指數(shù)函數(shù)教學案例

1、指數(shù)函數(shù)教學案例 象山中學 楊祎珍一、教材分析 (一)單元的地位和作用指數(shù)函數(shù)是在學習了指數(shù)一節(jié)內容之后編排的。通過本節(jié)課的學習，既可以對指數(shù)和函數(shù)的概念等知識進一步鞏固和深化，又可為后面進一步學習對數(shù)、對數(shù)函數(shù)尤其是利用互為反函數(shù)的圖象間的關系來研究對數(shù)函數(shù)的性質打下堅實的概念和圖象基礎。又因指數(shù)函數(shù)是學生進入高中以后遇到的第一個系統(tǒng)研究的函數(shù)，對高中階段研究對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等完整的函數(shù)知識，初步培養(yǎng)函數(shù)的應用意識打下了良好的學習基礎。另外，指數(shù)函數(shù)的知識與我們的日常生產(chǎn)、生活和科學研究有著緊密的聯(lián)系，尤其體現(xiàn)在細胞分裂、貸款利率的計算和考古中的年代測算等方面，因此學習這部分知識有著廣泛的

2、現(xiàn)實意義。本節(jié)內容的特點之一是概念性強，特點之二是凸顯了數(shù)學圖形在研究函數(shù)性質時的重要作用。(二)教學目標、重點和難點(1)教學目標分析新課標指出教學目標應包括知識與技能目標、過程與方法目標和情感、態(tài)度、價值觀目標這三個方面，而這三維目標又應是緊密聯(lián)系的一個有機整體，學生學會知識與技能的過程也同時成為學生學會學習，形成正確的價值觀的過程。以此為指導制定以下的教學目標：1)知識與技能目標(直接性目標)：理解指數(shù)函數(shù)的定義，掌握指數(shù)函數(shù)的圖像、性質及其簡單應用。2)過程與方法目標(發(fā)展性目標)：通過教學培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納等思維能力，體會數(shù)形結合和分類討論思想以及從特殊到一般等學習數(shù)學的方法，

3、增強識圖用圖的能力，加強學生使用數(shù)學軟件做圖像以及使用信息技術解決問題的意識和能力。3)情感、態(tài)度、價值觀目標(可持續(xù)性目標)：通過學習，使學生學會認識事物的特殊性與一般性之間的關系，構建和諧的課堂氛圍，培養(yǎng)學生勇于提問，善于探索的思維品質。(2)教學重點與難點根據(jù)這一節(jié)課的內容特點以及學生的實際情況，學生對抽象的指數(shù)函數(shù)及其圖象缺乏感性認識。為此，在教學過程中讓學生自己去感受指數(shù)函數(shù)的生成過程以及圖象和性質是這一堂課的突破口。因此，指數(shù)函數(shù)的圖像、性質及其運用作為教學重點，本節(jié)課的難點是指數(shù)函數(shù)圖像和性質的發(fā)現(xiàn)過程，及指數(shù)函數(shù)圖像與底的關系。三、教學過程1、學生活動1：指數(shù)函數(shù)概念形成通過以

4、下兩個問題，來研究問題中兩個變量之間的依賴關系。問題1.某種細胞分裂時,由1個分裂成2個,2個分裂成4個,一個這樣的細胞分裂次以后,得到的細胞個數(shù)與有怎樣的關系.問題2.有一根1米長的繩子,第一次剪去繩長的一半,第二次再剪去剩余繩子的一半,剪去次后繩子剩余的長度為米,試寫出與之間的關系.請同學寫出上面兩個例子中由x計算y的過程，并總結寫出x和y的關系式。師:通過問題1,2的分析同學們得出與之間有怎樣的關系?生1:分裂一次得到2個細胞,分裂兩次得到()個細胞,分裂三次得到(),所以分裂次以后得到的細胞為個,即與之間為.生2:第一次剩下繩子的,第二次剩下繩子的(),第三次剩下繩子的(),那么剪了次

