山東大學(xué)金融市場學(xué)第五章債券

1、債券價值分析債券價值分析第五章學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握股息 (或利息) 貼現(xiàn)法在債券價值分析中的運用掌握債券定價的五個基本原理了解債券屬性與債券價值分析了解久期、凸度及其在利率風(fēng)險管理中的運用本章框架本章框架收入法在債券價值分析中的運收入法在債券價值分析中的運用用債券定價原理債券定價原理債券價值屬性債券價值屬性久期、凸度與免疫久期、凸度與免疫 第一節(jié) 收入資本化法在債券價值分析中的運用收入資本化法在債券價值分析中的運用n收入資本化方法認(rèn)為任何資產(chǎn)的內(nèi)在價值（intrinsic value）決定于投資者對持有該資產(chǎn)預(yù)期的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值n根據(jù)資產(chǎn)的內(nèi)在價值與市場價格是否一致 ，可以判斷該資產(chǎn)是否被低

2、估或高估，從而幫助投資者進(jìn)行正確的投資決策n決定債券的內(nèi)在價值成為債券價值分析的核心 n一、貼現(xiàn)債券（一、貼現(xiàn)債券（pure discount bond） 貼現(xiàn)債券又稱零息票債券 (zero-coupon bond)，是一種以低于面值的貼現(xiàn)方式發(fā)行，不支付利息，到期按債券面值償還的債券。n貼現(xiàn)債券的內(nèi)在價值公式 其中，v代表內(nèi)在價值，a代表面值，y是該債券的預(yù)期收益率，t是債券到期時間。 (1)1tavyn二、直接債券（二、直接債券（level-coupon bond） n直接債券又稱定息債券，或固定利息債券，按照票面金額計算利息，票面上可附有作為定期支付利息憑證的息票，也可不附息票。n最普遍

3、的債券形式n直接債券的內(nèi)在價值公式 其中，c是債券每期支付的利息。23 (2)11111ttccccavyyyyyn三、統(tǒng)一公債（三、統(tǒng)一公債（consols） n統(tǒng)一公債是一種沒有到期日的特殊的定息債券。n最典型的統(tǒng)一公債是英格蘭銀行在18世紀(jì)發(fā)行的英國統(tǒng)一公債 (english consols)，英格蘭銀行保證對該公債的投資者永久期地支付固定的利息。n優(yōu)先股實際上也是一種統(tǒng)一公債n統(tǒng)一公債的內(nèi)在價值公式 23 (3)111ccccvyyyyn四、判斷債券價格被低估還是或高估四、判斷債券價格被低估還是或高估以直接債券為例以直接債券為例n方法一：比較兩類到期收益率的差異 預(yù)期收益率（appro

4、priate yield-to-maturity ）：即公式（2）中的y承諾的到期收益率（promised yield-to-maturity ）：即隱含在當(dāng)前市場上債券價格中的到期收益率，用k表示如果yk，則該債券的價格被高估； 如果yk，則該債券的價格被低估； 當(dāng)y= k時，債券的價格等于債券價值，市場也處于均衡狀態(tài)。2 (4)1111ttcccapkkkkn方法二：比較債券的內(nèi)在價值與債券價格的差異 npv ：債券的內(nèi)在價值 (v) 與債券價格 (p) 兩者的差額，即 當(dāng)凈現(xiàn)值大于零時，該債券被低估，買入信號。當(dāng)凈現(xiàn)值小于零時，該債券被高估，賣出信號。債券的預(yù)期收益率近似等于債券承諾的到

5、期收益率時，債券的價格才處于一個比較合理的水平。 (5)npvvp第二節(jié)第二節(jié) 債券定價的五個原理債券定價的五個原理n馬爾基爾 (malkiel, 1962) ：最早系統(tǒng)地提出了債券定價的5個原理 。n至今，這5個原理仍然被視為債券定價理論的經(jīng)典 定理一： 債券的價格與債券的收益率成反比例關(guān)系。 當(dāng)債券價格上升時，債券的收益率下降；反之，當(dāng)債券價格下降時，債券的收益率上升 （見120頁例5-6）n例1：某5年期的債券a，面值為1000美元，每年支付利息80美元，即息票率為8%。如果現(xiàn)在的市場價格等于面值，意味著它的收益率等于息票率8%。如果市場價格上升到1100美元，它的收益率下降為5.76%

