《新編基礎(chǔ)物理學(xué)》第1章習(xí)題解答和分析

1、第1章質(zhì)點運動學(xué)第1章質(zhì)點運動學(xué)1-1. 一質(zhì)點沿x軸運動，坐標(biāo)與時間的變化關(guān)系為x= 8t36t (m),試計算質(zhì)點(1)在最初2s內(nèi)的平均速度，2s末的瞬時速度；(2)在1s末到3s末的平均加速度，3s末的瞬時加速度.xdx分析：平均速度和瞬時速度的物理含義不同，分力1j用v 和v 求得；平均加速度和瞬時tdt加速度的物理含義也不同，分別用a -v和a 四 求得.t dt解：(1)在最初2s內(nèi)的平均速度為v 上 x x(0)(8 23 6 2) 0 26(ms1)t t22s末質(zhì)點的瞬時速度為v2 dx 24t2 6 90(m s1) dt(2) 1s末到3s末的平均加速度為a,v v(2

2、4 32 6) (24 6) 96(ms2) t t23s末的瞬時加速度a . 48t 144 (m s 2)21-2. 一質(zhì)點在xoy平面內(nèi)運動，運動萬程為 x 2t(m), y 4t 8(m).(1)求質(zhì)點的軌道方程并畫出軌道曲線；(2)求t = 1 s和t = 2 s時質(zhì)點的位置、速度和加速度.分析：將運動方程x和y的兩個分量式消去參數(shù)t,便可得到質(zhì)點的軌道方程.寫出質(zhì)點的運動5ra(t)，把時間代入可得某時刻質(zhì)點1、 r rs ), a8j m s學(xué)方程r(t)表達(dá)式.對運動學(xué)方把 的位置、速度、加速度.解：(1) 由x 2t,彳一2 一可得：y x 8(2)質(zhì)點的位置矢量可表 v r

3、則速度v v加速度v a當(dāng)t=1s時,有 r r求一階導(dǎo)、二階導(dǎo)得v(t)和導(dǎo)：t -, 代入y 4t22,即軌道方程.畫圖略v 2 v2ti (4t8)j,vdr v v2i 8t jdt,vdv v8jdtr r r r r2i 4j(m), v 2i 8j (m當(dāng)t=2s時,有 r rr4ir r8j(m), vr2ir 1 r r 16j(m s ), a 8j1-3.(1)分析:一質(zhì)點的運動學(xué)方程為 質(zhì)點的軌跡方程；t2, y (t1)2,x和y均以m為單位,t以s為單位.求:在t 2s時質(zhì)點的速度和加速度.同 1-2.解：(1)由題意可知：x >0, y > 0,由xt

4、2,可得t 五，代入y (t1)2整理得:即軌跡方程(2)質(zhì)點的運動方程可表不為r t2i(tdv2r 1)2jdt dvdtr 2ti2(tr 1)jr2ir2j因此，當(dāng)t 2s時，有 r vr4ir2j(m),r r ra 2i 2j(ms2)1-4. 一枚從地面發(fā)射的火箭以20m s自由質(zhì)點一樣運動.略去空氣阻力并設(shè) (1)火箭達(dá)到的最大高度；2的加速度豎直上升 g為常量，試求：0.5min后，燃料用完，于是像一個(2)它從離開地面到再回到地面所經(jīng)過的總時間分析：分段求解：0 t 30s時，a 20mx2(t).當(dāng)v2 0時，火箭達(dá)到的最大高度 解：(1)以地面為坐標(biāo)原點，豎直向上為2s

5、 ，可求出 v1,x1 ；t >30s時，a g.可求出 v2(t),求出t、x.再根據(jù)x 0,求出總時間.x軸正方向建立一維坐標(biāo)系，設(shè)火箭在坐標(biāo)原點時，t=0s,且 0.5min=30s.貝u當(dāng)04 & 30sax等得當(dāng)v130s時由vxdx dt當(dāng)火箭未落地解得3020dt0vx° dvx,解得vx 20tvi 600m3020tdt0x1dx ,0x1 9000m,且t>30s,又有t9.8dt30、，dvx2vx28949.8t同理由vx 得dttx30 (894 9.8t)dt%dx解得 2x 4.9t2 894t 13410由vx20,得t 91.2s

6、,代入得xmax27.4km(2)由式可知，當(dāng)x 0時，解得t1 166st2 16s<30s (舍去).,221-5.質(zhì)點沿直線運動，加速度a 4 t ,式中a的單位為m s , t的單位為s,如果當(dāng)t=3s時，x=9m, v 2m s1,求質(zhì)點的運動方程分析本題屬于第二類運動學(xué)問題，可通過積分方法求解 解由分析可知v , tt2dv nadt n(4 t2)dtv000積分得1 .3v v0 4t t 3由xtt1 3x0dx0vdto(vo 4t -t )dt3得21 , 4x xo + v°t 2t t12將t=3s時，x=9m, v 2m s 1代入上兩式中得1v0