5、以后剩下的繩長為米,所以繩長與之間的關系為.（學生說完后在屏幕上展示這兩個式子）師:這兩個關系式能否都構成函數(shù)呢?生:每一個都有唯一的與之對應,因此按照函數(shù)的定義這兩個關系都可以構成函數(shù).師:（接著把打出來）既然這兩個都是函數(shù),那么同學們觀察我們得到的這兩個函數(shù),在形式上與函數(shù)有什么區(qū)別.(引導學生從自變量的位置觀察).生:前兩個函數(shù)的自變量都在指數(shù)的位置上,而的自變量在底上.師:那么再觀察一下,與函數(shù)有什么相同點?生:他們的自變量都在指數(shù)的位置,而且他們的底都是常數(shù).師:由此我們可以抽象出一個數(shù)學模型就是我們今天要講的指數(shù)函數(shù).（在屏幕上給出定義）定義:一般地,函數(shù) ()叫做指數(shù)函數(shù),它的定

6、義域是.概念解析1:師:同學們思考一下為什么中規(guī)定?(引導學生從定義域為的角度考慮).（先把，顯示出來，學生每分析一個就顯示出一個結果）生:若,則當時, 沒有意義.若,則當取分母為偶數(shù)的分數(shù)時,沒有意義.例如:.若,則,這時函數(shù)就為一個常數(shù)1沒有研究的價值了.所以,我們規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底.師:很好,請坐.我們既然知道了底的取值范圍,那么看這樣一個問題: 問題已知函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，求的取值范圍（屏幕上給出問題）生:由于作為指數(shù)函數(shù)的底因此必須滿足：即概念解析:師:我們知道形如（）的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)通過觀察我們發(fā)現(xiàn)：前沒有系數(shù)，或者說系數(shù)為既；指數(shù)上只有唯一的自變量；底是一個常數(shù)且必須滿足：那么，根據(jù)

7、分析同學們判斷下列表達式是否為指數(shù)函數(shù)？（在屏幕上給出問題）問題2，生:（答）為指數(shù)函數(shù)不是生: 我不同意，應該是指數(shù)函數(shù)，因為師:很好，我們發(fā)現(xiàn)有些函數(shù)表面上不是指數(shù)函數(shù)，其實經(jīng)過化簡以后就變成了指數(shù)函數(shù)所以不要僅從表面上觀察，要抓住事物的本質2、學生活動2：指數(shù)函數(shù)圖像與性質探究下面研究指數(shù)函數(shù)的圖像和性質。指導同學利用幾何畫板軟件畫出指數(shù)函數(shù)的圖像，在作圖過程中，賦予a多個不同的值，通過觀察，討論能得到幾類不同的指數(shù)函數(shù)圖像，因此可以將指數(shù)函數(shù)按照什么標準分為幾類?通過畫圖像和觀察圖像，可將指數(shù)函數(shù)按照底數(shù)a的范圍分為兩類，即。請同學利用幾何畫板在同一坐標系中畫出函數(shù)，的圖像。如圖1所示

8、： 圖1 師：好，下面我請兩個同學用幾何畫板分別作出，和，的函數(shù)圖象師:通過這四個指數(shù)函數(shù)的圖象，你能觀察出指數(shù)函數(shù)具有哪些性質？(填表1)生:函數(shù)的定義域都是一切實數(shù)，而且函數(shù)的圖象都位于軸上方師:函數(shù)的圖象都位于軸上方與有沒有交點？隨著自變量的取值函數(shù)值的圖象與軸是什么關系？生:沒有隨著自變量的取值函數(shù)的圖象與軸無限靠近師:即函數(shù)的值域是：那么還有沒有別的性質？生:函數(shù)、是減函數(shù)，函數(shù)、是減函數(shù)師:同學們覺的他這種說法有沒有問題??？（有）函數(shù)的單調性是在某個區(qū)間上的，因此有說明是在哪個范圍內又，那么上述的結論可以歸納為：生:當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，當時，函數(shù)在上是增函數(shù)師:很好，請坐?。ㄌ?/p>