6、，低于息票率；反之，當(dāng)市場價格下降到900美元時，它的收益率上升到 10.98%，高于息票率。n 5508. 01100008. 018008. 01801000550576. 0110000576. 01800576. 01801100551098. 0110001098. 01801098. 0180900第二節(jié)第二節(jié) 債券定價的五個原理債券定價的五個原理定理二： 當(dāng)市場預(yù)期收益率變動時，債券的到期時間與債券價格的波動幅度成正比關(guān)系。換言之，到期時間越長，價格波動幅度越大；反之，到期時間越短，價格波動幅度越小。 定理三： 隨著債券到期時間的臨近，債券價格的波動幅度減少，并且是以遞增的速度減

7、少；反之，到期時間越長，債券價格波動幅度增加，并且是以遞減的速度增加。 定理二和定理三不僅適用于不同債券之間的價格波動的比較 ，而且可以解釋同一債券的到期時間長短與其價格波動之間的關(guān)系 (見例5-1)。 n例-2某5年期的債券b，面值為1000美元，每年支付利息60美元，即息票率為6%。如果它的發(fā)行價格低于面值,為833.31美元,意味著收益率為9%,高于息票率；如果一年后，該債券的收益率維持在9%的水平不變,它的市場價格將為902.81美元。這種變動說明了在維持收益率不變的條件下，隨著債券期限的臨近，債券價格的波動幅度從116.69(1000-883.31)美元減少到97.19(1000-9

8、02.81)美元，兩者的差額為19.5美元，占面值的1.95%。具體計算公式如下 5509. 01100009. 016009. 016031.8334409. 01100009. 016009. 016081.902n例-3：沿用例7中的債券。假定兩年后，它的收益率仍然為9%，當(dāng)時它的市場價格將為924.06美元，該債券的價格波動幅度為75.94(1000-924.06)美元。與例二中的97.19美元相比，兩者的差額為21.25美元,占面值的比例為2.125% 。所以，第一與第二年的市場價格的波動幅度（1.95%）小于第二與第三年的市場價格的波動幅度（2.125%）。n第二年后的市場價格計算

9、公式為：n 3309. 01100009. 016009. 016006.924第二節(jié)第二節(jié) 債券定價的五個原理債券定價的五個原理定理四： 對于期限既定的債券，由收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升的幅度大于同等幅度的收益率上升導(dǎo)致的債券價格下降的幅度。換言之，對于同等幅度的收益率變動，收益率下降給投資者帶來的利潤大于收益率上升給投資者帶來的損失定理五： 對于給定的收益率變動幅度，債券的息票率與債券價格的波動幅度成反比關(guān)系。換言之，息票率越高，債券價格的波動幅度越小。定理五不適用于一年期的債券和以統(tǒng)一公債為代表的無限期債券。n例-4：某5年期的債券c，面值為1000美元，息票率為7%。假定發(fā)行價格等于

10、面值，那么它的收益率等于息票率7% 。 如果收益率變動幅度定為1個百分點，當(dāng)收益率上升到8%時，該債券的價格將下降到960.07美元，價格波動幅度為39.93美元(1000-960.07)；反之，當(dāng)收益率下降1個百分點，降到6%，該債券的價格將上升到1042.12美元,價格波動幅度為42.12美元。很明顯，同樣1個百分點的收益率變動，收益率下降導(dǎo)致的債券價格上升幅度（42.12美元）大于收益率上升導(dǎo)致的債券價格下降幅度（39.93美元）。具體計算如下：5507. 01100007. 017007. 017010005508.01100008.017008.017007.9605506. 011