7、1m s , xo=0.75m所以質(zhì)點的運動方程為214x 0.75 t 2t2t4(m)121-6. 一艘正在沿直線行駛的電艇，在發(fā)動機關(guān)閉后，其加速度方向與速度方向相反，大小與速度大小平方成正比，即 dv/dtkv2 ,式中k為常量.試證明電艇在關(guān)閉發(fā)動機后又行駛 xkx距離時的速度大小為v voe .其中v0是發(fā)動機關(guān)閉時的速度大小 .分析：要證明vx關(guān)系，可通過積分變量替換將時間變量替換掉，即 a 生 v型，積分即 dt dx '第1章質(zhì)點運動學(xué)解圖1-89可證明.dv dv dx分離變量得dt dx dt兩邊積分dv kdxv證得v 1xdvvo vokxv voekdxdv

8、 v dxkv2ln vokx1-7. 一質(zhì)點沿半徑為 r做圓周運動，運動學(xué)方程為vot1 , 2-bt，其中vo, b都是大于零的2常量.求：(d t時刻質(zhì)點的加速度大小及方向；(2)在何時加速度大小等于 j2b ；分析：由質(zhì)點在自然坐標(biāo)系下的運動學(xué)方程s st,一，ds求導(dǎo)可求出質(zhì)點的運動速率v.，而dt切向加速度at dv ,法向加速度t dtan2v-,總加速度a % a2 a；,當(dāng)a j2b時，即可求出t .解：(1)質(zhì)點的運動速率ds dtvo bt切向加速度atdvdt法向加速度(vobt)2加速度大小b22 2(vo bt)2r方向,一 1 antan 一 attan1 vo2

9、btbr(2)當(dāng)a j2b時，可得b2(vo bt)2解出2b21 .1-8.物體以初速度20m s被拋出，拋射仰角 60 ,略去空氣阻力，問：(1)物體開始運動后的1.5s末，運動方向與水平方向的夾角是多少？2.5s末的夾角又是多少？(2)物體拋出后經(jīng)過多少時間，運動方向才與水平成45。角？這時物體的高度是多少 ？(3)在物體軌跡最高點處的曲率半徑有多大？(4)在物體落地點處，軌跡的曲率半徑有多大？分析：(1)建立坐標(biāo)系，寫出初速度 v0,求出v(t)、tan ，代入t求解.(2)由(1)中的tan關(guān)系，求出時間t；再根據(jù)y方向的運動特征寫出 y t，代入t求y.2(3)根據(jù)物體在軌跡最高點

10、處，vy 0,且加速度a an g ,可求出 (4)由對稱性，落地點與拋射點的曲率相同2ang cos -，求出an a cosg cos解：以水平向右為 x軸正向，豎直向上為 y軸正向建立二維坐標(biāo)系(1) 初速度 r八 r r _r “v0 20cos600i 20sin600 j 10i 10v3j(ms1),加速度r r 2a 9.8j(m s ),則任一時刻v vvt 10i(1039.8t)j 與水平方向夾角有,10.39.8ttan 10當(dāng)t=1.5s時tan 0.262,14 41'當(dāng)t=2.5s時tan 0.718,35 41' 此時tan 1,由得t=0.75

11、s物體的高度y vyot 1gt2 10.3 0.75 y 2(3)在最wj處21 vv 10m s , an 一 g得2 v 一 10.2mg(4)由對稱性可知，落地點的曲率與拋射點的曲率相同由解圖1-8得vx10g g 4.9(mv20v2 400an4.982(m)1-9.汽車在半徑為400m的圓弧彎道上減速行駛，設(shè)在某一時刻，汽車的速率為 向加速度的大小為0.2m s 2.求汽車的法向加速度和總加速度的大小和方向10m s1，切分析：由某一位置的 大小和方向.、v求出法向加速度an,再根據(jù)已知切向加速度解：法向加速度的大小22an- -0- 0.25(m s2),方向指向圓心400總加

12、速度的大小/a20.22 0.252 0.32(m由解圖1-9得tan0.8,38 40'則總加速度與速度夾角90an128 40'a求出總加速度角.求質(zhì)點到達(dá)拋1-10.質(zhì)點在重力場中作斜上拋運動，初速度的大小為v0 ,與水平方向成 出點的同一高度時的切向加速度、法向加速度以及該時刻質(zhì)點所在處軌跡的曲率半徑(忽略空氣阻力).已知法向加速度與軌跡曲率半徑之間的關(guān)系為an分析：在運動過程中，質(zhì)點的總加速度 a g .由于無阻力作用，所以回落到拋出點高度時，質(zhì)點的速度大小v v0 ,其方向與水平線夾角也是.可求出小，如解圖1-10所示.再根據(jù)法向2加速度與軌跡曲率半徑之間的關(guān)系an