9、問生）你觀察我們在作圖時的取值，能發(fā)現(xiàn)什么性質？生:當自變量取值為時，所對的函數(shù)值為一般地指數(shù)函數(shù)當自變量取時，函數(shù)值恒等于師:也就是說指數(shù)函數(shù)恒過點，和底的取值沒有關系那么你能否結合函數(shù)的單調性觀察函數(shù)值和自變量之間有什么關系？生3:由圖象可以發(fā)現(xiàn)：當時，若，則；若，則.當時，若，則；若，則.師:剛才是我們通過每個函數(shù)的圖象得到共同的性質,那么同學們在觀察函數(shù)圖象之間有沒有什么聯(lián)系?生4: 函數(shù)與的圖象關于軸對稱,函數(shù)與的圖象關于軸對稱,所以是偶函數(shù).師:前面的結論是正確的,同學們說后面那句話對嗎?生:(共同回答)不對,因為函數(shù)的奇偶性是對一個函數(shù)的,所以沒有這個性質.師:由此我們得到一般的

10、結論, 函數(shù)與的圖象關于軸對稱.師:在作圖的過程中，你還發(fā)現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)的其它性質嗎？生1:底數(shù)越大，函數(shù)翹起的一邊越接近y軸。師:很好，大家說對嗎？生2:不對，當時，正確。當時，相反。師:對，我們可以把它們歸納為在第一象限內，沿逆時針方向底數(shù)變大。師:很好,那么我們把同學們剛才歸納的指數(shù)函數(shù)的性質綜合起來,放到一張表格內.圖象性質定義域值域定點單調性在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)取值情況若，則若，則若，則若，則對稱性函數(shù)與的圖象關于軸對稱其它在第一象限內，沿逆時針方向底數(shù)變大。表13、鞏固與練習根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質，利用不等號填空（在屏幕上給出練習，讓學生口答）， 注：這部分知識主要考察了指數(shù)函數(shù)的值

11、域和對性質：當時，若，則若，則；當時若，則若，則的應用這個知識點是比較重要的部分在后面的比較大小中常常用到，所以在這個地方給出這樣的一個鞏固練習還是很有必要的4、數(shù)學運用例1.比較大小 分析：師：前面我們講了指數(shù)函數(shù)，好象和這個比大小沒有關系這幾個也不是函數(shù)那怎么比較大小呢？先不考慮這個上面講的性質哪個可以和大小聯(lián)系起來呢？生：單調性和大小有關，我們可以借助于指數(shù)函數(shù)的單調性老考慮，要比較大小的兩個數(shù)可以看成指數(shù)函數(shù)當取時對應的函數(shù)值，再根據(jù)在是單調增的就可以比較大小了即：解: 考慮指數(shù)函數(shù).因為所以在上是增函數(shù).因為所以師：很好，充分運用了指數(shù)函數(shù)的性質下面的兩個小題請兩個同學上來板書也是利

12、用指數(shù)函數(shù)的性質考慮指數(shù)函數(shù).因為所以在上是減函數(shù).因為所以由指數(shù)函數(shù)的性質知，而 所以師：第小題和一樣直接借助單調性即可解題，第小題在考慮是就發(fā)現(xiàn)單調性不能直接應用，兩個底不一樣但是借助一個中間變量就可以把問題解決了例2已知，求實數(shù)的取值范圍；已知，求實數(shù)的取值范圍解：因為，所以指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù)由，可得，即的取值范圍為因為所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)，因為所以由此可得，即的取值范圍為五.回顧小結（），）要能根據(jù)概念判斷一個函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質（定義域、值域、定點、單調性）利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質是一種直觀而形象的方法，因此記憶指數(shù)函數(shù)性質時可以聯(lián)想它的圖象教學反思：本節(jié)課較好地體現(xiàn)了以教師為主導，學生為主體，以知識為載體和以培養(yǎng)學生的思維能力，特別是研究問題能力為重點的教學思想。教學情景的設置，讓學生體驗到指數(shù)函數(shù)的價值，和我們平時的生活是夕夕相關的生活中處處能遇到指數(shù)函數(shù),激發(fā)他們的學習興趣和學習熱情。本堂課的學習任務