11、00006. 017006. 017012.1042第三節(jié)第三節(jié) 債券價值屬性債券價值屬性債券的價值分析與債券的以下8方面的屬性密切相關(guān) 到期時間 (期限)債券的息票率債券的可贖回條款稅收待遇市場的流通性違約風(fēng)險可轉(zhuǎn)換性可延期性 n一、到期時間一、到期時間 (time to maturitytime to maturity)n重點分析債券的市場價格時間軌跡 當(dāng)債券息票率等于預(yù)期收益率，投資者資金的時間價值通過利息收入得到補償；當(dāng)息票率低于預(yù)期收益率時，利息支付不足以補償資金的時間價值，投資者還需從債券價格的升值中獲得資本收益；當(dāng)息票率高于預(yù)期收益率時，利息支付超過了資金的時間價值，投資者將從債

12、券價格的貶值中遭受資本損失，抵消了較高的利息收入，投資者仍然獲得相當(dāng)于預(yù)期收益率的收益率 無論是溢價發(fā)行的債券還是折價發(fā)行的債券，若債券的內(nèi)在到期收益率不變，則隨著債券到期日的臨近，債券的市場價格將逐漸趨向于債券的票面金額(對比表5-1和表5-2)。表表5-1:20年期、息票率為年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為、內(nèi)在到期收益率為12%的債券的債券的價格變化的價格變化剩余到期年數(shù)以6%貼現(xiàn)的45美元息票支付的現(xiàn)值 (美元) 以6%貼現(xiàn)的票面價值的現(xiàn)值 (美元) 債券價格 (美元) 20677.0897.22774.3018657.94122.74780.6816633.78154.96788

13、.7414603.28195.63798.9112564.77256.98811.7510516.15311.80827.958454.77393.65848.426377.27496.97874.244279.44627.41906.852155.93792.09948.02182.50890.00972.5200.001000.001000.00表表5-2: 20年期、息票率為年期、息票率為9%、內(nèi)在到期收益率為、內(nèi)在到期收益率為7%的債券的債券的價格變化的價格變化剩余到期年數(shù)以3.5%貼現(xiàn)的45美元息票支付的現(xiàn)值 (美元)以3.5%貼現(xiàn)的票面價值的現(xiàn)值 (美元)債券價格 (美元)2096

14、0.98252.571213.5518913.07289.831202.9016855.10332.591190.6914795.02381.661176.6712722.63437.961160.5910639.56502.571142.138544.24576.711120.956434.85611.781096.634309.33759.411068.742165.29871.441036.73185.49933.511019.0000.001000.001000.00折折 (溢溢) 價債券的價格變動價債券的價格變動n零息票債券的價格變動零息票債券的價格變動n零息票債券的價格變動n有其特

15、殊性。在到期日，n債券價格等于面值，到n期日之前，由于資金的n時間價值，債券價格低n于面值，并且隨著到期n日的臨近而趨近于面值。n如果利率恒定，則價格n以等于利率值的速度上升。n二、息票率二、息票率 (coupon ratecoupon rate)n息票率決定了未來現(xiàn)金流的大小。n在其他屬性不變的條件下，債券的息票率越低，債券價格隨預(yù)期收益率波動的幅度越大。 n例例5-5n假設(shè)：5種債券，期限均為20年，面值為100元 ，息票率分別為4%、5%、6%、7% 和 8% ，預(yù)期收益率都等于7% ，可以利用式 (2) 分別計算出各自的初始的內(nèi)在價值。如果預(yù)期收益率發(fā)生了變化 (上升到8%和下降到5%

16、)，相應(yīng)地可以計算出這5種債券的新的內(nèi)在價值。具體結(jié)果見表5-3。 n從表5-3中可以發(fā)現(xiàn)面對同樣的預(yù)期收益率變動債券的息票率越低，債券價格的波動幅度越大。表表5-3：內(nèi)在價值：內(nèi)在價值 (價格價格) 變化與息票率之間的關(guān)系變化與息票率之間的關(guān)系息票率預(yù)期收益率內(nèi)在價值變化率 (7% 到8%) 內(nèi)在價值變化率 (7% 到 5%) 7% 8% 5% 4% 68 60 87 -11.3% +28.7% 5% 78 70 100 -10.5% +27.1% 6% 89 80 112 -10.0% +25.8% 7%100 90 125 - 9.8% +25.1% 8%110 100 137 - 9.