13、解出曲率半徑 解：切向加速度atg sin a法向加速度an g cosa因為an2ang cosv。31 .1-11.在生物物理實驗中用來分離不同種類的分子的超級離心機的轉(zhuǎn)速為3.14 10 rad s .在這種離心機的轉(zhuǎn)子內(nèi)，離軸10cm遠(yuǎn)的一個大分子的向心加速度是重力加速度的幾倍？分析 根據(jù)定義可得向心加速度的大小an 2r.解所求倍數(shù)22 22 44 2r 4 n r 4 (6 10 ) 0.1, 4=2l 4 10g g609.8第1章質(zhì)點運動學(xué)1-12. 一質(zhì)點在半徑為 0.10m的圓周上運動，其角位置變化關(guān)系為2 4t3(rad).試求:(1)在t=2s時，質(zhì)點的法向加速度和切向

14、加速度大小各為多少？；(2)當(dāng)切向加速度大小恰等于總加速度大小的一半時，值為多少?(3)在什么時刻，切向加速度和法向加速度恰好大小相等？分析 本題為物體作圓周運動的角坐標(biāo)表示下的第一類運動學(xué)問題，求導(dǎo)可得到角速度和角加速度，再由角量與線量的關(guān)系求得切向加速度at和法向加速度an.dt12t224t(1)角速度和角加速度分別為11法向加速度anr 2 0.1 (12t2)22.30 102 (m s 2)切向加速度at dv r 2.4t 4.8 (m s 2)dt(2)由 at a/2 , a2 a； a； 4a；223atan_ _22_ 2 43(24rt) r (12t )t3 6332

15、 4t3 2 4 3.15 (rad)(3)由anat ,即 r(12t2)2 24rt ,解得t 0.55 s1-13.離水面高度為h的岸上有人用繩索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉繩子，求當(dāng)船離岸的距離為s時，船的速度和加速度的大小 .分析：收繩子速度和船速是兩個不同的概念.小船速度的方向為水平方向，由沿繩的分量與垂直 繩的分量合成，沿繩方向的收繩的速率恒為 v0 .可以由v0求出船2速v和垂直繩的分量v1 .再根據(jù)an關(guān)系，以及an與a關(guān)系來求解a.解： 如解圖1-13,小船速度沿繩的分量 v2 v0 ,船速v v2 sec當(dāng)船離岸的距離為 s時，船速第1章質(zhì)點運動學(xué)15解圖1-17船速垂直

16、繩的分量則船的法向加速度vlv2 tanvoh解得2vla cos,s2 h22.2vo h3-s, _ ii .1-14. a船以30km h的速度向東航行，b船以45km h的速度向正北航行，求 a船上的 人觀察到的b船的速度和航向.畫出分析：關(guān)于相對運動，必須明確研究對象和參考系 .同時要明確速度是相對哪個參照系而言 速度矢量關(guān)系圖求解.解：如解圖1-14所示vcr,1v,1va 30i km h ,vb 45 j km hb船相對于a船的速度vv v r ccr, , 1、vba vb va 45 j 30i (km h 1)則速度大小vba.'vb va 54.1(km h

17、1)方向arctan正 56.3 ,既西偏北56.3 va1 .1-15. 一個人騎車以18km h的速率自東向西行進時，看見雨滴垂直洛下，當(dāng)他的速率增加至36km h 1時，看見雨滴與他前進的方向成120 °角下落，求雨滴對地的速度 .分析：這是一個相對運動的問題，雨對地的速度不變，畫出速度矢量圖，就可根據(jù)幾何關(guān)系求 解.解：如解圖1-15所示，/為雨對地的速度，vpvvp2分別為第一次，第二次人對地的速度,vrp1 , vrp2分別為第一次，第二次雨對人的速度，120由三角形全等的知識，可知18012060三角形abc為正三角形，則vr vd 36km h 1 ,方向豎直向下偏西

18、 30ip271-16如題圖1-16所示，一汽車在雨中以速率 v1沿直線行駛，下落雨滴的速度方向偏于豎直方向向車后方角，速率為v2 ,若車后有一長方形物體，問車速為多大時，此物體剛好不會被雨水淋濕？分析：相對運動問題，畫矢量關(guān)系圖，由幾何關(guān)系求解 解：如解圖1-16 (a),車中物體與車蓬之間的夾角arctan - h若 >,無論車速多大，物體均不會被雨水淋濕若 v ,如解圖1-16 (b)則有v車 | bc | | ac | | ab |=v雨對車 sinv雨 sinv雨 cos tanv雨 sin又v雨 v2則題圖1-16v2(l coshsin ) 13一1-17人能在靜水中以1.10m s的速度劃船前進.今欲橫渡一寬為1.00 10 m、水流速度 0.55m s 1的大河.他若要從出發(fā)點橫渡該河而到達(dá)正對岸的一點，那么應(yīng)如何確定劃行方向?到達(dá)正對岸需多少時間？分析船到達(dá)對岸所需時間由船相對于岸的速度 劃行速度v確定.畫出矢量圖由幾何關(guān)系求解.解根據(jù)解圖1-17,有/=u+ v ,解得u0.55 1sin - 一v1.102v決定,而v由水流速度v和船在靜水中300即應(yīng)沿與正對岸方向向上游偏300方向劃行.船到達(dá)正對岸所需時間為,d d3t - 1.05 10 sv v cos1-18. 一