(nèi)部，且角所對應的邊分別為 結(jié)論1：若為重心，則 分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2 ：為內(nèi)心，則 分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證SBOC：SCOA：SAOB=結(jié)論3： 為的外心，則 分析： 易證SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可

6、得結(jié)論4。 結(jié)論4：若為垂心，則 即 證明：對任意有，其中為外心，為垂心， ， 則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實數(shù)，使得， 即，由結(jié)論3得： 所以有：， 所以可得： 化簡后可得： 應用舉例：例1：已知為的內(nèi)心，且，則角的余弦值為 。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三邊長為，設的外心為，若， 求實數(shù)的值。分析： ，整理后即得：. 由結(jié)論3可得：，又易得， . 點評：此題的通用解法應該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組： 解方程組可得結(jié)果。 例3：設是的垂心，當時，求實數(shù)的值. 分析： 由結(jié)論4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 點評：此題的通用

7、解法應該是仿例2的點評，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。 通過這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心”相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有很大幫助，正契合了新課標對學生能力的要求。所以在平時的教學中要注意引導學生經(jīng)常做一些類似的思考與探究，將極大地提高學生的數(shù)學素質(zhì)及思維能力。典型例題：例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ C ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：如圖所示，分別為邊的中點./點的軌跡一定通過的重心，即選.例2：（03全國理4）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ B ）

8、A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心分析：分別為方向上的單位向量，平分,點的軌跡一定通過的內(nèi)心，即選例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ D ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 分析：如圖所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.=+=0點的軌跡一定通過的垂心，即選.課后練習：1已知三個頂點及平面內(nèi)一點，滿足，若實數(shù)滿足：，則的值為（ C ）A2 B C3 D62若的外接圓的圓心為O，半徑為1，則( D )A B0 C1 D3點在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（ C ）A0 B C D4的外接圓的圓心為O，若，則是的（ D ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心 5是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（ D ）A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心6的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，則實數(shù)m =