17、5% +24.4%n三、可贖回條款三、可贖回條款 (call provisioncall provision)n可贖回條款，即在一定時間內(nèi)發(fā)行人有權(quán)贖回債券。n n贖回價格 (call price) ：初始贖回價格通常設(shè)定為債券面值加上年利息，并且隨著到期時間的減少而下降，逐漸趨近于面值。贖回價格的存在制約了債券市場價格的上升空間，并且增加了投資者的交易成本，所以，降低了投資者的投資收益率。n贖回保護期，即在保護期內(nèi)，發(fā)行人不得行使贖回權(quán)，一般是發(fā)行后的5至10年 。n可贖回條款對債券收益率的影響可贖回條款對債券收益率的影響n可贖回條款的存在，降低了該類債券的內(nèi)在價值，并且降低了投資者的實際收

18、益率。n息票率越高，發(fā)行人行使贖回權(quán)的概率越大，即投資債券的實際收益率與債券承諾的收益率之間的差額越大。為彌補被贖回的風(fēng)險，這種債券發(fā)行時通常有較高的息票率和較高的承諾到期收益率。在這種情況下，投資者關(guān)注贖回收益率 (yield to call, ytc) ，而不是到期收益率 (yield to maturity)。 例子：例子：30年期的債券以面值年期的債券以面值1000美元發(fā)行，息票率為美元發(fā)行，息票率為8%，比較隨利率的變化，可贖回債券和不可贖回債券之間的價格差異比較隨利率的變化，可贖回債券和不可贖回債券之間的價格差異的變化。見圖的變化。見圖5-3n在圖5-3中，如果債券不可贖回，其價格

19、隨市場利率的變動如曲線aa所示。n如果是可贖回債券，贖回價格是1100美元，其價格變動如曲線bb所示。n隨著市場利率下降，債券未來支付的現(xiàn)金流的現(xiàn)值增加，當(dāng)這一現(xiàn)值大于贖回價格時，發(fā)行者就會贖回債券，給投資者造成損失。n在圖中，當(dāng)利率較高時，被贖回的可能性極小，aa 與bb相交；利率下降時，aa 與bb逐漸分離，它們之間的差異反映了公司實行可贖回權(quán)的價值。當(dāng)利率很低時，債券被贖回，債券價格變成贖回價格1100美元。n贖回收益率贖回收益率n定義： 贖回收益率也稱為首次贖回收益率 (yield to first call)，它假設(shè)公司一旦有權(quán)利就執(zhí)行可贖回條款。但債券的溢價折價發(fā)行也會影響公司的贖

20、回決策。如果債券折價較多，價格遠(yuǎn)低于贖回價格，即使市場利率下降也不會高于贖回價格，公司就不會贖回債券，也即折價債券提供了隱性贖回保護；反之，溢價債券由于發(fā)行價較高，極易被收回 n贖回收益率vs.到期收益率？例5-6例例5-6：30年期的可贖回債券，面值為年期的可贖回債券，面值為1000美元，發(fā)行價為美元，發(fā)行價為1150美元，息票率美元，息票率8% (以半年計息以半年計息)，贖回保護期為，贖回保護期為10年，贖回價年，贖回價格格1100美元美元 。n贖回收益率 (ytc) ：n求得：ytc=6.64%n期收益率 (ytm) ：n求得：ytm=6.82%2020404011001150(1/2)

21、(1/2)(1/2)ytcytcytc6060404010001150(1/2)(1/2)(1/2)ytmytmytmn債券的溢價折價發(fā)行對影響公司的贖回決策的影響：債券的溢價折價發(fā)行對影響公司的贖回決策的影響：n折價發(fā)行：如果債券折價較多，價格遠(yuǎn)低于贖回價格，即使市場利率下降也不會高于贖回價格，公司就不會贖回債券，也即折價債券提供了隱性贖回保護。對折價債券主要關(guān)注到期收益率。n 溢價發(fā)行： 溢價債券由于發(fā)行價較高，極易被贖回。所以，對溢價債券投資者主要關(guān)注贖回收益率。n四、稅收待遇四、稅收待遇 (tax treatmenttax treatment)n不同種類的債券可能享受不同的稅收待遇 n

22、同種債券在不同的國家也可能享受不同的稅收待遇 n債券的稅收待遇的關(guān)鍵，在于債券的利息收入是否需要納稅 n稅收待遇是影響債券的市場價格和收益率的一個重要因素 n五、流通性五、流通性 ( (liquidityliquidity) )n定義：流通性，或者流動性，是指債券投資者將手中的債券變現(xiàn)的能力。n如果變現(xiàn)的速度很快，并且沒有遭受變現(xiàn)所可能帶來的損失，那么這種債券的流通性就比較高；反之，如果變現(xiàn)速度很慢，或者為了迅速變現(xiàn)必須為此承擔(dān)額外的損失，那么，這些債券的流動性就比較慢 n通常用債券的買賣差價的大小反映債券的流動性大小。買賣差價較小的債券流動性比較高；反之，流動性較低。 n在其他條件不變的情況

23、下，債券的流動性與債券的名義到期收益率之間呈反比例關(guān)系 。n債券的流動性與債券的內(nèi)在價值呈正比例關(guān)系。n六、違約風(fēng)險六、違約風(fēng)險 ( (default riskdefault risk) )n定義：債券的違約風(fēng)險是指債券發(fā)行人未履行契約規(guī)定支付的債券本金和利息，給債券投資者帶來損失的可能性。 n債券評級是反映債券違約風(fēng)險的重要指標(biāo) ：標(biāo)準(zhǔn)普爾公司 (standard & poors, s&p) 和穆迪投資者服務(wù)公司 (moodys investors services) 。n債券評級分為兩大類：投資級（bbb 或baa及其以上）或投機級 （bb或ba及其以下）。n由于違約風(fēng)險的

24、存在 ，投資者更關(guān)注的是期望的到期收益率 (expected yield to maturity) ，而非債券承諾的到期收益率 。n例如，公司20年前發(fā)行的債券，面值為1000美元，息票率為9%（以半年計息），還有10年到期。公司陷入了財務(wù)困境，投資者預(yù)期公司可保證利息支付，但到期公司將被迫破產(chǎn)，投資者只能得到面值的70%。則承諾的到期收益率為13.7%:n 期望的到期收益率為11.6%:n如果公司保持了清償力，有風(fēng)險債券就會獲得比無風(fēng)險債券更高的實際收益率；如果公司破產(chǎn)，則前者獲得的收益率可能會低于后者。 2020)1 (1000)1 (45)1 (45750rrr2020)1 (700)1

25、 (45)1 (45750rrr債券評級依據(jù)的主要財務(wù)比率債券評級依據(jù)的主要財務(wù)比率 n固定成本倍數(shù) (coverage ratios) ：即公司收益與固定成本之比比率較低，或者比率下降，反映公司可能面臨資金流動的困難 。n杠桿比率 (leverage ratio)：即資產(chǎn)負(fù)債比率 (debt-to-equity ratio)過高，意味著公司負(fù)債過多，可能有償債困難 。n流動性比率 (liquidity ratios) ：流動比率和速動比率反映公司用可調(diào)動資金償還到期債務(wù)的能力 。n盈利性比率 (profitability ratios)：常見的是資產(chǎn)收益率 (return on assets

26、, roa)反映公司的整體財務(wù)狀況 。n現(xiàn)金比率 (cash flow-to-debt ratio)，即公司現(xiàn)金與負(fù)債之比。 假定我們收集了一組樣本公司的財務(wù)數(shù)據(jù)，如roe(return on equity)和coverage ratio，并對其破產(chǎn)狀況作出觀測記錄。在圖10-4中，x代表最終破產(chǎn)的公司，o 代表保持了償付能力的公司。結(jié)果表明o 公司的兩個比率都相對更高。 奧爾特曼奧爾特曼 (altman, 1968) 的分離分析的分離分析 (discriminant analysis) n用于預(yù)測公司違約風(fēng)險 。n奧爾特曼直線方程 ： z=3.3息稅前收益/總資產(chǎn)+99.9銷售額/總資 產(chǎn)+

27、0.6股票市場價值/債務(wù)賬面價值+1.4 保留盈余/總資產(chǎn)+1.2營運資本/總資產(chǎn)n七、可轉(zhuǎn)換性七、可轉(zhuǎn)換性 (convertibility)n轉(zhuǎn)換率 (conversion ratio) ：每單位債券可換得的股票股數(shù) n市場轉(zhuǎn)換價值 (market conversion value)：可換得的股票當(dāng)前價值 n轉(zhuǎn)換損益 (conversion premium) ：債券價格與市場轉(zhuǎn)換價值的差額 n可轉(zhuǎn)換債券息票率和承諾的到期收益率通常較低。但是，如果從轉(zhuǎn)換中獲利，則持有者的實際收益率會大于承諾的收益率。n八、可延期性八、可延期性 (extendability)n可延期債券是一種較新的債券形式。n

28、與可贖回債券相比，它給予持有者而不是發(fā)行者一種終止或繼續(xù)擁有債券的權(quán)利。n如果市場利率低于息票率，投資者將繼續(xù)擁有債券；反之，如果市場利率上升，超過了息票率，投資者將放棄這種債券，收回資金，投資于其他收益率更高的資產(chǎn)。n這一規(guī)定有利于投資者，所以可延期債券的息票率和承諾的到期收益率較低。小結(jié)：債券屬性與債券收益率小結(jié)：債券屬性與債券收益率 債券屬性與債券收益率的關(guān)系1.期限當(dāng)預(yù)期收益率 (市場利率) 調(diào)整時，期限越長，債券的價格波動幅度越大；但是，當(dāng)期限延長時，單位期限的債券價格的波動幅度遞減。2.息票率當(dāng)預(yù)期收益率 (市場利率) 調(diào)整時，息票率越低，債券的價格波動幅度越大。3.可贖回條款當(dāng)債

29、券被贖回時，投資收益率降低。所以，作為補償，易被贖回的債券的名義收益率比較高，不易被贖回的債券的名義收益率比較低。4.稅收待遇享受稅收優(yōu)惠待遇的債券的收益率比較低，無稅收優(yōu)惠待遇的債券的收益率比較高。5.流動性流動性高的債券的收益率比較低，流動性低的債券的收益率比較高。6.違約風(fēng)險違約風(fēng)險高的債券的收益率比較高，違約風(fēng)險低的債券的收益率比較低。7.可轉(zhuǎn)換性可轉(zhuǎn)換債券的收益率比較低，不可轉(zhuǎn)換債券的收益率比較高。8.可延期性可延期債券的收益率比較低，不可延期的債券收益率比較高。第四節(jié)第四節(jié) 久期、凸度與免疫久期、凸度與免疫n一、久期n（一）馬考勒久期： 馬考勒 (f.r.macaulay, 193

30、8) 提出，使用加權(quán)平均數(shù)的形式計算債券的平均到期時間。 n計算公式 ：d是馬考勒久期，p是債券當(dāng)前的市場價格，ct是債券未來第t次支付的現(xiàn)金流，t是債券在存續(xù)期內(nèi)支付現(xiàn)金流的次數(shù)，t是第t次現(xiàn)金流支付的時間，y是債券的到期收益率，pv(ct) 代表債券第t期現(xiàn)金流用債券到期收益率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。 n決定久期的大小三個因素： 各期現(xiàn)金流、到期收益率及其到期時間 1111/ 1 (6)ptttttttttttctycypv cdttppn（二）、債券組合的馬考勒久期（二）、債券組合的馬考勒久期n計算公式： 其中，dp表示債券組合的馬考勒久期，wi表示債券i的市場價值占該債券組合市場價值的比重，di表

31、示債券i的馬考勒久期，k表示債券組合中債券的個數(shù)。 k1piiidw dn（三）馬考勒久期定理（三）馬考勒久期定理n定理一定理一：只有貼現(xiàn)債券的馬考勒久期等于它們的到期時間。n其中，ct是第t期償還的本金，pv(ct)是相應(yīng)的現(xiàn)值 n定理二定理二：直接債券的馬考勒久期小于或等于它們的到期時間。只有僅剩最后一期就要期滿的直接債券的馬考勒久期等于它們的到期時間，并等于1 。ttbcpvdt1)(tbtcpvdttt1)(tbcpvbcpvbcpvt)(2)(1)(21t n定理三定理三：統(tǒng)一公債的馬考勒久期等于 ，其中y是計算現(xiàn)值采用的貼現(xiàn)率。n n定理四：定理四：在到期時間相同的條件下，息票率越

32、高，久期越短。n定理五：定理五：在息票率不變的條件下，到期時間越長，久期一般也越長。n定理六：定理六：在其他條件不變的情況下，債券的到期收益率越低，久期越長。r11rd11 n（四）馬考勒久期與債券價格的關(guān)系（四）馬考勒久期與債券價格的關(guān)系n假設(shè)現(xiàn)在是0時刻，假設(shè)連續(xù)復(fù)利，債券持有者在ti時刻收到的支付為ci (1in)，則債券價格p和連續(xù)復(fù)利到期收益率 的關(guān)系為： ynityiiecp1nityiiietcyp1nityiinityiipectpectdii11pdypydpp債券價格的變動比例等于馬考勒久期乘上到期收益率微小變動量的相反數(shù) n（五）修正久期（五）修正久期n當(dāng)收益率采用一年計

33、一次復(fù)利的形式時，人們常用修正的久期 (modified duration，用d*表示) 來代替馬考勒久期。 n修正久期的定義：n修正的久期公式：ydd1* (5-18)pd yp 1pd ypy n二、凸度二、凸度(convexity)n定義： 凸度 (convexity) 是指債券價格變動率與收益率變動關(guān)系曲線的曲度。n如果說馬考勒久期等于債券價格對收益率一階導(dǎo)數(shù)的絕對值除以債券價格，我們可以把債券的凸度 (c) 類似地定義為債券價格對收益率二階導(dǎo)數(shù)除以價格。即：221pcpyn久期的缺陷久期的缺陷n現(xiàn)實生活中，債券價格變動率和收益率變動之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系 。如果只用

34、久期來估計收益率變動與價格變動率之間的關(guān)系，那么從公式 (5-18) 可以看出，收益率上升或下跌一個固定的幅度時，價格下跌或上升的幅度是一樣的。顯然這與事實不符. (見圖5-3)圖圖5-3. 價格敏感度與凸度的關(guān)系價格敏感度與凸度的關(guān)系 用久期近似計算的收益率變動與價格變動率的關(guān)系 不同凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的真實關(guān)系 圖圖5-3說明的問題：說明的問題：當(dāng)收益率下降時，價格的實際上升率高于用久期計當(dāng)收益率下降時，價格的實際上升率高于用久期計算出來的近似值，而且凸度越大，實際上升率越算出來的近似值，而且凸度越大，實際上升率越高；當(dāng)收益率上升時，價格的實際下跌比率卻小高；當(dāng)收益率上升

35、時，價格的實際下跌比率卻小于用久期計算出來的近似值，且凸度越大，價格于用久期計算出來的近似值，且凸度越大，價格的實際下跌比率越小。的實際下跌比率越小。 這說明：這說明：n(1) 當(dāng)收益率變動幅度較大時，用久期近似計算的價格變動率就不準(zhǔn)確，需要考慮凸度調(diào)整；n(2) 在其他條件相同時，人們應(yīng)該偏好凸度大的債券。n考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間考慮凸度的收益率變動幅度與價格變動率之間的關(guān)系的關(guān)系n考慮了凸度的收益率變動和價格變動關(guān)系：n當(dāng)收益率變動幅度不太大時，收益率變動幅度與價格變動率之間的關(guān)系就可以近似表示為 ：2*d1dd2pdycyp 2*21ycydppn三、免疫三、免疫n（一）久期免疫：免疫技術(shù)：由雷